dostać szklankę

Szklankę o pojemności 200 cm3 napełniono do ¾ pojemności zimną wodą o
temperaturze 10ºC i dopełniono wrzątkiem o temperaturze 100ºC. Nie biorąc pod
uwagę strat energii na ogrzewanie samej szklanki i powietrza w otoczeniu wyznacz
końcową temperaturę wody w szklance.
1. Opis sytuacji
Sytuację wygląda następująco: zmieszano więcej wody zimnej i mniej wody ciepłej.
Rozpatrujemy bilans cieplny tylko między tymi dwoma „ciałami” (o ile można tak nazwać
jakąś objętość wody), tzn. piszemy tylko dwa równania na przepływ ciepła Q (nie piszemy
równań dla szklanki i otoczenia) – zgodnie z 0. zasadą termodynamiki ciepło przepływa od
ciała cieplejszego (o większej temperaturze) do ciała zimniejszego (o mniejszej temperaturze)
aż do wyrównania temperatur.
2. Namysł nad tym, z jakich wzorów, praw, założeń skorzystać
Skoro mowa jest o przepływie ciepła (jak zresztą w większości zadań z termodynamiki), to
możemy skorzystać z ogólnego wzoru opisującego ten proces:
 Q = c ⋅ m ⋅ ∆ t = c ⋅ m ⋅ ( t k − t p ) , (1)
gdzie
• Q oznacza ciepło
(a dokładniej „ilość” ciepła, które przepłynęło, zatem moglibyśmy tu wpisać równie dobrze ∆ Q , ale zostawmy
tak jak jest, bo zwykle się tak zapisuje – a miarą „ilości” tego ciepła jest wartość energii, która została
dostarczona do układu lub została oddana przez układ),
•
•
m jest masą ciała,
a ∆ t zmianą temperatury tego ciała, czyli różnicą między temperaturą końcową t k a
∆ t = tk − t p
temperaturą początkową t p :
(Sytuacja ta odpowiada ogrzewaniu ciała. Jeśli ciało oziębia się, to przez ∆ t będziemy rozumieć różnicę między
temperaturą początkową a końcową t p − t k - po to tylko, żeby uniknąć ujemnej zmiany temperatury.)
3. Wybór metody rozwiązania
Możemy do rozwiązania tego zadania podejść na dwa sposoby (które w istocie sprowadzą się
do jednego) – albo robimy to analogicznie jak w zadaniach, w których mamy porównać np.
masy lub ciepła właściwe dwóch różnych substancji, do których doprowadzono (ewentualnie
odprowadzono) taką samą ilość ciepła – podpunkt 3.1. Możemy też od razu napisać wzór na
bilans cieplny – podpunkt 3.2.
3.1. Metoda „klamerkowa”
a) Ponieważ w zadaniu rozważamy dwa ciała, możemy zapisać ogólny wzór (1) dla ich
szczególnych przypadków (biorąc te dwa wzory szczegółowe w klamerkę, bo dotyczą jednej
sytuacji):
 Q1 = c1 ⋅ m1 ⋅ ( t k 1− t p1 )
(2),

 Q2 = c2 ⋅ m2 ⋅ ( t p 2 − t k 2 )
gdzie symbole oznaczają odpowiednio: Q1 - ciepło pobrane przez zimną wodę, c1 - ciepło
właściwe zimnej wody, m1 - masa zimnej wody, t k 1 - temperatura końcowa zimnej wody, t p1
1
- temperatura początkowa zimnej wody. Analogicznie dla ciepłej wody, tylko w tym
przypadku wszystkie symbole mają na dole indeks „2”. Pamiętamy tylko, żeby zapisać
różnicę temperatur dla ciała oddającego ciepło ( t p 2 − t k 2 ) .
b) Zauważamy, że ciepło oddane przez ciepłą wodę jest równe ciepłu pobranemu przez zimną
wodę Q1 = Q2 , temperatura końcowa dla obu „ciał” będzie równa t k 1= t k 2 (zresztą właśnie ją
mamy obliczyć).
Oczywiście temperatura końcowa w zadaniach na bilans cieplny będzie zawsze taka sama
(początkowo rozróżniłem t k 1 od t k 2 tylko dla przejrzystości rozumowania)
W przypadku, gdy rozważamy bilans cieplny jedynie dwóch ciał wartości ciepła Q będą
również takie same.
W ogólności ciepła właściwe c nie będą sobie równe, choć akurat w tym zadaniu tak będzie:
c1 = c2 - ponieważ wodę zimną czy ciepłą ogrzewa się „w tym samym tempie” (tj. ciepło
właściwe nie zależy od temperatury).
Zatem układ równań (2) upraszcza się nam do postaci:
 Q = c ⋅ m1 ⋅ ( t k − t p1 )
(3).

 Q = c ⋅ m2 ⋅ ( t p 2 − t k )
c) Teraz już moglibyśmy rozwiązać zadanie, jednak nie mamy wprost podanych mas ciał
biorących udział w wymianie ciepła. Możemy jednak łatwo sobie policzyć ich masy z
podanej objętości oraz wziętej z tablic gęstości wody. Ogólnie masa to objętość razy gęstość
m = V ⋅ ρ , więc:
3
g
m1 = ⋅ 200cm3 ⋅ 1 3 = 150 g = 0,15kg
4
cm
1
g
m2 = ⋅ 200cm3 ⋅ 1 3 = 50 g = 0,05kg .
4
cm
d) Teraz możemy zapisać Dane i Szukane:
Dane:
c = 4200 J kg ⋅ ° C
m1 = 0,15kg
m2 = 0,05kg
t p1 = 10° C
Szukane:
tk = ?
t p 2 = 100° C
e) Następnie kombinujemy, jak przekształcić wyrażenia tak, żeby po lewej stronie dostać
tylko Szukaną, a po prawej Dane.
Ponieważ Szukaną mamy w nawiasie, więc trzeba będzie nawias ten rozłożyć (przemnożyć
przez liczbę przed nawiasem), żeby dostać samą Szukaną.
 Q = c ⋅ m1 ⋅ t k − c ⋅ m1 ⋅ t p1

 Q = c ⋅ m2 ⋅ t p 2 − c ⋅ m2 ⋅ t k
(4).
2
f) Aby rozwiązać układ równań, możemy go podzielić stronami (i), dodać/odjąć stronami (ii),
zastosować podstawienie (iii).
(i) dzielenie stronami
Tutaj akurat lepiej skorzystać z postaci układu (3) – dzielimy lewą stronę równania
pierwszego przez lewą stronę drugiego równania i podobnie prawą przez prawą:
Q c ⋅ m1 ⋅ ( t k − t p1 )
=
Q c ⋅ m2 ⋅ ( t p 2 − t k )
Skracamy co się da (te same liczby w liczniku i mianowniku):
m ⋅ (t − t )
1 = 1 k p1
m2 ⋅ ( t p 2 − t k )
Mnożymy obustronnie przez mianownik ułamka z prawej strony i przemnażamy nawiasy:
m2 ⋅ t p 2 − m2 ⋅ t k = m1 ⋅ t k − m1 ⋅ t p1
Przenosimy na jedną stronę wszystkie wyrażenia z niewiadomą a na drugą bez niewiadomej
(pamiętając o zmianie znaku przy zmienianiu strony):
m2 ⋅ t p 2 + m1 ⋅ t p1 = m1 ⋅ t k + m2 ⋅ t k
Akurat dostaliśmy niewiadomą po prawej, więc zapisujemy odwrotnie:
m1 ⋅ t k + m2 ⋅ t k = m2 ⋅ t p 2 + m1 ⋅ t p1
Działamy tak, żeby po lewej mieć tylko niewiadomą (wyłączamy ją przed nawias i dzielimy
obustronnie przez ten nawias):
m ⋅ t + m1 ⋅ t p1
t k = 2 p2
m1 + m2
I jeszcze dla porządku możemy zamienić kolejność składników w sumie (tak żeby najpierw
były te z indeksem jeden – choć to oczywiście wymóg raczej estetyczny – nie jest to
konieczne):
m ⋅ t + m2 ⋅ t p 2
t k = 1 p1
m1 + m2
(ii) odejmowanie stronami
Odejmujemy stronami (lewa od lewej, prawa od prawej – pamiętamy, żeby postawić znak
minus przed całym wyrażeniem odejmowanym – całą prawą stroną) korzystając z postaci
(4):
Q − Q = c ⋅ m1 ⋅ t k − c ⋅ m1 ⋅ t p1 − ( c ⋅ m2 ⋅ t p 2 − c ⋅ m2 ⋅ t k )
Po opuszczeniu nawiasu (zmianie znaków wyrażeń w nawiasie) mamy:
0 = c ⋅ m1 ⋅ t k − c ⋅ m1 ⋅ t p1 − c ⋅ m2 ⋅ t p 2 + c ⋅ m2 ⋅ t k
Przenosimy wyrażenia bez niewiadomej na drugą stronę (bo przed nimi jest tu minus, więc
po drugiej stronie będą bez minusa – tak nam będzie łatwiej się nie pogubić w znakach):
c ⋅ m1 ⋅ t p1 + c ⋅ m2 ⋅ t p 2 = c ⋅ m1 ⋅ t k + c ⋅ m2 ⋅ t k
Wyłączamy przed nawias powtarzający się wszędzie czynnik c, żeby go móc wyrzucić
(obustronnie dzieląc przez c) oraz wyłączamy przed nawias Szukaną:
c ⋅ ( m1 ⋅ t p1 + m2 ⋅ t p 2 ) = c ⋅ t k ⋅ ( m1 + m2 )
Teraz podobnie jak powyżej zamieniamy stronami równanie oraz dzielimy obustronnie przez
to, co stoi przy niewiadomej:
m ⋅ t + m2 ⋅ t p 2
t k = 1 p1
m1 + m2
3
(iii) podstawienie
Podstawienie możemy zastosować, kiedy mamy w jednym z równań wyrażenie na którąś z
niewiadomych (jeśli nie mamy gotowego, to sobie przekształcamy równanie tak, żeby je
dostać) – a w tym przypadku mamy wyrażenie na Q. Możemy zatem do drugiego równania
podstawić wyrażenie na Q z pierwszego (lub na odwrót – tu wyjdzie na to samo):
Skoro Q = c ⋅ m1 ⋅ t k − c ⋅ m1 ⋅ t p1 , to c ⋅ m1 ⋅ t k − c ⋅ m1 ⋅ t p1 = c ⋅ m2 ⋅ t p 2 − c ⋅ m2 ⋅ t k .
Teraz przekształcamy podobnie jak powyżej i dostajemy to samo wyrażenie na temperaturę
końcową.
3.2. Metoda bilansu cieplnego
Metoda ta polega po prostu na porównaniu ciepła oddawanego przez jedno ciało (lub układ
składający się z kilku ciał) o wyższej temperaturze z ciepłem przyjmowanym przez drugie
ciało (lub układ ciał) o niższej temperaturze.
Ciepło przyjmowane: Q = c ⋅ m1 ⋅ ( t k − t p1 ) .
Ciepło oddawane: Q = c ⋅ m2 ⋅ ( t p 2 − t k ) .
Tyle samo ciepła przyjęło ciało zimniejsze, co oddało cieplejsze, więc:
c ⋅ m1 ⋅ ( t k − t p1 ) = c ⋅ m2 ⋅ ( t p 2 − t k ) .
(Widać, że jest to takie samo rozwiązanie, jak pokazana powyżej metoda podstawienia.)
Teraz obustronnie skracamy przez c, wymnażamy nawiasy, przekształcamy równanie (jak to
pokazano powyżej) i dostajemy wzór na temperaturę końcową mieszaniny:
m1 ⋅ t p1 + m2 ⋅ t p 2
tk=
.
m1 + m2
4. Obliczenia
Podstawiamy dane wartości do wzoru końcowego:
m1 ⋅ t p1 + m2 ⋅ t p 2
0,15kg ⋅ 10° C + 0,05kg ⋅ 100° C
=
m1 + m2
0,15kg + 0,05kg
(1,5 + 5) kg ⋅ ° C = 6,5 ° C = 65 ⋅ 10 ° C = 65 ° C = 32,5° C
=
0,2kg
0,2
10 ⋅ 2
2
(Pamiętamy o sprawdzeniu jednostki oraz o napisaniu odpowiedzi)
tk=
=
Odp.: Temperatura końcowa wody w szklance wynosiła 32,5° C .
5. Namysł nad wynikiem
Warto się zawsze zastanowić, czy to, co nam wyszło ma jakiś sens (bo jeśli wynik będzie
podejrzany, to może się gdzieś pomyliliśmy w obliczeniach).
Po pierwsze, to w ogóle dobrze, że temperatura końcowa wyszła pośrednia między
temperaturami mieszanych (złączonych) substancji.
Po drugie, wody zimnej było więcej, więc to dobrze, że temperatura końcowa jest bliższa
temperatury początkowej zimnej wody niż temperatury wrzątku.
4
Zadanie pochodzi ze zbioru: R. Subieta, Zbiór zadań z fizyki dla szkoły podstawowej,
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996 (Zad. 10.71.)
5