6. Własności estymatorów Zadanie 1. Niech X będzie zmienną

6. Własności estymatorów
Zadanie 1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n, p), gdzie
p ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c, znaleźć estymator nieobciążony parametru θ = ap2 + bp + c.
Zadanie 2. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu U (0, θ).
a) Dla jakiego α estymator
T1 (X1 , . . . , Xn ) = αXn:n
parametru θ jest estymatorem nieobciążonym?
b) Porównaj (w sensie ryzyka średniokwadratowego) estymator T1 (X1 , . . . , Xn ) z innym
estymatorem nieobciążonym parametru θ postaci
n
2X
Xi .
T2 (X1 , . . . , Xn ) =
n i=1
Zadanie 3. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu E
1
λ
, λ > 0. Niech
T1 (X1 , . . . , Xn ) = X̄n ,
T2 (X1 , . . . , Xn ) = cX1:n ,
gdzie c jest stałą dodatnią, będą estymatorami parametru λ. Porównaj ryzyka średniokwadratowe tych estymatorów.
Zadanie 4. Sprawdź, czy średnia arytmetyczna jest zgodnym estymatorem wartości
oczekiwanej.
Zadanie 5. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ), gdzie α
jest znane, a λ nie jest znane. Udowodnić, że jeżeli nα > 2, to statystyka
T (X1 , . . . , Xn ) =
jest zgodnym estymatorem parametru λ.
1
nα − 1
nX̄n