zagadnienia2011_2012..

AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Zagadnienia i wymagania
Wymagania z Analizy matematycznej I Jest to podstawowy kurs analizy matematycznej obejmujący m.in.
rachunek różniczkowy oraz całkowy funkcji jednej zmiennej. Szczególną uwagę poświęca się wprowadzeniu
i badaniu własności funkcji elementarnych pojawiających się w matematyce szkolnej. Dokładnie omawiane są
pojęcia graniczne takie jak kresy zbiorów, granica ciągu i funkcji, zbieżność szeregu, pochodna funkcji i całka
Riemanna (obecnie wszystkie pojęcia graniczne wycofywane są z programu szkolnego i dla wielu osób są to
pojęcia nowe). W ramach wykładu przybliżane są podstawowe wiadomości z zakresu przestrzeni metrycznych,
całki Lebesgue’a i teorii szeregów Fouriera.
Niniejsze wymagania mają charakter ogólny, szczegóły zostaną podane w stosownym czasie. Zakłada się, że
Student potrafi samodzielnie zrobić komentarz do ćwiczeń, potrafi słuchać i wyrażać się kompetentnie, gdy
jest proszony o wygłoszenie opinii. Potrafi zrobić czytelną i estetyczną notatkę z zajęć. Na każdych zajęciach
wymagana jest znajomość ostatnich wykładów!
Wymagania ogólne Student potrafi posługiwać się rachunkiem zadań i teorią zbiorów. W szczególności,
zna pojęcia iloczynu kartezjańskiego, działania na zbiorach oraz działania uogólnione na zbiorach, zna pojęcie
funkcji, funkcji różnowartościowej, “na” i odwracalnej.
Zakłada się, że potrafi rozwiązywać równania i nierówności liniowe oraz kwadratowe, umie rozwiązywać
problemy, w których pojawiają się wartości bezwzględne (w szczególności zna pojęcie wartości bezwzględnej).
Zna symbol Newtona i jego podstawowe własności. Student zna wzór dwumianowy Newtona oraz wzory
skróconego mnożenia. Student zna pojęcie wielomianu oraz jego pierwiastka. Zna algorytm Henona, twierdzenie
Bezou oraz twierdzenie o pierwiastku wymiernym wielomianu o współczynnikach całkowitych. Student zna
funkcje elementarne (log, ln, sin, cos, tan, cot, exp) i ich podstawowe własności.
Indukcja matematyczna Student zna podzbiory liczb rzeczywistych: liczby naturalne, całkowite i wymierne. Student zna zasadę indukcji zupełnej oraz potrafi dowodzić twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
Potrafi wyjaśnić poszczególne etapy indukcji.
Funkcje i ich własności Student potrafi sprawdzić ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność). Zna przykłady funkcji: wielomiany i funkcje wymierne, funkcje
trygonometryczne i cyklometryczne. Student zna konstrukcję potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcję wykładniczą i logarytmiczną. Student potrafi narysować szkic wykresu funkcji i odczytać z niego podstawowe jej
własności, potrafi liczyć obrazy i przeciwobrazy. Student potrafi liczyć złożenia funkcji i funkcje do nich odwrotne. Student potrafi posługiwać się notacją f : X → Y. Student potrafi policzyć dziedzinę funkcji oraz wie czym
jest przeciwdziedzina. Zna pojęcia injekcji, surjekcji, bijekcji. Zna relacje między obrazami, przeciwobrazami
oraz działaniami na zbiorach.
Nierówności i równania Student potrafi zamieniać nierówności na przeciwobrazy i vice versa. Zna podstawowe nierówności: Cauchy’ego-Schwarza, Minkowskiego, Bernoullego, trójkąta, między średnimi itd. Student
potrafi rozwiązywać nierówności, rozwiązywać równania oraz dowodzić, np. nierówności z częścią całkowitą
i wartością bezwzględną.
Aksjomaty liczb rzeczywistych Student zna uwagi historyczne i podejście “naturalne” do liczb rzeczywistych. Zna definicję aksjomatyczną i uwagi o konstrukcjach Dedekinda i Cantora. Student zna wnioski
wynikające z aksjomatów ciała uporządkowanego. Student zna wnioski wynikające z aksjomatu kresu górnego. Student potrafi wykorzystać aksjomaty liczb rzeczywistych do dowodzenia własności liczb rzeczywistych
(dowody aksjomatyczne). Student zna zasadę Archimedesa oraz zasady gęstości wraz z dowodami. Student
potrafi dowodzić wymierność lub niewymierność liczb rzeczywistych. Zna pojęcie przeliczalności.
Kresy górne i dolne Student zna pojęcia kresów oraz potrafi znajdować i weryfikować kresy zbiorów.
Student potrafi dowieść ogólnych własności kresów.
1
AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Ciągi liczbowe Student zna sformułowania “prawie wszystkie” i “nieskończenie wiele wyrazów ciągu”.
Student rozumie notacje (an ), {an }, zna różnicę między wzorem ogólnym na ciąg, a wzorem rekurencyjnym.
Student zna pojęcia ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz wzór na sumę ich wyrazów. Student potrafi pokazywać monotoniczność ciągu. Student zna definicję ciągu zbieżnego oraz potrafi podać definicję
Cauchy’ego granicy ciągu, zna jej własności. Potrafi weryfikować granicę z definicji. Student zna podstawowe
techniki i twierdzenia dotyczące liczenia granic ciągów (twierdzenie o trzech ciągach, o ciągu monotonicznym
i ograniczonym, itd.). Zna twierdzenie Stolza. Student zna definicję liczby e oraz potrafi liczyć granice wymagające jej znajomości. Student zna twierdzenie o dwóch oraz trzech ciągach. Student zna zasadę zupełności
Cauchy’ego.
Granica górna i dolna Student zna definicję granicy górnej oraz granicy dolnej ciągu. Zna pojęcie punktu
skupienia oraz zbioru punktów skupienia. Potrafi dowodzić podstawowe własności granic dolnych oraz górnych.
Potrafi wyznaczać granicę górną oraz dolną ciągu. Student potrafi wykorzystać podciągi do liczenia granic.
Student zna twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
Szeregi liczbowe Student zna wzór na sumę szeregu geometrycznego oraz umie stosować go do ułamków
okresowych. Student potrafi wyznaczać sumę prostych szeregów. Zna pojęcie szeregu rozbieżnego. Zna warunek konieczny zbieżności szeregu oraz warunki dostateczne: kryterium porównawcze, kryterium Cauchy’ego,
kryterium d’Alemberta, kryterium Leibniza, kryterium kondensacyjne. Potrafi poprawnie stosować podane kryteria. Student zna pojęcie iloczynu Cauchy’ego oraz twierdzenie Mertensa. Zna pojęcia zbieżności bezwzględnej
i warunkowej oraz twierdzenia z nimi związane. Student zna kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych
Ciągłość i granice funkcji Student zna definicje ciągłości według Heinego oraz Cauchy’ego oraz potrafi
na ich podstawie stwierdzić ciągłość w konkretnych przypadkach. Potrafi wyznaczać zbiór punktów ciągłości.
Student zna podstawowe granice funkcji. Zna twierdzenia o granicach funkcji. Student potrafi za pomocą
powyższych twierdzeń, granic podstawowych oraz twierdzeń arytmetycznych policzyć granicę funkcji w punkcie.
Potrafi stwierdzić brak granicy w punkcie. Student potrafi zbadać ciągłość funkcji. Zna pojęcie lipschitzowości
oraz jej relacje z jednostajną ciągłością oraz ciągłością. Student potrafi policzyć granice jednostronne w punkcie.
Student umie policzyć granice niewłaściwe i granice w nieskończoności. Student umie sprawdzić ciągłość
i jednostajna ciągłość funkcji oraz zna własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach zwartych. Student
wie czy funkcje elementarne są ciągłe. Student umie liczyć granicę górną i granicę dolną funkcji w punkcie,
umie sprawdzić półciągłość funkcji.
Pochodne Student potrafi podać definicję ilorazu różnicowego oraz pochodnej (zna ich interpretację graficzną). Zna pojęcie różniczkowalności oraz warunki równoważne. Zna pochodne funkcji elementarnych oraz
podstawowe twierdzenia dotyczące liczenia pochodnej (reguła łańcucha, pochodna iloczynu, ilorazu, funkcji
odwrotnej, . . . ). Student zna pojęcie różniczki funkcji i jej związek z pochodną. Potrafi policzyć pochodną
n-tego rzędu. Student potrafi wyznaczać ekstrema funkcji oraz przedziały monotoniczności, wypukłości, wklęsłości. Umie liczyć punkty przegięcia funkcji. Umie sporządzić przebieg zmienności funkcji. Student potrafi
udowodnić nierówności oraz pokazać tożsamości wykorzystujące w dowodzie metody różniczkowe. Potrafi wykorzystać twierdzenie de l’Hospitala. Potrafi sprawdzić, czy dana funkcja jest różniczkowalna. Student potrafi
policzyć zadania geometryczne dotyczące wyliczenia kąta przcięcia prostych, wyznaczenia stycznej. Potrafi rozwiązać geometryczne zadania optymalizacyjne i ekstremalne. Student zna i umie liczyć pochodne jednostronne
w punkcie. Zna i umie wykorzystać do rozwiązań twierdzenie Darboux. Student zna twierdzenie Taylora i umie
wyprowadzić szeregi potęgowe dla funkcji elementarnych. Zna wzory Maclaurina z resztą w postaci Lagrange’a. Potrafi oszacować resztę we wzorze Taylora. Student zna nierówność Jensena oraz nierówność Höldera.
Student zna twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Lagrange’a, Cauchy’ego.
Całki Student zna definicje funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej. Zna całki z funkcji elementarnych.
Potrafi liczyć całki nieoznaczone za pomocą twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie i całkowaniu przez
części. Student zna twierdzenie o całkowaniu funkcji wymiernych, zna podstawienia Eulera i umie liczyć całki
z funkcji trygonometrycznych. Student zna konstrukcje całki Riemanna poprzez sumy górne i dolne, sumy
Riemanna, jej interpretację geometryczną, wie co to są funkcje całkowalne. Student umie twierdzenie Newtona-Leibniza (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego) oraz zna podstawowe własności całek oznaczonych.
2
AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Student zna definicję całki niewłaściwej i umie ją policzyć. Student potrafi liczyć długości krzywych, pola
powierzchni oraz objętości za pomocą całek (zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej). Student
zna definicję całki Riemanna. Student zna twierdzenia o wartości średniej dla całek.
Ciągi i szeregi funkcyjne Student wie co to zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, zna kryteria zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych (Weierstrassa, Diniego, Dirichleta). Zna
twierdzenia o całkowaniu i różniczkowaniu szeregów. Student zna definicję promienia zbieżności szeregu potęgowego oraz twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Student umie rozwijać funkcję w szereg Taylora.
Przestrzenie metryczne Student zna definicję przestrzeni metrycznej, metryki, itd. Zna podstawowe
przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki; przestrzeń Rn jako przestrzeń metryczna. Zna pojęcia zbioru otwartego, domkniętego, domknięcia zbioru, wnętrza, brzegu, kuli otwartej i domkniętej. Student
zna właściwości topologii podprzestrzeni, produktu przestrzeni. Zna pojęcia ciągu Cauchy’ego, warunku Cauchy’ego; wie co to są ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych. Potrafi podać własności zbiorów domkniętych
i otwartych (charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych). Wie kiedy metryki są równoważne. Student zna
pojęcia zupełności, zwartości, spójności. Zna podstawowe przykłady przestrzeni funkcyjnych. Zna twierdzenie Arzeli i twierdzenie Cantora. Student wie co to ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych. Wie co to
przestrzenie zupełne. Student zna twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Efekt nauczania
Po ukończeniu kursu student:
• definiuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej, w tym m.in. takie pojęcia graniczne jak kresy
zbiorów, granice ciągów i funkcji, pochodne funkcji i odwzorowań przestrzeni euklidesowych oraz całki
Riemanna i Lebesgue’a;
• klasyfikuje funkcje elementarne oraz przedstawia ich definicje i podstawowe własności;
• wylicza i formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, ilustruje je przykładami i przestawia
ich uzasadnienia;
• analizuje takie własności jak zbieżność ciągu, szeregu (liczbowego i funkcyjnego) i funkcji, monotoniczność i wypukłość/wklęsłość funkcji, różniczkowalność funkcji i odwzorowań, całkowalność funkcji,
dostosowując poznane kryteria i metody;
• wyznacza granice ciągów i funkcji, sumy szeregów, pochodne funkcji i odwzorowań, całki nieoznaczone
i oznaczone;
• wyznacza ekstrema i ekstrema związane funkcji, asymptoty funkcji, styczne do wykresów funkcji różniczkowalnych, rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy lub trygonometryczny, przeprowadza analizę przebiegu
zmienności funkcji elementarnych i rysuje ich wykresy;
• stosuje przedstawione pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego do znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji, pól figur i objętości brył, długości krzywych oraz przybliżonych
wartości pierwiastków równań;
• stosuje podstawowe pojęcia topologii metrycznej przestrzeni euklidesowych do opisu własności odwzorować podzbiorów tych przestrzeni.
Uwagi końcowe Prowadzący będzie komunikować się z uczestnikami zajęć za pomocą poczty elektronicznej. Zakłada się, że każdy Student ma konto na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK. Biorąc udział
w zajęciach Uczestnik wyraża zgodę na przetwarzanie przez Prowadzącego jego danych osobowych dla wypełnienia usprawiedliwionych celów związanych z wykonaniem zobowiązań wynikających z prowadzeniem zajęć
oraz wobec ich uczestników, polegających w szczególności na komunikowania się za pomocą poczty e-mail.
Prowadzący nie ponosi odpowiedzialności za nieprawidłowości związane z działaniem poczty na wydziale WMiI.
Prowadzący zastrzega sobie prawo do modyfikacji niektórych szczegółów dotyczących konkretnych wymagań
z przyczyn niezależnych (np. postęp studentów w opanowywaniu niezbędnych umiejętności matematycznych,
korelacja czasowa z wykładem).
3
AMI, zima 2011/2012
mgr Krzysztof Rykaczewski
Wymagania
Zakłada się, że Student jest obeznany z notacją podaną na wykładzie lub na ćwiczeniach. Student potrafi
podać przykłady i kontrprzykłady, które pojawią się na zajęciach. Zna funkcje specjalne, które podane zostały
na ćwiczeniach.
Przykład literatury Niesposób podać literaturę wyczerpującą temat. Do zajęć wykorzystuję zbiór zadań,
który jest dostępny w Internecie pod adresem http://www.mat.umk.pl/˜mozgun/, natomiast przygotowuję
się z następujących podręczników:
• Włodzimierz Krysicki oraz Lech Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Tom 1-2, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2006
• Józef Banaś oraz Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwa NaukowoTechniczne, 2006
• Wiesława J. Kaczor oraz Maria T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Cz. 1-3, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2006
• Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009
• Marian Gewert oraz Zbigniew Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, Wydawnictwo
Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2005
• Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1978
• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1966
• Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1947
Aktualizacja: 22 sierpnia 2012
4