Nieruchome stopnie swobody ?0

RoG@j 2005
11/14/2005
Nieruchome stopnie
swobody
Obciążenie statyczne
Odzyskiwanie sił wewnętrznych
Obciążenie geometryczne
Ekwiwalentny wektor obciążeń
Belka zginana
φi
!
φi
⎡1 0
⎢
EJ ⎢0 1
3 ⎢
L 0 0
⎢
⎣0 0
wi
φk
Wiersz i to reakcje w i od przemieszczeń
Kolumna j to reakcje od przemieszczenia j
Odzyskiwanie sił…
wk
φk
0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎥
0 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥
ML
⋅
=
⇒ ϕk =
1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥
4EJ
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 4L2 ⎦ ⎣ϕ k ⎦ ⎣M ⎦
0
0
Odzyskiwanie sił…
!
wk
6L − 12 6L ⎤
⎡ 12
⎢ 6L 4L2 − 6L 2L2 ⎥
EJ
⎥
K= 3 ⎢
L ⎢− 12 − 6L 12 − 6L ⎥
⎢
⎥
2
− 6L 4L2 ⎦
⎣ 6L 2L
!
Najprostsze zadanie
wi
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥=f
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣ 1⎦
f − reakcje w miejscach stopni swobody
⎡12 6L − 12 6L ⎤
⎥
⎢
2
− 6L 2L2 ⎥ ML
EJ ⎢6L 4L
⋅
L3 ⎢12 − 6L 12 − 6L ⎥ 4EJ
⎥
⎢
2
− 6L 4L2 ⎦
⎣6L 2L
⎡ 32 ML ⎤
⎥
⎢ 1
M ⎥
f = ⎢ 23
⎢− ML ⎥
⎥
⎢ 2
⎣⎢ M ⎦⎥
Delikatne schody…
Wykonujemy na poziomie elementu
!
!
Wymnażamy wektor przemieszczeń dla danego
elementu przez macierz sztywności tego
elementu
Uzyskujemy siły węzłowe `stowarzyszone` ze
stopniami swobody (odpowiadające stopniom
swobody)
Nieruchome stopnie swobody
⎡1
⎢
EJ ⎢0
3 ⎢
L 0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎢ ⎥
0 0 ⎥ ⎢ ∆ ⎥ ⎢⎢0⎥⎥
⋅
=
⇒ ϕk = 0
1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 4L2 ⎦ ⎣ϕ k ⎦ ⎣0⎦
?
1
RoG@j 2005
11/14/2005
Ekwiwalentny wektor liczymy
… jak odzyskiwanie sił
Co robić?
!
Przy podejściu, w którym…
!
!
!
Nie agregujemy nieruchomych stopni swobody
`Jedynkujemy` nieruchome stopnie swobody
… co de facto oznacza to samo…
6L − 12 6L ⎤ ⎡∆ ⎤
⎡ 12
⎥ ⎢ ⎥
⎢
2
− 6L 2L2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
EJ ⎢ 6L 4L
=f
⋅
L3 ⎢− 12 − 6L 12 − 6L ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢
2
− 6L 4L2 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎣ 6L 2L
f − reakcje w miejscach stopni swobody
!
… musimy wyznaczyć ekwiwalentny wektor
obciążeń węzłowych dla elementów, w
których występuje dany nieruchomy stopień
swobody
Reakcja…
Obciążamy z minusem!!!
⎡ 12 ⎤
⎥
⎢
EJ∆ 6L ⎥
f= 3 ⎢
L ⎢− 12⎥
⎥
⎢
⎣ 6L ⎦
Odzyskiwanie sił…
⎡12 6L − 12 6L ⎤
⎡0⎤
⎢
⎢ ⎥
2
2 ⎥
− 6L 2L ⎥ 3 ∆ ⎢ 0 ⎥
EJ ⎢6L 4L
⋅
=f
3 ⎢
L 12 − 6L 12 − 6L ⎥ 2 L ⎢ 0 ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
2
− 6L 4L2 ⎦
⎣6L 2L
⎣− 1⎦
f − reakcje w miejscach stopni swobody
⎡1
⎢
EJ ⎢0
L3 ⎢0
⎢
⎣0
⎤ ⎡0⎤
⎡0 ⎤
⎥ ⎢0⎥
⎢ ⎥
⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = EJ∆ ⎢ 0 ⎥ ⇒ ϕ = − 3 ∆
k
⎥ ⎢0⎥
2L
L2 ⎢ 0 ⎥
⎥
⎢ ⎥
2⎥ ⎢
0 0 4L ⎦ ⎣ϕ k ⎦
6
−
⎣ ⎦
0 0
1 0
0 1
0
0
0
Trochę fizyki…
!
⎡ −9 ⎤
⎥
⎢
EJ − 3L ⎥
f = 3 ∆⎢
L ⎢ 9 ⎥
⎥
⎢
⎣− 6L ⎦
Więcej fizyki…
Do reakcji w węzłach (stopniach swobody) musimy
dodać fikcyjny, ekwiwalentny wektor obciążeń!
⎡ −9 ⎤
⎡ 12 ⎤
⎡3 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
EJ ⎢ − 3L ⎥ EJ ⎢ 6L ⎥ EJ ⎢ 3L ⎥
+ 3 ∆
= 3 ∆
f= 3 ∆
L ⎢ 9 ⎥ L ⎢− 12⎥ L ⎢− 3⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣− 6L ⎦
⎣ 6L ⎦
⎣0 ⎦
Nieruchome stopnie swobody
2