tutaj

1
O pewnych funkcjach harmonicznych w U
W paragrafie tym rozważamy pewne klasy zespolonych funkcji harmonicznych z
biegunem, które generowane są albo przez warunki analityczne, albo przez nierówności współczynnikowe. Przedstawione zostaję twierdzenia, które dają geometryczne własności funkcji rozważanych klas. pewne rezultaty korespondują z
wynikami rozważanymi w [4]. Inspiracją tych badań były prace [1] oraz [2]. Część
wynków została zaprezentowana na XII-tej Miedzynarodowej MatematycznoInformatycznej Konferencji w Chełmie [3].
Niech Ur := {z ∈ C : |z| > r}, r > 1 U1 := U. Rozważmy funkcje H postaci
(1)
H(z; ξ) = ξz +
∞
X
an z −n ,
z ∈ U, ξ ∈ C \ {0}, an ∈ C, n = 1, 2, . . . .
n=1
Definicja 1 Niech α ∈ h0, 1i, Re ξ < 0. Oznaczmy przez J (ξ, α) klasę funkcji
H postaci (1)spełniających warunek
(2)
H(z; ξ)
+ (α − 1)Hz0 (z; ξ) − 2ξα > 0,
Re α
z
z ∈ U.
Podobnie jak w definicji 1 określamy kolejną klasę funkcji.
Definicja 2 Niech α ∈ h0, 1i, ξ ∈ C\{0}. Przez J˜(ξ, α) oznaczmy klasę funkcji
Hpostaci (1) spełniających warunek
(3)
∞
X
(α + (1 − α)n) |an | ¬ |ξ|.
n=1
Twierdzenie 1 Jeśli α ∈ h0, 1i, ξ < 0, to J˜(ξ, α) ⊂ J (ξ, α).
Definicja 3 Niech α ∈ h0, 1i, Re ξ < 0. Oznaczmy przez J − (ξ, α) klasę funkcji
H z klasy J (ξ, α) postaci
(4)
H(z; ξ) = ξ z −
∞
X
an z −n ,
an ­ 0, n = 1, 2, . . . , z ∈ U.
n=1
Twierdzenie 2 Każda funkcja H z klasy J − (ξ, α) spełnia warunek (3).
1
Literatura
[1] Chichra P. N., New subclasses of the class of close-to-convex functions,
Proc. Amer. Math. Soc., 62(1), (1977), 37-43.
[2] Jakubowski Z. J., Łazińska A., On some harmonic functions related to
holomorfic functions with a positive real part, Tr. Petrozavodsk. Gos.
Univ., Ser. Mat., 13, (2004), 61-70.
[3] Jakubowski Z. J., Sibelska A., On classes of holomorphic and complex
harmonic functions with a pole at the infinity generate by some analytic conditions (in Polish), Conference papers of the XII Environmental
Mathematically-Informatical Conference, Chełm, (2006).
[4] Sibelska A. On some coefficient conditions for complex harmonic functions with a pole at the infinity, Demonstratio Math., 39(2), (2006), 335346.
2