15. Euklidesowa przestrzeń afiniczna

EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA)
RZECZYWISTA
Definicja 1
( \ , \, +, ⋅ )
u = ( x1 , x2 ,..., xn )
n
( u / v ) := x y + x y
1 1
2
2
v = ( y1 , y2 ,..., yn )
+ ... + xn yn - nazywamy iloczynem skalarnym
Możemy go również oznaczać w następujący sposób:
( u / v ) := u D v
Definicja 2
JJG
wektorową nad ciałem \ z iloczynem skalarnym
\ n , D tę przestrzeń
JJG
oznaczamy En i nazywamy euklidesową.
(
)
( )
Definicja 3
(
JJG
\ , \ n , +, ⋅
n
)
JJG
n
- przestrzeń afiniczna, gdzie w \ wprowadzono iloczyn
skalarny
n
Przestrzeń \ zdefiniowaną z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią
euklidesową i oznaczamy En .
Definicja 4
Jeżeli w przestrzeni
En
u = ( x1 , x2 ,..., xn ) to związek:
|| u ||:=
(u / v )
WNIOSEK:
|| u ||:= x12 + x22 + ... + xn2
Definicja 5
(
nazywamy normą
JJG
En , En , +, ⋅
)
x, y ∈ En
to odległością nazywamy:
JJG
d ( x, y ) :=|| xy ||
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
Definicja 5
JJG
JJG
En - przestrzeń euklidesowa u , v ∈ En u ≠ 0 ∧ v ≠ 0
Jeżeli
(u / v ) = 0
to mówimy, że wektory
u , v są ortogonalne.
GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E3
Oznaczenie:
(
JJG
En , En , +, ⋅ - przestrzeń euklidesowa
)
( 0 , i, j , k )
- układ współrzędnych przestrzeni afinicznej
0
i := (1, 0, 0 )
j := ( 0,1, 0 ) k := ( 0, 0,1)
UWAGA:
W przestrzeni E3 zamiast mówić, że dwa wektory są ortogonalne mówimy,
że są prostopadłe. Zachodzi tam również:
|| i ||=|| j ||=|| k ||= 1 i
i⊥ j i⊥k
k⊥ j
UMOWA:
W E3 przyjmujemy tzw. ortogonalny układ współrzędnych.
z
k
i
y
j
x
Definicja 1
JJG
u , v ∈ En
Kątem między wektorami
( )
) u, v nazywamy mniejszy z 2 kątów jakie one
tworzą jeżeli zaczepimy je w początku układu.
UWAGA:
Dowodzi się, że:
( )
( )
u D v =|| u || ⋅ || v || cos ) u, v , stąd cos ) u , v =
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 9
u Dv
|| u || ⋅ || v ||
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
JJG
u ∈ En
Definicja 2
Wersorem wektora u nazywamy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot
ale długość równą 1.
JJJJJJGG
G
wersu ↑↑ u
JJJJJJGG
wersu = 1
∧
WNIOSEK:
u = [ x1 , x2 , x3 ]
u ≠1
u≠0
JJJJJJGG  x y z 
wersu =  , , 
u u u 


UWAGA:
u = u x , u y , u z 
( )
cos ) u, i =
( )
cos ) u , j =
( )
cos ) u , k =
u Di
u D i
=
uD j
u D j
uDk
u D k
ux
=
u
uy
=
u
uz
u
Definicja 3.
( )
cos ) u, i
( )
cos ) u, j
( )
cos ) u , k nazywamy kosinusami kierunkowymi
WNIOSEK:
JJJJJJGG
wersu = cos ) u , i , cos ) u , j , cos ) u, k 


( )
( )
( )
UWAGA:
Wszystkie powyższe definicje i wnioski dotyczą też (odpowiednio)
przestrzeni E2.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
ORIENTACJA
Orientacja w
G G
a, b
( )
JJG
E2
(
G JG
c, d
( )
O
JJG
E2 , E2 , +
)
O'
Dwie pary wektorów liniowo niezależnych zaczepionych w punkcie O, O’
Te 2 pary wektorów nazymamy równoskrętnymi jeżeli poprzez
przesunięcie i obrót można
G G doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z punktem GO’,
JG wektory a, c leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot
a wektory c, d leżą po tej samej stronie tej prostej.
G
b
JG
d
G
a
G
c
G
b
JG
d
G
a
G
c
2 pary wektorów nazymamy nierównoskrętnymi jeżeli poprzez
przesunięcie i obrót można
G G doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z punktem
G JGO’, wektory a, c leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot a
wektory c, d leżą po dwóch stronach tej prostej.
G
b
JG
d
G
c
G
a
G
b
JG
d
G
a
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
G
c
strona 4 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
WNIOSEK:
Łatwo zauważyć, że jeżeli ustalimy parę wektorów to pozostałe są do nich
albo równoskrętne albo nierównoskrętne.
Jeżeli ustalimy parę wektorów to mówimy, że nadajemy orientację.
G
b
wektory
G G
a, c są liniowo niezależne
G
a
O
Orientacja dodatnia
G
Mówimy, że orientacja jest dodatnia, jeżeli obracając wektor a wokół
punktu O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą
poruszamy się niezgodnie z ruchem wskazówek zegara.
G
b
G
b
G
a
O
Orientacja ujemna
G
Mówimy, że orientacja jest ujemna, jeżeli obracając wektor a wokół
G punktu
O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą b
poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
G
a
O
G
b
UWAGA:
II
III
G
j
I
G
i
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
IV
strona 5 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
Orientacja w
(
G G G
a, b, c
)
JJG
E2
O
(
JG G JG
d
( , e, f )
JJG
E2 , E2 , +
)
O'
Dwie trójki wektorów liniowo niezależnych.
Te dwie trójki wektorów nazywami równoskrętnymi jeżeli poprzez
przesunięcie
G Gi obrót
JG G można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się
z
G O’,
JG pary a, b i d , e leżą w jednej płaszczyźnie i są równoskrętne a wektory
c, f są po jednej stronie tej płaszczyzny
G
c
G
a
JG
f
G
b
JG
d
JG G
f c
G
b
JG
d
G
a
G
e
G
e
G JG
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony (tj wektory c, f nie leżą w
jednej płaszczyźnie) to mówimy, że wektory są nierównoskrętne.
G
c
G
a
JG
f
G
b
G
c
G
b
G
JG
a JG d
f
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
JG
d
G
e
G
e
strona 6 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
UWAGA:
Jeżeli zadamy trójkę to każde pozostałe są albo równoskrętne albo
nierównoskrętne.
Dla wybranej trójki orientacja jest dodatnia jeżeli możemy zastosować do
niej regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej ręki) (1).
G
c
(2)
(1)
G
b
G
a
G
b
G
c
G
a
Gdy powyższy warunek nie jest spełniony to występuje orientacja ujemna
(2).
Definicja 4
(
JJG
E3 , E3 , +
JJG
u , v ∈ En
)
Iloczynem wektorowym nazywamy odwzorowanie
takie, że:
1.
u × v := 0 jeśli u = 0 ∨ v = 0
2.
w := u × v jeśli u ≠ 0 ∧ v ≠ 0
a)
b)
c)
JJG JJG JJG
× : E3 × E3 → E3 ,
w⊥u ∧w⊥v
( )
w := u ⋅ v ⋅ sin ) u, v
( u, v, w) jest równoskrętne z przyjętym układem współrzędnych
Własności:
u ≠ 0∧v ≠ 0
1.
u × v = − (v × u )
2.
λ ∈ \ (λ u ) × v = u × (λ v) = λ (u × v)
3.
u× v + w = u×v +u×w
4.
u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ∧ u × v = 0 <=> u || v mówimy, ze u , v są liniowo zależne
(
)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 7 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
5.
u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ∧ u, v - liniowo niezależne
α
P+ =
1
u×v
2
P. = u × v
6.
k
u = u x , u y , u z  = u x i + u y j + u z k
v = vx , v y , vz  = vx i + v y j + vz k
j
i
u , v - liniowo niezależne
u = u x , u y , u z  = u x i + u y j + u z k
v = vx , v y , vz  = vx i + v y j + vz k
(
) (
)
v × v = u x i + u y j + u z k × vx i + v y j + vz k =
= ( u x vx ) i × i + ( u x v y ) i × j + ( u x vz ) i × k + ( u y vx ) j × i + ( u y v y ) j × j + ( u y vz ) j × k +
+ ( uk v x ) k × i + ( uk v y ) k × j + ( uk vz ) k × k =
= ( u x v y ) k − ( u x vz ) j − ( u y v x ) k + ( u y vz ) i + ( uk v x ) j − ( uk v y ) i =
= ( u y vz − uk v y ) i + ( uk vx − u y vx ) j + ( u x v y − u y vx ) k =
= u y vz − uk v y , uk vx − u y vx , u x v y − u y vx 
„OBRAZEK”:
i
u × v = ux
j
uy
vx
vy
k
uy
u z = i (−1)1+1
vy
vz
uz
u
+ j (−1)1+ 2 x
vz
vx
uz
vz
+ k (−1)1+3
ux
vx
uy
=
vy
= ( u y vz − uk v y ) i + ( uk v x − u y v x ) j + ( u x v y − u y v x ) k =
= u y vz − uk v y , uk vx − u y vx , u x v y − u y vx 
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 8 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna
Definicja 7
Iloczyn mieszany
JJG JJG JJG
E3 × E3 × E3 → \
G G JG JJG
u , v, w ∈ E3
Iloczynem mieszanym nazywamy:
(
GGJG
G G JG
uvw := u × v D w
) (
)
WŁASNOŚCI:
G G JG G G JG
u×v D w = u D v× w
G
G
JG
2. u
≠
0
v
≠
0
w ≠ G0 G JG
G G JG
u D v × w = 0 <=> u , v, w są wektorami liniowo zależnymi
1.
(
)
(
(
3.
)
)
(leżą w jednej płaszczyźnie)
G G JG
u D v×w ≠ 0
(
JG
w
)
JG
w
G
v
G
v
G
u
G
u
G G JG
V = u×v Dw
(
4.
)
V=
1 G G JG
u×v D w
6
(
)
u = u x , u y , u z  = u x i + u y j + u z k
v = vx , v y , vz  = vx i + v y j + vz k
w =  wx , wy , wz  = wx i + wy j + wz k
(
ux
GGJG
uvw = vx
uy
vy
uz
vz
wx
wy
wz
)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 9 z 9
Część 15 – Euklid. przest. afiniczna