Analiza funkcjonalna

Program przedmiotu
ANALIZA FUNKCJONALNA
30 godzin wykładów
1. Przestrzenie unormowane. Przykłady: przestrzeń euklidesowa, przestrzenie ciągów c, c_0, m,
l_p, przestrzeń funkcji ciągłych, przestrzenie funkcji całkowalnych, przestrzenie Lebesgue'a L_p i
inne.
2. Topologia przestrzeni unormowanej. Zbieżność. Zbieżność w konkretnych przestrzeniach.
Zbiory gęste. Przestrzenie ośrodkowe. Przykłady.
3. Przestrzenie Banacha. Podprzestrzenie. Operacje na przestrzeniach Banacha : przestrzenie
ilorazowe, sumy proste.
4. Pojęcie funkcjonału liniowego. Funkcjonały liniowe ciągłe. Przedłużanie liniowych
funkcjonałów ciągłych. Twierdzenie Hahna-Banacha i najważniejsze wnioski.
5. Przestrzenie sprzężone. Przykłady przestrzeni sprzężonych. Przestrzenie refleksywne. Słaba i
osłabiona (*- słaba) topologia.
6. Operatory liniowe w przestrzeniach unormowanych. Ograniczoność a ciągłość. Przestrzeń
operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha. Operator sprzężony.
7. Rodzaje zbieżności ciągów operatorów: zbieżność jednostajna, silna zbieżność oraz słaba
zbieżność. Twierdzenie Banacha-Steinhausa.
8. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz o wykresie domkniętym. Twierdzenie o
odwzorowaniu odwrotnym.
9. Rezolwenta operatora liniowego. Widmo operatora. Klasyfikacja widma. Przykłady.
10. Operatory zwarte. Definicje, przykłady oraz własności podstawowe. Charakter widma
operatora zwartego.
11. Przestrzenie Hilberta. Przykłady przestrzeni Hilberta. Ortogonalność. Rzut na podprzestrzeń.
12. Układy ortonormalne. Szeregi Fouriera. Nierówność Bessla. Baza przestrzeni Hilberta.
Tożsamość Parsevala. Zagadnienie najlepszej aproksymacji. Twierdzenie Riesza-Fischera.
13. Operatory liniowe w przestrzeni Hilberta. Formy dwuliniowe a operatory. Operatory
samosprzężone. O widmie operatora samosprzężonego. Operatory unitarne.
14. Operatory dodatnie. Pierwiastek kwadratowy z operatora dodatniego. Rozkład spektralny
operatora samosprzężonego. Twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych (bez
dowodu).
Literatura
1. S. G. Krein / red., Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1967.
2. L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1999.
3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 2002.
Literatura dodatkowa
4. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, Warszawa, PWN, 1969.
5. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa, PWN, 1989.
6. S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna a zadaniach, Warszawa, PWN, 2007.
7. K. Rudol, Zbiór zadań z analizy funkcjonalnej, I, AGH, 2008.