aneks do publikacji - zakład metodologii i pedagogiki twórczości aps

J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
Andrzej Góralski
Akademia Pedagogiki Specjalnej
Dzieło George Pólya
jako realizacja intuicjonizmu syntetycznego
Pragnę wykazać, że nasz wspólny mistrz od heurystyki,
a przy tym znakomity matematyk i wybitny pedagog, był także
wielkiej miary filozofem.
1. Zacznijmy od preliminariów.
I zauważmy, iż zagadnienie sprawności nie jest filozofowi
obojętne. Przeciwnie, mając świadomość ogromu i trudności
stojących przed nim zadań, każdy myśliciel będzie dążył – tak
starannie i tak skutecznie, jak to jest możliwe w danych
okolicznościach, zewnętrznych i wewnętrznych – do efektywności
poczynań.
Filozofowi nie jest obojętna także umiejętność syntezy. To
oczywiste, bowiem istotą, roboczą istotą filozofowania jest
możność ogarnięcia wybranego i bardzo rozległego horyzontu
poznawczego.
Jestem zdania, że ważkim środkiem do sprawnej syntezy jest
metoda poznawcza nazwana intuicjonizmem syntetycznym, będąca
podejściem właściwym wówczas, gdy pragnie się ogarnąć
poznawczo rzecz lub zjawisko złożone, wielopłaszczyznowe
i trudne do uchwycenia analitycznego.
Jak w przypadku teorii twórczości lub uniwersalnej metody
rozwiązywania zadań.
A oto zwięzłe zestawienie podstawowych cech tej metody:
1) intuicjonizm syntetyczny jest sposobem prowadzenia
dyskursu z rzeczywistością;
2) intuicjonizm syntetyczny jest chwytaniem nici przewodniej,
czegoś, co umożliwia syntezę przynoszącą istotność treści,
wrażliwość i otwartość języka, klarowność struktury wyników;
3) intuicjonizm syntetyczny – dbając o czytelność syntezy –
sięga do metafory uprzedmiotowienia dyskursu i nici przewodniej
w pewną postać – wyraźną, bogatą, archetypicznie oczywistą;
1
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
4) gdy synteza zostaje urzeczywistniona, następuje jej
obudowanie, najpierw czymś ogólnym, potem, stopniowo, coraz
drobniejszym, zaś relacja o uzyskanej całości jest profilowana na
modłę ujęć analitycznych;
5) trzeba podkreślać, że metoda nie jest łatwa i niezbędne
jest pewne mistrzostwo, aby ją skutecznie stosować.
2. Tworzywem, z pomocą którego przeprowadzę dowód,
będą myśli i dokonania odnalezione w pięciu – głównych dla tej
syntezy – dziełach George Pólya:
. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (wraz z G. Szegö),
wyd. 2, Berlin 1954
. How to Solve It, Priceton 1948 (Jak to rozwiązać?, PWN 1964)
. Induction and Analogy in Mathematics (vol. 1 Mathemattics
and Plausible Reasoning), Princeton 1954
. Mathematical Methods in Science, Studies in Mathematics,
vol.XI, 1963
. Mathematical Discovery. On Understanding, Learning, and Teaching Problem
Solving, New York 1962 (vol. I), 1965 (vol. II) (Odkrycie matematyczne.
O rozumieniu, uczeniu się i nauczaniu rozwiązywania zadań, WNT 1975)
3. Dowodzić tezy można na różne sposoby:
1) wskazując na George’a Pólya jako na twórcę nowoczesnej
heurystyki, kontynuującego dokonania Sokratesa, Euklidesa,
Archimedesa, Pappusa Aleksandryjskiego, Kartezjusza, Leibnitza,
Bolzano, Macha, Poincaré i Hadamard’a;
2) analizując dokonania kierunku badań i działań
nazwanego Problem Solving, na przykład fundamentalne Human
Problem Solving Simon’a i Newell’a;
3) badają wkład George’a do genezy i rozwoju dziedziny
Artificial Intelligence;
4) odnotowując znaczenie jakie przydają poglądom Pólyi
teoretycy pedagogiki i pedagogiki twórczości;
5) mierząc – jeśli to możliwe – liczbę tych, którzy uważają
się za Jego uczniów lub nimi są.
Wybiorę inną drogę, bliższą mi.
Otóż będę szukał „kluczy do twórczości” George’a Pólya,
formując je w postać nici przewodnich i opisów sposobów prowadzenia
2
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
dyskursu z rzeczywistością, a także uprzedmiotowiając je w postać
mistrza nauczającego.
4. Głównych nici przewodnich i sposobów prowadzenia
dyskursu z rzeczywistością odkryłem siedem:
1) sztuka zadawania pytań;
2) celowo dobrane zestawy zadań;
3) dialog;
4) indukcja, uogólnienie, specjalizacja, analogia;
5) reguły twórczości;
6) odgadywać i sprawdzać;
7) stopniowa uniwersalizacja dokonań.
Przedstawiając je ograniczę się do przytoczenia wybranych
fragmentów prac, zachowując prawo do komponowania z nich
dowodowych całości.
4.1. Sztuka zadawania pytań
W How to Solve It (HS):
Autor przypomina sobie czasy, gdy sam był studentem,
ambitnym żądnym rozumienia. Słuchał wykładów matematyki
i fizyki, czytał książki, starał się zrozumieć istotę rozwiązań
i przytaczanych faktów, lecz jedno go wciąż go niepokoiło: „No
tak, rozwiązanie spełnia swoje zadanie, jest właściwe; ale – jak go
można wymyślić? No tak, to doświadczenie przebiega jak należy,
zaobserwowane zjawisko jest niezaprzeczalnym faktem; lecz jak
można odkryć takie fakty? Jak można by znajdować takie
rozwiązania lub samemu odkrywać fakty tego rodzaju?”
W Induction and Analogy (IA):
Niemała liczba przytoczonych zadań, komentarzy oraz
opowieści uzyskała swą ostateczną postać dzięki sięgnięciu do
nieformalnego eksperymentu psychologicznego.
Dyskutując przedmiot z różnymi grupami słuchaczy, często
przerywałem wykład i zadawałem pytania, takie na przykład: „No
dobrze, a co byście uczynili w tej sytuacji?” Niektóre części tekstu
książki zostały zasugerowane odpowiedziami, niekiedy reakcja
audytorium nakazała zmienić pierwotną wersję wykładu.
3
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
W (HS): Autorowi wydawało się, że będzie rzeczą
pożyteczną zebrać i pogrupować typowe pytania i wskazówki,
które pomocne są przy omawianiu zadań.
Zestawiona ich lista zawiera elementy pieczołowicie
wybrane i uporządkowane, użyteczne także dla tych, którzy
rozwiązują zadania samodzielnie.
Tamże: Przytoczone pytania i wskazówki są ogólne, ale
i naturalne, proste, oczywiste, wynikające ze zdrowego rozsądku.
Ibidem: Najczęściej punkt widzenia autora jest punktem
widzenia osoby, która po prostu pragnie rozwiązać stojące przed
nią zadanie.
Tamże: Autor, dobrze zdając sobie sprawę z możliwości
krytyki i świadom ograniczonych ram swej wiedzy, chciałby na
jedno zwrócić uwagę: ma pewne doświadczenie w rozwiązywaniu
problemów oraz w nauczaniu na różnych poziomach.
4.2. Celowo dobrane zestawy zadań
Pisze autor w (IA): Książka jest kontynuacją wcześniejszej
książeczki: How to Solve It. Wiąże się także ze zbiorem zadań
z analizy, zestawionym przez G. Szegõ i autora. W zbiorze tym
starannie zgrupowano zadania w takim porządku, że wspierają się
one na wzajem, dostarczając klucza do rozwiązywania innych, zaś
jako całość obejmują określoną tematykę i stwarzają sposobność
ćwiczenia pewnych chwytów, ważnych przy rozwiązywaniu
zadań.
Tamże: Komponując tekst uważałem, że powinienem
przytoczyć zarówno zadania ważne ze względów historycznych,
jak i zadania posiadające swoiste piękno matematyczne, jak
również te, które ułatwiają wykazanie pewnego podobieństwa
metod matematycznych do metod stosowanych w innych naukach
lub w codziennym działaniu.
W Mathematical Discovery (MD): W większości rozdziałów
podstawowa część tekstu poświęcona jest wyczerpującej
prezentacji rozwiązań pewnej liczby zadań.
To, co jest prezentowane, nie jest jedynie rozwiązaniem, lecz
pewnym opisem przypadku właściwym danemu rozwiązaniu. W
opisie wyróżniona zostaje sekwencja podstawowych kroków
4
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
prowadzących do odkrycia rozwiązania, a także próba ustalenia
motywów i postaw właściwych określonemu krokowi.
Celem każdego z tych szczegółowych opisów jest
zasugerować pewną ogólną zasadę postępowania, pewną metodę,
która może okazać się pomocna w podobnej sytuacji.
W (IA): Powiem to wyraźnie – starałem się wykorzystać
całość doświadczeń badawczych i nauczycielskich tak, aby dać
czytelnikowi możność rozsądnego naśladownictwa i samodzielnej
pracy.
4.3. Dialog
W (HS):
Etapy dialogu:
(1) zaznajomienie się z zadaniem
(2) głębsze wniknięcie w zadanie
(3) poszukiwanie pomysłu rozwiązania
(4) wykonanie planu
(5) rzut oka wstecz
pytania:
. od czego powinienem zacząć? (1-5)
. co mogę zrobić? (1-5)
. co mógłbym zauważyć?
. w jaki sposób myśl może być pomocna?
. co mogę zrobić z pomysłem niekompletnym?
. co mogę przez to zyskać? (1,2,4,5)
. co mogę zyskać czynią to znów? (3)
Tamże: Kto chce rozwijać zdolności do rozwiązywania
zadań, musi rozbudzać zainteresowanie nimi, a także dać możność
naśladowania i praktyki.
4.4. Indukcja, uogólnienie, specjalizacja, analogia
Paragraf 2.5. (IA):
Uogólnienie, specjalizacja analogia
Często pomocne w rozwiązywaniu zadań.
Weźmy jako przykład dowód najlepiej chyba znanego
twierdzenia geometrii elementarnej, twierdzenia Pitagorasa.
Dowód, który podam, nie jest nowy, został bowiem sformułowany
jeszcze przez Euklidesa (Elementy,VI,31).
5
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
(1) Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o bokach a, b, c,
pierwszy z których jest przeciwprostokątną. Zamierzamy
udowodnić, że
a2 +
b2 = c2.
(A)
Tak sformułowany cel sugeruje, by zbudować kwadraty na
trzech bokach naszego trójkąta prostokątnego. Czyniąc to
dochodzimy do dobrze znanej części I rysunku:
(2) Odkrycie, również odkrycie bardzo skromne, wymaga
zauważenia czegoś, rozpoznania pewnego związku. Odkryjemy
dowód, który zostanie przytoczony później, jeśli dostrzeżemy
analogię między znaną już częścią I rysunku i niemal równie
dobrze znaną częścią III: trójkąt prostokątny, ten sam co w I, w III
podzielony zostaje na dwie części wysokością, opuszczoną na
przeciwprostokątną.
(3) Nie jest wykluczone, że nie dostrzegacie analogii między
I i III. Jednakże można ją uwyraźnić, a to poprzez wspólne
uogólnienie I i III, zobrazowane w II. Odnajdujemy tam ten sam
trójkąt prostokątny, a na jego trzech bokach zbudowane zostały
trzy wielokąty, podobne do siebie, a poza tym całkowicie dowolne.
(4) Pole kwadratu, zbudowanego w I na przeciwprostokątnej, równe jest a2. Pole nieprawidłowego wielokąta,
zbudowanego w II na przeciwprostokątnej, można uznać za równe
λa2; współczynnik λ określony jest jako stosunek dwu danych pól.
Wobec czego z podobieństwa trzech wielokątów, zbudowanych
6
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
w II na bokach a, b, c trójkąta, wynika, iż ich pola równe są
odpowiednio λa2, λb2, λc2.
(4) A więc, jeśliby równanie (A) było prawdziwe (jak
ustanawia się w twierdzeniu, które zamierzamy udowodnić), to
byłoby prawdziwe także
λa2 +
λb2 = λc2.
(B)
Jak widzicie (B) jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa:
jeśli trzy podobne wielokąty zbudowane są na trzech bokach
trójkąta prostokątnego, to pole wielokąta, zbudowanego na
przeciwprostokątnej, równe jest sumie pól dwu pozostałych
wielokątów.
Jest pouczającym zauważyć, że to uogólnienie jest
równoważne przypadkowi szczególnemu, od którego wyszliśmy.
W rzeczy samej można wyprowadzać równania (A) i (B) jedno z
drugiego, mnożąc lub dzieląc przez λ (które, jak stosunek dwu pól,
jest różne od 0).
(5) Twierdzenie ogólne, wyrażone przez (B), równoważne
jest nie tylko przypadkowi szczególnemu (A), lecz i innym
przypadkom szczególnym. Tak więc, jeśli okaże się, że istnieje
pewien przypadek szczególny prawdziwy przez oczywistość, to
tym samym udowodniony zostanie przypadek ogólny.
Poszukując owej użytecznej specjalizacji rozglądamy się
wokół za naszym szczególnym przypadkiem. Lecz oto właśnie III
stanowi taki przypadek. Rzeczywiście, trójkąt prostokątny,
zbudowany na swej własnej przeciwprostokątnej, jest podobny –
jak dobrze wiadomo i co łatwo dostrzec – do dwu innych
trójkątów, zbudowanych na jego przyprostokątnych. Ponad to –
oczywiście – pole całego trójkąta równe jest sumie jego dwu części.
Tak więc twierdzenie Pitagorasa zostało udowodnione.
Przeprowadzone rozumowanie jest nadzwyczaj pouczające.
A mówimy, że przypadek jest pouczający, jeśli można nauczyć na
nim czegoś, co da się zastosować do innych przypadków, i tym
bardziej jest pouczający, im obszerniejsze są granice możliwych
7
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
zastosowań. A przecież na rozpatrzonym przykładzie możemy
nauczyć się wykorzystywania tak podstawowych operacji
myślowych, jak uogólnienie, specjalizacja i percepcja analogii. Nie
jest wykluczone, że ani w matematyce, równie dobrze
elementarnej, jak i wyższej, ani nawet w dowolnej innej dziedzinie
nie można dokonać odkrycia nie sięgając do tych fundamentalnych
operacji.
A rozpatrzony przykład wskazuje, jak od przypadku
szczególnego (figura I) można wspiąć się z pomocą uogólnienia do
sytuacji ogólnej (figura II), a następnie przejść z pomocą
specjalizacji do przypadku analogicznego (figura III).
Wykazuje także ważny fakt, powszedni w matematyce,
a mimo tego zadziwiający nowicjusza lub filozofa, że przypadek
ogólny może być równoważny logicznie przypadkowi
szczególnemu.
Nasz przykład wskazuje poglądowo i sugestywnie, jak
naturalnie łączą się z sobą uogólnienie, specjalizacja i analogia
w wysiłku osiągnięcia upragnionego rozwiązania.
W (HS): Całe nasze myślenie jest przeniknięte analogią:
codzienna mowa i proste wnioskowania, literackie sposoby
wyrażania się i największe naukowe osiągnięcia. Analogii używa
się na bardzo różnych poziomach. Często sięga się do analogii
mglistych,
dwuznacznych,
niepełnych
lub
niezupełnie
określonych. Analogia może jednak osiągnąć matematyczny
stopień precyzji. Przy czym – każdy rodzaj analogii może mieć
znaczenie dla okrycia rozwiązania i dlatego nie należy
zaniedbywać żadnej z nich.
Ibidem: W matematyce, tak jak w naukach fizycznych,
możemy używać obserwacji i indukcji do odkrywania ogólnych
praw. Istnieje jednak różnica – w fizyce nie ma większego
autorytetu niż obserwacja i indukcja, w matematyce zaś jest nim
ścisły dowód.
4.5. Reguły twórczości
W (HS): Wasz problem może być skromny; jeśli jednak
zaciekawi was i pobudzi do czynu zdolności twórcze i jeśli
rozwiążecie go własnymi siłami, możecie doznać emocji
towarzyszącej napięciu umysłu i triumfowi dokonanego odkrycia.
8
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
Takie emocje przeżyte w odpowiednim wieku mogą zrodzić
zamiłowanie do twórczej pracy umysłowej i wywrzeć na całe życie
piętno, zarówno na umyśle, jak i na charakterze.
Tamże: Reguły dokonywania odkryć
Pierwszą regułą jest mieć zdolności i szczęście. Regułą drugą
– być wytrwałym dotąd, aż wpadnie się na dobry pomysł.
W (IA): W tekście książki będę wielokrotnie omawiał
odkrycia matematyczne, zarówno wielkie, jak i małe. Nie jestem w
stanie opowiedzieć, jak do nich doszło, ponieważ tego nie wie nikt.
Jednakże będę starał się dokonywać prawdopodobnych
rekonstrukcji tego, jak mogło do odkrycia dojść. Będę więc zabiegał
o wyjaśnienie motywów, leżących u podstaw odkrycia, schematów
rozumowania, które do odkrycia doprowadziły, jednym słowem
tego wszystkiego, co warte jest naśladowania.
W (MD): Reguły odkrywania?
– racjonalność,
– oszczędnie, lecz bez założonych z góry ograniczeń,
– wytrwałość, lecz i różnorodność,
– reguły preferencji,
– zawartość rzeczowa zadania,
– dostępna wiedza,
– zadania pomocnicze
W (HS): Błędem byłoby sądzić, że rozwiązywanie zadań to
wyłączna sprawa intelektu, ważną rolę grają tu również
wytrwałość i emocje. Obojętność i bierna zgoda na zrobienie
czegokolwiek może wystarczyć do rozwiązania zadania typowego.
Ale do rozwiązania zagadnienia poważnego trzeba siły woli, której
nie złamią lata trudów i gorzkich rozczarowań.
Treści wybranych rozdziałów (MD):
Plan i program:
– planowanie jako metoda, – metoda ogólniejsza, – program,
– wybór między planami, – plan a program, – metoda a plan
Narodziny pomysłu:
– przebłysk światła, – o naturze użytecznego pomysłu,
– pomysły zależą od trafu
Praca umysłu:
9
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
– jak myślimy, – to jest nasze zadanie, – związek z rzeczą,
– bliskość, – przewidywanie, – obszar poszukiwań, – decyzje,
– mobilizacja i organizacja, – rozpoznawanie i przypominanie,
– uzupełnianie i przegrupowywanie, – izolacja i kombinacja,
– diagram, – część sugeruje całość
Dyscyplina umysłu:
– jak powinniśmy myśleć, – ustalenie uwagi na celu, – ocena
perspektyw, – poszukiwania: próby, – poszukiwania: bardziej
obiecujący aspekt, – poszukiwania: wiadomości wiążące się
z zadaniem, – poszukiwania: ponowna ocena sytuacji, – sztuka
zadawania pytań
W (HS): Stosować regułę dosłownie, sztywno, ślepo, bez
względu na to, czy pasuje do danej sytuacji czy nie – to jest
szablonowość.
Stosować regułę w sposób naturalny, rozsądnie, postrzegają
przypadki, do których ma zastosowanie, nie pozwalać, aby słowa
reguły zaciemniały cel działania albo możliwości wynikające
z danej sytuacji – to jest mistrzostwo.
4.6. Odgadywać i sprawdzać
W (MD): Rozwiązywanie zadań stanowi jedną ze
specyficznych właściwości intelektu, a intelekt to specyficzny rys
gatunku ludzkiego.
Rozwiązywanie zadań można więc uznać za najbardziej
charakterystyczną domenę człowieczej aktywności.
W (IA): Matematykę uważa się za naukę dedukcyjną.
Jednakże jest to jedynie jeden z jej aspektów. Matematyka
„zakończona”, przedstawiana w dopracowanej formie, wydaje się
być czysto dowodową. Jednakże matematyka „tworzona” podobna
jest do innych nauk, będących w trakcie stawania się. Zanim
zostanie udowodnione, twierdzenie musi zostać odgadnięte; zanim
przeprowadzicie szczegółowy dowód, musicie odgadnąć jego
ogólną ideę. Czyniąc to, powinniście sięgać do obserwacji,
zestawiać jej wyniki, wykorzystywać analogie; podjąwszy jedną
próbę, trzeba podjąć następną, potem dalsze… Wynikiem
twórczości matematycznej jest rozumowanie dowodowe, dowód;
jednakże odkrywa się dowód z pomocą rozumowania
wiarogodnego, dzięki odgadywaniu.
10
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
W (MD): Jeśli potrzebny jest wam trój-słowny opis metody
naukowej, to pozwólcie, iż zaproponuję:
ODGADYWAĆ I SPRAWDZAĆ.
W (IA): Zawarte w książce przykłady rozumowań mogą
rzucić pewne światło na jeden z najbardziej kontrowersyjnych
problemów filozoficznych: na zagadnienie indukcji. Zasadniczym
jest tu pytanie: czy istnieją reguły indukcji? Niektórzy filozofowie
odpowiadają: tak. Większość uczonych myśli: nie.
Moim zdaniem można uzyskać pewną informację o
rozumowaniu indukcyjnym obserwując i porównując przykłady
rozumowań wiarogodnych, mających za przedmiot tworzywo
matematyczne. Tak oto otwarta zostaje droga do indukcyjnego
badania indukcji.
W Mathematical Methods in Science: Zobaczyliśmy więc jak
Newton, poprzez odniesienie fenomenów spadającego jabłka,
ruchu pocisku artyleryjskiego i Księżyca do odkrytych przez
Keplera praw obrotów planet, doszedł do prawa powszechnego
ciążenia i praw dynamiki.
Czyż nie jest tak, że liczna rzesza satelitów i sond
kosmicznych to godny pomnik i potwierdzenie jego geniuszu?
W (HS): Wracanie do definicji jest ważną operacją myślową.
Jeżeli chcemy zrozumieć, dlaczego definicje słów są tak ważne, to
powinniśmy przedtem uświadomić sobie, że same słowa są ważne.
Trudno byłoby myśleć nie korzystając ze słów, znaków czy innych
symboli. Słowa i znaki mają więc pewną siłę. Ludzie prymitywni
wierzą, że słowa i symbole mają moc magiczną. Możemy ich
zrozumieć, jednakże nie powinniśmy podzielać ich wiary.
Powinniśmy wiedzieć, że siła słowa tkwi nie w jego brzmieniu, ale
w pojęciach, do których słowo się odnosi oraz – w rezultacie – w
faktach, na których pojęcie jest oparte.
4.7. Stopniowa uniwersalizacja dokonań
Porównanie głównych elementów spisów treści:
. How to Solve It:
I W klasie
II Jak to rozwiązać?
III Krótki słownik heurystyczny, a w nim m.in.: analogia,
definicja, indukcja, nowoczesna heurystyka, paradoks odkrywcy,
11
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
reguły dokonywania odkryć, szablonowość i mistrzostwo,
uogólnienie, wytrwałość, nadzieja, sukces
. Induction and Analogy in Mathematics:
rozdziały: Indukcja, Uogólnienie, specjalizacja, analogia,
Indukcja i stereometria, Indukcja i teoria liczb, Różne przykłady
indukcji, O pewnym ogólniejszym twierdzeniu, Indukcja
matematyczna, Maksima i minima, Matematyka fizyczna, Zadanie
izoperymetryczne,
Inne rodzaje rozumowań wiarogodnych
. Mathematical Methods in Science:
I. Z historii astronomii: pomiar i kolejne przybliżenia
sekcje: Pomiar, Pomiary astronomiczne, Kolejne przybliżenia,
Metoda Newtona
II. Z historii statyki
sekcje: Stevinus i Archimedes, Wektory
III. Z historii dynamiki
sekcje: Galileusz, Newton, Wahadło, Pierwsza szybkość kosmiczna
IV. Rozumowanie fizyczne w matematyce
V. Równania różniczkowe i ich wykorzystanie w nauce
sekcje: Pierwsze przykłady, Przybliżenia: rozwinięcia potęgowe,
Analogia fizyczna, Co to jest równanie różniczkowe?
. Mathematical Discovery:
Część I Metody
rozdziały: Metoda dwu miejsc geometrycznych, Metoda
Kartezjusza, Rekursja, Superpozycja
Część II W kierunku metody ogólnej
rozdziały: O zadaniach, Rozszerzenie zakresu metody,
Odwzorowanie geometryczne procesu rozwiązania, Plan i program,
Zadania w zadaniach, Narodziny pomysłu, Praca umysłu,
Dyscyplina umysłu, Reguły odkrywania? O uczeniu się, nauczaniu
i uczeniu nauczania, Odgadywanie a metoda naukowa
Fragmenty W (MD): Ale oto poszukiwania metody
uniwersalnej dały nie więcej od poszukiwań kamienia
filozoficznego, zamieniającego ołów na złoto: są takie wielkie
marzenia, które muszą pozostać marzeniami.
I mimo to te nieosiągalne ideały nie są tak całkiem
nieużyteczne: nikt nie dotarł do Gwiazdy Polarnej, wielu jednak,
patrząc na nią, znalazło właściwą drogę.
12
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
Książka ta nie może podać uniwersalnej metody
rozwiązywania zadań (i nie ma takiej książki), jednakże nawet
postawienie kilku kroków w stronę nieosiągalnego ideału może
wzbogacić nasze umysły i pogłębić umiejętność rozwiązywania
zadań.
W (IA): Książka zmierza do osiągania różnorodnych celów,
ściśle z sobą powiązanych.
Cel naczelny, to służyć jako przewodnik po ważnej, choć
niedostatecznie wytyczonej drodze.
To jednak nie wszystko – książka jest zarazem próbą eseju
filozoficznego.
Jest także kontynuacją i wymaga kontynuacji.
W (HS): Bardziej ambitny plan może mieć większą szansę
realizacji.
To brzmi paradoksalnie. Jednakże przechodząc od jednego
zadania do drugiego, możemy nieraz zauważyć, że nowym,
bardziej ambitnym zadaniem łatwiej jest operować niż zadaniem
wyjściowym. Może być łatwiej odpowiedzieć na więcej pytań niż
tylko jedno. Może być łatwiej udowodnić twierdzenie ogólniejsze
i rozwiązać ogólniejsze zadanie.
5. Mam nadzieję, że przekonałem Was – nie ma wątpliwości,
iż wkład George’a Pólya do filozofii jest znaczny, a jego sedno to
wyrazisty krok ku uniwersalnej metodzie rozwiązywania zadań.
5.1. Ten motyw, wymieniony jako siódmy, jest klamrą
łączącą ogół dokonań i dążeń, a pozostałe nici przewodnie jawią się
jako środki do urzeczywistniania uniwersalizacji.
Pokażę to na przykładzie triady uogólnienie, specjalizacja,
analogia.
Otóż czynną jej obecność można dostrzec, między innymi,
w procesie odkrywania i transformacji reguł odkrywania:
– od początkowego, sprawdzanego w praktyce
. pierwszą regułą jest mieć zdolności i szczęście;
. regułą drugą – być wytrwałym dotąd, aż wpadnie się
na dobry pomysł,
– poprzez percepcję reguł i właściwości analogicznych,
charakterystycznych dla innych podejmowanych działań, a więc
. formowania sztuki zadawania pytań,
13
J. Łaszczyk, M. Jabłonowska (red.), Wokół problematyki zdolności, Warszawa 2011
ISBN 978-83-929503-1-8, © Wydawnictwo Universitas Rediviva 2011
. konstruowania celowo dobranych zestawów zadań,
. skutecznie i odkrywczo przeprowadzanego dialogu,
. odnajdywania celnych odgadnięć oraz
. perfekcyjnego sprawdzenia poprawności wyniku,
– dochodzi Autor do zestawu końcowego:
. racjonalnie,
. oszczędnie, lecz bez założonych z góry ograniczeń,
. wytrwale, lecz i różnorodnie,
. uwzględniając reguły preferencji, ustalane ze względu
na zawartość rzeczową zadania, dostępną wiedzę oraz
zadania pomocnicze.
Motyw „mieć szczęście” rozwinięty zostaje odrębnie,
między innymi w „pomysły zależą od trafu”.
5.2. Jak nazwać ten styl filozofowania i tę filozofię?
Bez wątpienia jest rodzajem metodologii.
Wykazałem, że będzie słusznym przydanie mu określnika
intuicjonizm syntetyczny.
Jednocześnie i z całą pewnością, jest to także – po drugie –
teoria twórczości poznawczej, przede wszystkim matematycznej.
Nie sposób nie zauważyć również powszechnie docenianego
znaczenia dokonań dla fundamentów i rozwoju pedagogiki
twórczości.
Jest więc – po trzecie – teorią wychowania do twórczości.
5.3. Kończąc pragnę podkreślić niezwykłość fenomenu
jedności człowieka i dzieła.
Bo przecież ów nauczający mistrz, to zarówno George Pólya,
jak i jego dokonanie.
Mistrz odszedł, dzieło trwa, a wraz z nim twórca.
Warszawa, 19 września 2011 roku
14