mp2_dg_03.

Transkrypt

mp2_dg_03.

CZĘŚĆ II – DYNAMIKA GAZÓW
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
10
Rozdział 3 – Prędkość propagacji
nieskończenie małego zaburzenia
3. Prędkość propagacji nieskończenie małego zaburzenia
3.1. Prędkość dźwięku
Wyprowadzenie 1
a)
dU
c
b)
motionless
gas
c-dU
c
wave front moving
with velocity c
p+dp
dU
p
p+dp
p
C-dU
Rys.3.1. Propagacja płaszczyzny zmiany ciśnienia
a) układ odniesienia związany z cylindrem (proces niestacjonarny)
b) układ odniesienia przemieszcza się z frontem fali (proces
stacjonarny)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
11
Równanie zasady zachowania pędu:
•
A[p − (p + dp)] = m[(c − dU) − c]
(3.1)
Uproszczenie równania (3.1) prowadzi do związku:
dp = ρcdU
(3.2)
Równanie ciągłości napisane dla obu stron frontu fali:
A ρ c = A (ρ + dρ)(c − dU)
(3.3)
lub
ρdU = cdρ
(3.4)
lub
dρ dU
=
c
ρ
(3.5)
Kombinacja równań (3.2) i (3.5) daje:
dU =
dρ dp
dp
→
=
→ c=
ρc
ρ ρc 2
dp
dρ
(3.6)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
12
Zakładając, że propagacja frontu fali jest procesem
adiabatycznym:
p
= const
ρχ
(
)
′
dp
p
= const ρ χ = χ const ρ χ −1 = χ = χRT
dρ
ρ
Prędkość dźwięku dla gazu doskonałego
c = χ RT
(3.7)
(3.8)
Wpływ masy atomowej:
c = χ RT = χ
( MR ) T
W
gdzie:
(MR) – uniwersalna stała gazowa
W - masa atomowa
Wniosek:
Gazy z małą masą atomową mają większą prędkość dźwięku.
(3.9)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
13
Wyprowadzenie 2:
Równanie ciagłości:
∂ρ
+ ∇ • (ρU ) = 0
∂t
(3.10)
Zasada zachowania pędu dla płynu nielepkiego (równanie Eulera)
∂U + (U • ∇ )U = − 1 ∇p
ρ
∂t
(3.11)
Rozprzestrzenianie się nieskończenie małego zaburzenia powoduje
zmianę parametrów płynu:
 p( x , t) = p o + p′ ( x , t)

 ρ( x , t ) = ρ o + ρ ′ ( x , t )
 U ( x , t) = U ′ ( x , t)

gdzie:
index 0 odnosi się do parametrów stagnacji
max|p'|<<po i
max|ρ'|<<ρo
x,t
x,t
(3.12)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
14
Uwzględnienie nieskończenie małego zaburzenia prowadzi do
zlinearyzowanego układu równań:
Uwzględniając, że
∂ (ρ o + ρ′ )
+ ∇ •[(ρ o + ρ′ )U ′] = 0
∂t
∂ρo
=0
∂t
i zakładając, że
;
(3.13)
∇ •  ρo U '  = ρo ∇ •  U ' 




ρ′U ′ = 0
(3.14)
(3.15)
Zlinearyzowane równanie ciągłości:
∂ρ ′
+ ρ o ∇ •U ′ = 0
∂t
(3.16)
Linearyzacja członu konwekcyjnego w równaniu zachowania pędu:
(U ′ • ∇)U ′ =  iU′x + jU′y + kU′z  •  i ∂∂x + j ∂∂y + k ∂∂z U ′ =


′
′
′
zaburzenie
= U ′x ∂U + U′y ∂U + U ′z ∂U male

→ 0
∂x
∂y
∂z
Zlinearyzowane równanie pędu:
∂U ′
1
= − ∇p'
∂t
ρo
(3.17)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
15
Zakładając adiabatyczne rozprzestrzenianie się fali:
p o + p′
po
 ρ + ρ′ 
= o

 ρo 
χ
(3.18)
lub
ρ′ 
p′ 
1+
=  1+ 
po 
ρo 
χ
(3.19)
Rozwinięcie równania (3.19) w szereg Taylora w otoczeniu ρ'=0
prowadzi do:
χ
( )

ρ′ 
df
1 d 2f 2
3
′
′
f (ρ′ ) =  1 +  = f (0 ) +
ρ′ +
ρ
+
0
ρ
dρ′ ρ′=0 2 dρ′ 2 ρ′=∂
 ρo 
(3.20)
Uwzględniając tylko liniowy człon:
f ( ρ′) ≅ 1 + χ
ρ′
ρo
(3.21)
Kombinacja równań (3.19) i (3.21) daje:
p′ = χ
po
ρo
ρ′
(3.22)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
16
Liniowe równania rządzące procesem rozprzestrzeniania się
nieskończenie słabego zaburzenia:
Równanie ciągłości:
∂ρ ′
+ ρo∇ • U′ = 0
∂t
równanie zachowania pędu:
∂U ′
1
= − ∇p'
∂t
ρo
(3.23)
równanie adiabaty:
p′ = χ
po
ρo
ρ′
Zróżniczkowanie równania ciągłości po czasie prowadzi do:
∂ 2 ρ′
 ∂U ′ 
+
ρ
∇
•

=0
o
2
∂t
 ∂t 
(3.24)
Zastąpienie zlinearyzowanym równaniem pędu członu w równaniu
(3.24) daje:
∂ 2 ρ′
− ∇ 2p ' = 0
∂t 2
(3.25)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
17
Równanie (3.25) po wprowadzeniu liniowej formuły na
adiabatyczne sprężanie przyjmuje postać :
p
∂ 2 ρ′
− χ o ∇ 2ρ' = 0
ρo
∂t 2
(3.26)
lub
1 ∂ 2 ρ′
∇ ρ′ −
=0
p o ∂t 2
χ
ρo
2
lub
1 ∂ 2 ρ′
∇ ρ′ − 2 2 = 0
c ∂t
2
(3.27)
gdzie:
c= χ
po
= χRTo
ρo
(3.28)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
18
Przeprowadzając podobne rozumowanie możemy znaleźć takie
samo równanie opisujące propagację zaburzenia ciśnienia:
2p ′
∂
1
2
∇ p′ −
=0
2
2
c ∂t
(3.29)
Zakładając jednowymiarowy charakter propagacji płaszczyzny fali
ciśnienia, równanie (3.29) będzie miało postać :
∂ 2p ′ 1 ∂ 2p ′
−
=0
2
2
2
c ∂t
∂x
(3.30)
Ogólna postać rozwiązania równania fali jest (rozwiązanie
d’Alamberta):
p′ = f ( x − ct) + g( x + ct)
(3.31)
gdzie:
f , g - dowolne funkcje swoich argumentów zależne jedynie od
warunków początkowych i brzegowych
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
19
p'
t
t1
p'(t=0)=f(x)
x
Fig.3.2. Przestrzenno-czasowe rozprzestrzenianie się małego
zaburzenia ciśnienia.
Początkowe zaburzenie ciśnienia:
p′ ( t = 0) = f ( x ) + g( x )
(3.32)
rozprzestrzenia się wzdłuż linii prostych :
x = ± ct
Prędkość propagacji pulsacji ciśnienia:
p
dx
= ±c = χ o = χRTo
dt
ρo
(3.33)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
20
Rozwiązanie d’Alamberta:
Równanie fali jest przekształcone w nowy układ współrzędnych:
ξ = x + ct
η = x − ct
(3.34)
z macierzą Jakobianu:
J=
∂ (ξ, η) 1 1
=
∂ (x, t ) c − c
(3.35)
Pulsacja ciśnienia w nowym układzie współrzędnych:
p′ [ ξ ( x , t) , η( x , t) ]
(3.36)
∂p ′ ∂p ′ ∂ξ ∂p ′ ∂η ∂p ′ ∂p ′
+
=
+
=
∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
∂ 2 p ′ ∂  ∂p ′  ∂  ∂p ′ ∂p ′ 
= 
+
=
= 
2
x
x
x
∂
∂
η
∂
∂
ξ
∂
∂x




=
∂  ∂p ′ ∂p ′  ∂ξ ∂  ∂p ′ ∂p ′  ∂η
=
+
+


 + 
∂ξ  ∂ξ ∂η  ∂x ∂η  ∂ξ ∂η  ∂x
∂ 2 p′ ∂ 2 p′
∂ 2 p′
+ 2
= 2 +2
∂
ξ
∂
η
∂η
∂ξ
(3.37)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
21
∂p ′ ∂p ′ ∂ξ ∂p ′ ∂η  ∂p ′ ∂p ′ 
=
+
= c
−

∂
η
∂t
∂ξ ∂t ∂η ∂t
∂
ξ


∂  ∂p ′ ∂p ′ 
∂ 2 p′
−
=
c

=
2
∂t  ∂ξ ∂η 
∂t
 ∂  ∂p′ ∂p′  ∂ξ ∂  ∂p′ ∂p′  ∂η
= c  −  +  −   =
 ∂ξ ∂ξ ∂η  ∂t ∂η ∂ξ ∂η  ∂t 
 ∂2p′ ∂2p′ ∂2p′
2
+
−2
=c 

2
2
∂
∂
ξ
η
∂η 
 ∂ξ
(3.38)
Wstawienie równania (3.37) i (3.38) do równania fali (3.30)
prowadzi do:
∂ 2 p′
=0
∂ξ∂η
Kanoniczna postać równania fali.
(3.39)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
22
3.4. Fizyczne różnice między: przepływem nieściśliwym,
poddźwiękowym i naddźwiękowym przepływem ściśliwym.
a)
b)
-3
-3
-2
-1
-2
-1
0,-1,-2
0 -1 -2 -3
-3
c)
Mach
Cone
d)
-3
Zone of Silence
-2
-1
0
-1
-3
ne
Co
-3
-2
Zone of
Action
-1
Zone of
Action
-2
M
3ct
Zone of
Silence
ach
α
0
3Vt
-1
-2
-3
Zone of
Silence
Rys.3.3. Pole ciśnień wytworzone przez punktowe źródło
zaburzenia przemieszczające się w jednorodnym polu prędkości .
a) Płyn nieściśliwy ( U / c = 0 )
b) Przepływ poddźwiękowy ( U / c = 1 / 2)
c) Przepływ okołodźwiękowy ( U / c = 1)
d) Przepływ naddźwiękowy ( U / c = 2)
Ma =
Ma
- liczba Macha
U
c
(3.40)
ZAAWANSOWANA
MECHANIKA
PŁYNÓW
23
Przepływ nieściśliwy.
Medium jest nieściśliwe (prędkość dźwięku jest nieskończenie duża)
albo prędkość przemieszczającego się punktu jest mała w
porównaniu do prędkości dźwięku i pulsacje ciśnienia
rozprzestrzeniają się jednorodnie we wszystkich kierunkach.
Przepływ poddźwiękowy.
Źródło pulsacji ciśnienia przemieszcza się z prędkością mniejszą
niż prędkość dźwięku ale porównywalną z nią, zaburzenia ciśnienia
rozprzestrzeniają się we wszystkich kierunkach ale kształt zaburzeń
już nie jest symetryczny.
Przepływ naddźwiękowy.
Wszystkie zaburzenia ciśnienia są zawarte w stożku, przy czym
źródło zaburzenia stanowi jego wierzchołek a oddziaływanie tych
zaburzeń nie sięga do strefy w górę przepływu.
Stożek wewnątrz którego zawarte są zaburzenia nazywany jest
stożkiem Macha określonym przez kąt:
sin α =
1
Ma
(3.41)

mp2_dg_03.

Transkrypt

Podobne dokumenty

LITERATURA – LABORATORIUM MECHANIKA PŁYNÓW

Ramowy program studiów

Recenzja "Małego Księcia". Autorem książki jest Antoine de Saint

Moduł: MECHANIKA PŁYNÓW MECHANIKA PŁYNÓW

mp2_dg_05.

DOJRZAŁOŚĆ MAŁEGO DZIECKA A PROBLEMY ROZWOJOWE

Mechanika płynów

Streszczenie do 1000 znaków (albo 80

Dobre słowo Serce każdej matki przepełnia duma i radość, gdy jej

,,Kurs ABC małego biznesu „ (24g/l)