x, y, z

1. Powierzchnie.
Zbiór S ⊂ R3 nazywamy powierzchnią jeżeli dla dowolnego punktu (x, y, z) ∈
S istnieje otoczenie U ⊂ R3 punktu (x, y, z), zbiór otwarty D ⊂ R2 oraz odwzorowanie regularne ϕ : D → R3 ,
ϕ(t, s) = x(t, s), y(t, s), z(t, s)
takie, że
U ∩ S = ϕ(D).
Zbiór ϕ(D) nazywamy płatem. Odwzorowanie ϕ nazywamy parametryzacją
U ∩ S.
Wobec powyższej definicji powierzchnia w przestrzeni R3 to zbiór S, który
lokalnie można opisać równaniami parametrycznymi x = x(t, s), y = y(t, s),
z = z(t, s), gdzie (t, s) ∈ D.
Zauważmy, że powierzchnią w przestrzeni R3 jest również spójny zbiór punktów spełniających równanie H(x, y, z) = 0, gdzie H jest funkcją posiadającą
ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na zbiorze otwartym G ⊂ R3
i taką, że OH 6= 0. Równanie H(x, y, z) = 0 nazywamy równaniem ogólnym
powierzchni.
Zadanie 1.1. Wykazać, że sfera o promieniu r > 0 jest powierzchnią w R3 .
Zadanie 1.2. Niech φ : (0, +∞) × R → R3 będzie dane wzorem
φ(x, y) = (x cos y, xsiny, y) dla
x ∈ (0, +∞) × R = G.
Pokazać, że φ[G] jest powierzchnią w R3 . Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią śrubową.
Zadanie 1.3. Pokazać, że φ[(−ρ, ρ)×[−φ, φ]), gdzie φ(x, y) = ((r+x cos( 21 y)) cos y, (r+
x cos( 21 y)) sin y, x sin( 21 y)) jest 2-wymiarową hiperpowierzchnią w R3 . Hiperpowierzchnię tę nazywamy wstęgą Möbiusa.
Wektorem stycznym do S w punkcie A0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S nazywamy wektor v
taki, że
0
γ(0) = A0 , γ (0) = v,
gdzie γ : (−, ) → R3 jest dowolna krzywą taką, że γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ S
dla t ∈ (−, ).
Zbiór wszystkich wektorów stycznych do S w punkcie A0 oznaczamy TA0 S.
Można pokazać, że TA0 S jest 2-wymiarową przestrzenią wektorową (płaszczyzną). Przestrzeń prostopadłą do przestrzeni TA0 S nazywamy przestrzenią
normalną w punkcie A0 .
Ponadto jeżeli S jest lokalnie opisana równaniami parametrycznymi x =
x(t, s), y = y(t, s), z = z(t, s), (t, s) ∈ D, A0 ∈ S to bazę przestrzeni TA0 S
tworzą wektory
1
2
∂ϕ
(t0 , s0 ),
∂t
∂ϕ
(t0 , s0 ),
∂s
gdzie ϕ(t0 , s0 ) = A0 .
Jeżeli natomiast S dana jest równaniem ogólnym H(x, y, z) = 0 wówczas
wektor ∇H(A0 ) jest wektorem prostopadłym do TA0 S w punkcie A0 .
Zadanie 1.4. Znaleźć przestrzeń styczną oraz normalną do hiperpowierzchni
w danym punkcie p:
(1) z = xy, p = (1, 1, 1)
(2) z = 2x2 − 4y 2 , p = (2, 1, 4)
Zadanie 1.5. Znajdź przestrzeń styczną i normalną do powierzchni śrubowej
w punkcie (1, 0, 0).
Zadanie 1.6. Znajdź równania przestrzeni stycznej oraz normalnej do powierzchni M = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = 0} w punkcie A = (2, 1, 3) gdy F (x, y, z) =
x3 + y 3 + z 3 − 36.
1.1. Całka powierzchniowa niezorientowana. Niech S będzie powierzchnią w
R3 . Załóżmy, że S jest globalnie zadana przez parametryzację ϕ : D → R3 ,
D ⊂ R2 . Niech f = f (x, y, z) będzie funkcją określoną i ciągłą na S. Całką
powierzchniową niezorientowaną funkcji f po powierzchni S nazywamy liczbę
(o ile istnieje)
ZZ
f (ϕ(t, s))Jϕ(t, s)dtds,
gdzie Jϕ(t, s) = k ∂ϕ
(t, s) ×
∂t
D
∂ϕ
(t, s)k,
∂s
(t, s) ∈ D. Całkę tę oznaczamy
ZZ
f dσ
S
Ponadto
Uwaga 1.7. Jeżeli powierzchnia S jest wykresem funkcji z = g(x, y), (x, y) ∈ D,
gdzie g jest funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na
pewnym obszarze zawierającym zbiór D, to całka z funkcji f po powierzchni S
jest równa
ZZ
f (x, y, z)dσ =
S
ZZ
q
D
f (x, y, g(x, y)) 1 + (gx0 (x, y))2 + (gy0 (x, y))2 dσ
oraz
Uwaga 1.8. pole powierzchni S jest równe
|S| =
ZZ
f (x, y, z)dσ
S
3
Zadanie 1.9. Oblicz pole powierzchni jaką ze sfery o równaniu x2 + y 2 + z 2 = 5
wycina walec x2 + y 2 = 4.
Zadanie 1.10. Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną
(1)
ZZ
(2 + xyz)dσ
S
gdzie S jest częścią płaszczyzny x + y + z = 4, dla której x > 0, y > 0,
z>0
(2)
ZZ
(xy + z 2 )dσ,
S
gdzie S jest górną częścią powierzchni bocznej stożka z 2 = (x − 2)2 + y 2
wyciętą walcem x2 + y 2 = 4
(3) Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną
ZZ
(x + y + z)dσ,
S
gdzie S jest sferą x2 + y 2 + z 2 = R2 , (R > 0);
(4)
ZZ
(x + y 2 + z 2 )dσ,
S
gdzie S jest częścią paraboloidy x = y 2 +z 2 wyciętej walcem y 2 +z 2 = 4;
(5)
1
dσ,
+ y2
gdzie S jest torusem o promieniach r = 1, i R = 2
ZZ
S x2
(6)
ZZ
zdσ,
S
gdzie S jest częścią płaszczyzny z = 5 − x − 3y, 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1;
(7)
ZZ
xyzdσ,
S
gdzie S jest powierzchnią walca o promieniu r = 2, środku w punkcie
(0, 0, 0) zawartą między płaszczyznami z = 0 oraz z = 4;
(8)
ZZ
zdσ,
S
gdzie S jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami x + y + z = 1,
2x = 1, 2y = 1, 2z = 1.