Zadania - omnibus.legnica.pl

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi „na dowodzenie”
Zadanie 1.
Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano
1
punkty E, F oraz D, że |AE| = |BF| = |CD| = |AB|
3
(rysunek obok).
a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny.
b) Udowodnij, że DE  AB, EF  BC, DF  AC.
Zadanie 2.
Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC,
punkty A1, B1, C1 są odpowiednio środkami boków BC,
AC, AB, zaś punkty K, L, M – środkami odcinków SA,
SB, SC (rysunek obok).
Wykaż, że A1B1C1  KLM.
Zadanie 3.
W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC
w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostą
równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N.
Udowodnij, że |MN| = |BN|.
Zadanie 4.
Kąty ABC oraz DBC to kąty przyległe. Poprowadzono
dwusieczne tych kątów oraz prostą, równoległą do
prostej AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio
w punktach E i F, zaś ramię BC – w punkcie K (rysunek
obok).
Udowodnij, że |EK| = |KF|.
Zadanie 5.
W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza
wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że
|BD| = |BC|. Następnie połączono punkty C i D
(rysunek obok).
1
Wykaż, że |CDA| = |CBA|.
2
1
Zadanie 6.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym
równoramiennym. Z punktu M, należącego do
przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD
oraz MS, prostopadłe odpowiednio do
przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że |MD| + |MS| = |AB|.
Zadanie 7.
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M,
należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono
odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio
do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok).
Udowodnij, że
| DM | | MS |

 1.
| AB | | AC |
Zadanie 8.
W trójkącie prostokątnym ABC przedłużono
przeciwprostokątną AB i tak obrano na przedłużeniach
punkty D i E, że |AD| = |AC| oraz |BE| = |BC|
(rysunek obok). Udowodnij, że | DCE| = 135.
Zadanie 9.
W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą
do niej cięciwę CD (rysunek obok).
Udowodnij, że |ACD| – |CDA| = 90.
Zadanie 10.
Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb
całkowitych, z których najmniejszą jest liczba 2k – 3,
gdzie kC, podzielona przez 3 daje resztę 2.
Zadanie 11.
Wykaż, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to
liczba postaci x6 – x4 – x2 + 1 jest podzielna przez 32.
Zadanie 12.
W trójkącie ABC długości boków wynoszą:
|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, gdzie 0 < a < b < c.
Pole tego trójkąta wynosi 3. Wykaż, że |AC| > 6 .
2
Zadanie 13.
W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne
kątów wewnętrznych BAD oraz ADC,
które przecięły się w punkcie M (rysunek obok).
Wykaż, że AMD jest prosty.
Zadanie 14.
Wykaż, że jeśli a > 2 i b < 4, to
ab
 4  b  2a.
2
Zadanie 15.
Wiadomo, że x + y + 2 = 0. Udowodnij, że wartość
wyrażenia x2 + y2 + xy – 4 jest najmniejsza
dla x = y = – 1.
Zadanie 16.
Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie x3 + 5x – kx2 – 5k
przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Zadanie 17.
W trapezie ABCD podstawy mają długości:
|AB| = a oraz |CD| = b, gdzie a > b > 0 oraz
|BAD| + |ABC| = 90. Środek M podstawy AB
połączono ze środkiem N podstawy DC (rysunek obok).
ab
Wykaż, że |MN| =
.
2
Zadanie 18.
Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego  prawdziwa jest
nierówność tg2 + ctg2  2.
Zadanie 19.
W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE,
które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że
|AD|  |CE| = 3 oraz |MAC| + |ACM| = 60.
Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zadanie 20.
Udowodnij, że jeśli x2 + x = y2 + y, to
x = y lub y = – x – 1.
3
Zadanie 21.
Wykaż, że jeśli a i b nie są równe zeru i a + b  0 i
b
3 3
a
1
, to
.


3
ab
ab
3
Zadanie 22.
Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby
czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby.
Zadanie 23.
Udowodnij, że funkcja
x 3  10x 2  25x
f(x) =
, gdzie x  R – {– 5, 0, 5},
x 3  25x
nie ma miejsc zerowych.
Zadanie 24.
Udowodnij, że zbiór wartości funkcji
x 2  8x  16
f(x) =
, gdzie x  – 4,
x4
jest dwuelementowy.
Zadanie 25.
Wykaż, że jeśli a – b < 0 i a + b > 0, to |a| < |b|.
Zadanie 26.
Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania
x2 + y2 – 12x + 2y + 37 = 0 jest para liczb (6, – 1).
Zadanie 27.
Na bokach AC oraz BC trójkąta ABC tak wybrano
| NC |
 k, k(0,1).
punkty M i N, że MN || AB oraz
| BN |
Pole trójkąta ABC wynosi S.
k2 S
Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe
.
(k  1) 2
4
Zadanie 28.
Wykaż, że jeśli aR i bR, gdzie a  0, b  0 i a + b  0
ab
1
ab
oraz 3a2 – 3ab = ab – b2, to
  lub
 0.
ab
2
ab
Zadanie 29.
Długość a boku rombu oraz długości jego przekątnych
d1, d2 spełniają warunek d1  d2 = a2.
Udowodnij, że kąt ostry  rombu spełnia warunek:
0 < tg < 1.
Zadanie 30.
W kole o środku O i promieniu r (r > 0) zaznaczono kąt
środkowy AOB o mierze 120. Następnie
poprowadzono styczne do okręgu o(O, r) w punktach A
i B, które przecięły się w punkcie C (rysunek obok).
Wykaż, że odległość punktu C od środka okręgu jest
równa długości średnicy tego okręgu.
Zadanie 31.
Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem
wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz
3|AD| = |DB| (rysunek obok).
Wykaż, że |CAD| = 60.
Zadanie 32.
Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy
zdarzenia:
A – na co najmniej jednej kostce wypadło sześć oczek,
B – na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek.
1
Wykaż, że P(A – B) = .
6
Zadanie 33.
W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC.
Wykaż, że AB  AC  2AD .
5
Zadanie 34.
Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie . Przez
środek symetrii rombu prowadzimy prostą p,
prostopadłą do płaszczyzny . Na prostej p (poza
płaszczyzną ), wybieramy punkt M (rysunek obok).
Wykaż, że punkt M jest równo odległy od boków
rombu.
Zadanie 35.
Okręgi o1(O1, r1) oraz o2(O2,r2), gdzie r1> r2 są
zewnętrznie styczne w punkcie S. Przez punkt S
prowadzimy prostą k, która przecina okrąg o1
w punkcie A i okrąg o2 w punkcie B oraz prostą l,
która przecina okrąg o1 w punkcie C i okrąg o2 w
punkcie D (rysunek obok).
Wykaż, że AC || BD.
Zadanie 36.
Dany jest sześcian ABCDA1B1C1D1. Punkt O jest
punktem przecięcia przekątnych kwadratu BCC1B1
(rysunek obok).
Wykaż, że odcinek DO jest prostopadły do odcinka BC1.
6