ĆWICZENIA nr 5

ĆWICZENIA nr 5
Cel zajęć: Zdefiniowanie pojęcia estymatora punktowego, przedstawienie i zastosowanie
zasad klasyfikacji estymatorów.
Wprowadzenie teoretyczne
Statystyka opisowa służy opisaniu próby wylosowanej z populacji. Statystyka matematyczna,
na podstawie informacji uzyskanych z próby, pozwala wyciągnąć określone wnioski dla całej
populacji. Jedną z podstawowych form wnioskowania statystycznego jest estymacja, czyli ocena
parametrów rozkładu badanej cechy w populacji.
Załóżmy, że badamy cechę X w pewnej populacji. Cecha X zależy od parametru ߴ. Parametr
ten będzie szacowany na podstawie próby x1, x2,…, xn. Funkcję g(x1, x2,…, xn) nazywa się statystyką.
Jest ona także zmienną losową zależną od postaci funkcji g oraz od rozkładu zmiennych x1, x2,…, xn.
Każdą statystykę ߴመሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ሻ, stanowiącą ocenę nieznanego parametru ߴ, nazywamy
estymatorem parametru ߴ. Punktowym estymatorem jest po prostu wyznaczona na podstawie
próby liczba, która z pewnym przybliżeniem określa wartość parametru w całej populacji, np.
estymatorem punktowym wartości oczekiwanej w populacji jest średnia z próby pobranej z tejże
populacji. Szukany parametr może mieć wiele estymatorów. Ważne jest, by wyznaczyć estymator
optymalny, czyli spełniający szereg warunków. Po pierwsze, oczekujemy, że estymator będzie tym
dokładniejszy, im większa próba będzie stanowiła źródło informacji do jego wyznaczenia:
lim ܲ൫หߴመ௡ − ߴห < ߳൯ = 1
௡→ஶ
dla każdej liczby ߳. Estymator spełniający powyższy warunek nazywamy estymatorem zgodnym
parametru ߴ. Kolejną istotną własnością estymatora jest nieobciążoność. Estymator nazywamy
estymatorem nieobciążonym jeżeli spełnia warunek:
‫ܧ‬൫ߴመ௡ ൯ = ߴ
dla każdego n. Obciążeniem estymatora nazywamy następującą różnicę:
‫ܤ‬൫ߴመ௡ ൯ = ‫ܧ‬൫ߴመ௡ ൯ − ߴ.
Jeżeli estymator spełnia warunek:
lim ‫ܤ‬൫ߴመ௡ ൯ = 0
௡→ஶ
wówczas nazywamy go estymatorem asymptotycznie nieobciążonym. Jeśli estymator parametru ߴ
jest estymatorem nieobciążonym lub asymptotycznie nieobciążonym oraz spełniony jest warunek
lim௡→ஶ ܸܽ‫ݎ‬൫ߴመ௡ ൯ = 0,
to jest to także estymator zgodny parametru ߴ.
Estymator nieobciążony zadanego parametru, który ma najmniejszą wariancję spośród
wszystkich nieobciążonych estymatorów danego parametru, wyznaczonych z n-elementowych prób,
nazywamy estymatorem efektywnym (najefektywniejszym).
Zadania
1. Wykazać, że dla dowolnego rozkładu o skończonej wartości średniej ߴ estymator
௡
1
‫ݔ‬ҧ = ෍ ‫ݔ‬௜
݊
௜ୀଵ
jest estymatorem nieobciążonym parametru ߴ. Czy estymator jest estymatorem zgodnym?
2. Pewna cecha X ma w badanej populacji skończoną i różną od zera wariancję σ2. Zbadać, czy
wariancja empiryczna:
௡
1
ܵ = ෍ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ሻଶ
݊
ଶ
௜ୀଵ
jest estymatorem nieobciążonym nieznanej wariancji σ2. Przyjąć, że estymatorem wartości
oczekiwanej w populacji jest średnia z próby.
3. Pewna cecha X ma w badanej populacji skończoną i różną od zera wariancję σ2. Zbadać, czy
wariancja empiryczna:
௡
1
ܵ = ෍ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ሻଶ
݊
ଶ
௜ୀଵ
gdzie
௡
1
‫ݔ‬ҧ = ෍ ‫ݔ‬௜
݊
௜ୀଵ
jest estymatorem nieobciążonym nieznanej wariancji σ2.
Wskazówka: ߪ ଶ = ܸܽ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܧ‬ሺ‫ ݔ‬− ߤሻଶ .
4. Pewna cecha X ma w badanej populacji skończoną i różną od zera wariancję σ2. Zbadać, czy
wariancja próbkowa:
௡
1
ܵ =
෍ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ሻଶ
݊−1
ଶ
௜ୀଵ
gdzie
௡
1
‫ݔ‬ҧ = ෍ ‫ݔ‬௜
݊
௜ୀଵ
jest estymatorem nieobciążonym nieznanej wariancji σ2.
5. Porównać estymatory z zadania nr 3 oraz zadania nr 4 i wskazać, który z nich jest
estymatorem efektywnym.
6. Dla wariancji σ2 cechy X mającej rozkład N(µ,σ) przy wykorzystaniu próby utworzono
estymator
௡ିଵ
1
ܵ =
෍ሺ‫ݔ‬௜ାଵ − ‫ݔ‬௜ ሻଶ
2݊
ଶ
௜ୀଵ
Sprawdzić obciążenie utworzonego estymatora, przy założeniu niezależności zmiennych
X1,X2,…,Xn.
Źródła:
Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M. „Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach – część II: Statystyka
matematyczna”, PWN, Warszawa 2004
Łomnicki A. „Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników”, PWN, Warszawa 2007
Magiera R. „Modele i metody statystyki matematycznej”, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław
2002
Żuk B. „Biometria stosowana”, PWN, Warszawa 1989