Zadania domowe z geometrii różniczkowej, Seria 1 1. Zbadać, w

Zadania domowe z geometrii różniczkowej, Seria 1
1. Zbadać, w otoczeniu jakich punktów podany zbiór 𝑆 jest powierzchnią gładką, znaleźć parametryzację, obliczyć przestrzeń styczną 𝑇𝑥0 𝑆 w podanym punkcie 𝑥0 :
(a) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 ∣ 𝑥1 = 𝑥32 }, 𝑥0 = (1, 1);
√
√
(b) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 ∣ −𝑥21 = 𝑥22 + 2𝑥2 }, 𝑥0 = ( 2/2, −1 + 2/2);
(c) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ ℝ2 ∣ 𝑥1 − 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 }, 𝑥0 = (0, 0);
(d) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ ℝ3 ∣ 𝑥3 = (𝑥21 + 𝑥22 )3/2 }, 𝑥0 = (1, 1, 23/2 );
(e) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ ℝ3 ∣ 𝑥21 + 𝑥22 = 1}, 𝑥0 = (1, 0, 1);
(f) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ ℝ3 ∣ 𝑥1 = 𝑥2 𝑥3 }, 𝑥0 = (1, 1, 1);
(g) 𝑆 = {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ ℝ3 ∣ 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥23 = 0, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0}, 𝑥0 = (3, −2, −1).
2. Zbadać, w otoczeniu jakich punktów podany zbiór 𝑆 jest powierzchnią gładką, znaleźć równania
określające 𝑆, obliczyć przestrzeń styczną 𝑇𝑥0 𝑆 w podanym punkcie 𝑥0 :
(a) 𝑆 = im 𝑝, 𝑝 : ℝ → ℝ2 , 𝑝(𝑡) = (𝑡2 , 𝑡5 ), 𝑥0 = 𝑝(1);
(b) 𝑆 = im 𝑝, 𝑝 : ℝ → ℝ3 , 𝑝(𝑡) = (𝑡, 𝑡2 , 𝑡3 ), 𝑥0 = 𝑝(1);
(c) 𝑆 = im 𝑝, 𝑝 : ℝ2 → ℝ3 , 𝑝(𝑟, 𝜙) = (𝑟 cos 𝜙, 𝑟 sin 𝜙, 𝑟2 ), 𝑥0 = 𝑝(1, 0);