VII Reytaniacka Liga Zadaniowa

VII Reytaniacka Liga Zadaniowa
II seria (2 listopada 2016 r. − 21 listopada 2016 r.)
1. Wykaż, że w każdej grupie osób istnieją dwie osoby, które mają
tę samą liczbę znajomych w obrębie tej grupy.
2. Liczby całkowite x, y, z spełniają warunek
(x − y)(y − z)(z − x) = x + y + z.
Udowodnij, że liczba
(x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3
jest podzielna przez 81.
3. Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego. Jaki warunek spełnia stosunek długości najkrótszego
z boków do różnicy ciągu, jeżeli trójkąt jest rozwartokątny?
4. Dany jest wielomian f (x) = x4 + 26x3 + 52x2 + 78x + 1989.
Udowodnij, że nie istnieją wielomiany p(x) i q(x) o współczynnikach
całkowitych stopni niższych niż 4 takie, że f (x) = p(x) · q(x).
Rozwiązania zadań, podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą należy dostarczyć do sekretariatu liceum najpóźniej
21 listopada 2016 r. (poniedziałek)
Uczestnikami Ligi mogą być tylko uczniowie VI LO im. T. Reytana.