Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu

Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym
rozkładem popytu
Marcin Anholcer
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
19 marca 2013, Ustroń
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
1/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
1
Wprowadzenie
Zagadnienie rozdziału
Sformułowanie problemu
2
Algorytm
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
3
Podsumowanie
Uwagi końcowe
Podziękowania
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
2/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Zagadnienie rozdziału
Sformułowanie problemu
Zagadnienie rozdziału
Jednorodne dobro transportowane jest od m dostawców do n
odbiorców.
Warunki podażowe i popytowe.
Celem jest minimalizacja całkowitego (liniowego) kosztu.
Ilość transportowanego dobra zmienia się w czasie transportu.
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
3/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Zagadnienie rozdziału
Sformułowanie problemu
Model
min f (x) =
m X
n
X
cij xij
i=1 j=1
m
X
rij xij
i=1
n
X
= bj , j = 1, . . . , n
xij ≤ ai , i = 1, . . . , m
j=1
xij ≥ 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
4/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Zagadnienie rozdziału
Sformułowanie problemu
Losowy popyt
Wielkości popytu: zmienne losowe Bj o dyskretnych
rozkładach Pr (Bj = bjs ) = pjs , s = 1, . . . , Sj
(1)
(2)
Koszt nadmiaru sj , koszt niedoboru sj .
Wartość oczekiwana dodatkowego kosztu j:
(2)
(1)
fj (xj ) = sj (E (Xj ) − xj ) + (sj
Marcin Anholcer
(2)
+ sj )
Z
xj
Φj (t)dt
0
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
5/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Zagadnienie rozdziału
Sformułowanie problemu
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
min f (x) =
m X
n
X
fj (xj )
(1)
rij xij = xj , j = 1, . . . , n
(2)
i=1 j=1
m
X
i=1
n
X
cij xij +
n
X
j=1
xij = ai , i = 1, . . . , m
(3)
xij ≥ 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n
(4)
j=1
Cel: wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące koszt całkowity,
uwzględniający wartość oczekiwaną dodatkowego kosztu.
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
6/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Warunki optymalności
cij + rij f+0 (xj ) ≥ ui , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, xij = 0
cij + rij f−0 (xj ) ≤ ui ≤ cij + rij f+0 (xj ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, xij > 0
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
7/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Algorytm
1
Wyznacz rozwiązanie początkowe:
xij = ai , j = n
xij = 0, j 6= n
2
Wyznacz jednostronne pochodne cząstkowe i kryteria
optymalności. Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to STOP.
3
Zmień aktualne rozwiązanie i wróć do kroku 2.
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
8/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Warunki optymalności
Wyznacz:
vi = min{kij+ |j = 1, . . . , n + 1} −→ j ??
wi = max{kij− |, xij > 0, j = 1, . . . , n + 1} − vi −→ j ?
α = max{wi |i = 1, . . . , m} −→ i ?
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
9/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Zmiana rozwiązania
Wyznacz
λ− = xj ? − bj−?
λ+ = bj+?? − xj ?? −
−
λ+
λ
,
, xi ? j ?
λ = min
ri ? j ? ri ? j ??
xi ? j ? := xi ? j ? − λ
xi ? j ?? := xi ? j ?? + λ
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
10/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Zbieżność
Algorytm zawsze kończy działanie po skończonej liczbie kroków.
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
11/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Warunki optymalności
Szczegóły
Zbieżność i wydajność
Wydajność
cij ∈< 5, 10), sij1 ∈< 1, 2), sij2 ∈< 5, 10), rij ∈< 0.8, 0.9),
ai ∈< 10, 20), tij ∈ {1, . . . , 10}, rozkłady: od 10 do 20 wartości,
kolejne obliczane według wzoru bjs+1 = bjs + r , r ∈< 0.5, 1.5),
1000 problemów każdego rozmiaru, Java SE, Intel(R) Core(TM)
i7-2670 QM CPU 2.20 GHz
Rozmiar (m, n)
AVG
ST DEV
MIN
MAX
10, 10
0,032
0,008
0,009
0,058
10, 20
0,082
0,015
0,042
0,133
50, 50
2,032
0,218
1,090
2,810
50, 100
5,758
0,426
4,540
7,500
Marcin Anholcer
100, 100
12,657
1,082
9,300
18,700
100, 200
39,541
2,152
34,300
48,400
250, 250
173,783
9,960
156,000
250,000
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
250, 500
616,969
21,022
547,000
702,000
12/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Uwagi końcowe
Podziękowania
Uwagi końcowe
Efektywny algorytm.
Wykorzystanie jednostronnych pochodnych pozwoliło na
wykorzystanie metody gradientowej mimo, że funkcja celu nie
jest rózniczkowalna w sposób ciągły.
Zastosowanie metody wyrównań sprawia, że nie jest konieczne
używanie w sposób jawny struktury A-lasu.
Metodę można stosować dla zadań z dowolnymi rozkładami
dyskretnymi, również nieskończonymi (w szczególności do
zadań z rozkładem Poissona).
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
13/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Uwagi końcowe
Podziękowania
Podziękowania
DZIĘKUJĘ!
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
14/ 15
Plan wystąpienia
Wprowadzenie
Algorytm
Podsumowanie
Uwagi końcowe
Podziękowania
Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym
rozkładem popytu
Marcin Anholcer
Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
19 marca 2013, Ustroń
Marcin Anholcer
Stochastyczne zagadnienie rozdziału
15/ 15