a) |x + 1

Repetytorium z matematyki -zadania
Wartość bezwzględna
1. Wyznacz zbiór wszystkich x, które spełniają warunek:
a) |x + 1| + |x − 1| = 2 b) 2|x| − |x + 1| = 2
p
√
c) | 2|x + 1| + 1 | = 3 d) (x − 2)2 + x2 + 6x + 9 = 1 − x
e) ||x + 3| − 7| 6 |x + 2| f) |x + 3| > |2x − 1|.
2. Wyznacz zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają warunek:
a) |x| + |y| 6 1 b) |x − 2| + |y + 1| < 1
c) |x − y| = |x| + 1 d) |x| + 2x > 2
3. Wykreśl funkcję:
a) y = |x2 − 2x − 3| b) y = |x| + 1
c) y = |x + 1| d) y = |3 − |x − 1||
x−2 e) y = |x|
f)
y
=
x
2−x g) y = 2|x| − |x + 1| h) y = |x − 2| + 3.
Funkcja liniowa
4. Rozwiąż układ równań
5x +y
=1
3x +4y = 5
a)
b)
x −5y = 0
x −5y = −9
(m − 1)x +2y = 1
c)
(dyskusja ze względu na parametr m )
x
+my = 1
5. Dla jakich całkowitych m rozwiązaniem układu
mx −y
=5
jest para liczb dodatnich?
2x +3my = 7
6. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu
x −y = m
jest para liczb o przeciwnych znakach?
2x −y = 2 − m
Funkcja kwadratowa
7. Narysuj wykres funkcji
a) y = |x2 − 3| b) y = x|x| − 2x + 3
c) y = |x| + |1 − x2 | d) y = |x − x2 | − |x − 1|
e) y = x2 + 2|x| + 1 f) y = 2|x2 + 1| − |x| − 1
8. Znajdź funkcję f (m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m
a) x2 − 9 = m b) |x2 − x − 6| = m
c) |x2 + 2x − 3| = m
9. Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 − x − 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
x1 , x2 spełniające warunek x21 + x22 = 7 ?
10. Dla jakich wartości parametru m kwadrat różnicy pierwiastków równania x2 + mx + 1 = 0 jest
równy 9
11. Dla jakich wartości parametru m równanie mx2 − (m − 3)x + 1 = 0 ma dwa rozwiązania dodatnie?
1
12. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania 4mx2 −4(1−2m)x+9m−8 = 0
spełniają warunek
1
1
+ 2 > −4
2
x1
x2
Wielomiany
13. Rozłóż wielomiany na czynniki
1) x4 + 1 2) x4 + x2 + 1 3) x4 − x2 + 1 4) x6 + 7x3 − 8
5) 3x3 − 2x2 + 3x − 2 6) y 5 − 2y 3 − y 2 + 2 7) 2x3 + 9x2 − 6x − 5
8) t4 − t3 − 7t2 + t + 6
14. Rozwiąż równania
1) x3 − 7x − 6 = 0 2) 2x6 + x4 + 3x2 + 1 = 0 4) x4 − 2x3 + 2x − 1 = 0
15. Rozwiąż nierówności
1) x4 + x3 − x − 1 6 0 2) 2x3 + 2x2 − 3x − 3 > 0 3) (x − 1)4 (x − 2)(x − 5)3 < 0
4)
3x2 +4x−4
x2 +x−2
> 1 5)
5−x
3−x
6
3x−1
2−x
16. Narysuj wykres funkcji
x+1
1) y = x+2
2) y = 2x+3
3)y =
x+2
6) x4 − 3x3 − x + 3 < 0 7) 2 +
−x+4
x+2
4) y =
3
x+1
>
2
x
2x−2
x+1
Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna
17. Rozwiąż równania
√
√
√
√
√
1) x + 3 = 3 2) x + 3 + x = 3 3) 3x − 1 − x − 1 = 2
18. Rozwiąż nierówności
√
√
√
1) 2x − 1 > 2 2) 2x + 3 > x + 2 3) x − 2 + x > 4
19. Określ dziedzinę funkcji
√
1) y = 2x2 − x + 1 2) y + p
2
3x
2− 3x+1
x−2
x
, 3) y = √
−8
3
2− x
.
20. Rozwiąż równanie
√
2
1) 2x−4 = ( 2)2−3x 2) 4 · 2x = 23x 3) 32x−1 + 32x−2 − 32x−4 = 315
x
x−1
4) 49 · 27
= 23 5) 93x−4 − 38x−2 = 0 6) 6x+1 + 61−x = 37
8
2x+1
x−1
7) 4
= 65 · 4
− 1 8) 27x · 92x · 33x = 243 9) 33x · 34x · 33x = 35
10) (2x )x · (4x )x = 64 11) 4x − 10 · 2x−1 = 24
21. Rozwiąż nierówność
√
4
1) 3x > 27 2) 9 x < 3 3)
4) 3x+4 < 31−x 5) 33x · 27 >
1 3x
<1
7
1
6) ( 14 )x
3
− ( 12 )2(x−2) > 52 7) 32x > 2 · 3x + 3
22. Wyznacz dziedzinę funkcji
√
q
√
log(9−x2 )
1) y = log(x2 − 4) + 6 − 2x 2) y = log21 (x − 3) − 1 3) y =
3x −1
2
p
p
4) y = log 21 [1 − log2 (x2 − 5x + 6)] 5) y = log3 |x − 2| 6) logx (3 − x)
23. Rozwiąż równanie
1) log(x − 3) − log(2 − 3x) = 1 2)
4) log3 (x2 + 4x + 12) = 2
3 + log2 3 + log2 5
log(2x−5)
log(x2 −8)
2
=
1
2
3) log3 (3x − 8) = 2 − x
5) log2 (9x − 20) = 2 + log2 6 + log2 x 6) log2 (x − 2) + log2 (12 + x) =
2
24. Rozwiąż nierówność
1
1) log2 (x + 2) > 3 2) log2 (x2 + 3x) 6 2 3) log1 x + 1−log
x >1
√
√
2
2
4) log 31 x + 1 < 1 + log 13 4 − x 5) (log 12 x) + log 21 x − 2 6 0 6) log2 x + 3 log x
Funkcje trygonometryczne
25. Oblicz
1) tg x wiedząc, że cos x =
3
5
2) sin x wiedząc, że ctg x =
3) cos x wiedząc, że sin x =
i x ∈ (0, π2 )
8
15
15
17
i x ∈ (0, π2 )
i x ∈ ( π2 , π)
5
4) ctg x wiedząc, że cos x = − 13
i x ∈ (π, 32 π)
26. Oblicz sin 2x, cos 2x, jeśli wiadomo, że sin x = 0, 6 i x ∈ (0, π2 ).
27. Oblicz sin x2 , cos x2 , jeśli wiadomo, że tg x = 0, 75 i x ∈ (0, π2 )
28. Rozwiąż równanie
√
√
1) sin x =
3
2
2) sin x = −
2
2
√
3) cos x =
3
2
4) cos2 x = 1 5) sin2 x + 2 sin x − 3 = 0 6) 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0
7) tg2 x = 3 8) ctg2 x = 1 9) tg x + ctg x = 2
√
10) tg(x + π4 ) = 1 11) ctg(x − π3 ) = − 3 12) sin x = cos x.
29. Rozwiąż w przedziale [0, 2π] nierówność
√
1) sin x − 12 < 0 2) | cos x − 12 | < 1 3) 3 tg x − 1 < 0
4) sin x 6 − 21
7) cos2x <
1
2
√
2
6) tg x < 1
√2
8) tg 4x > 3 9)ctg 14 x 6 −1
5) cos x >
Wektory
−−→
30. Oblicz współrzędne wektora AB
√
√
√ √
1) A = (1, 2), B = (3, 4) 2) A = (−3, 2), B = (4, −1) 3) A = ( 2, 3), B = ( 2, − 3)
31. Wykreśl wektor mając jego współrzędne
1) [2, 1] 2) [−2, 3] 3) [−3, 0] 4) [4, −2]
−−→
32. Znajdź współrzędną końca wektora KL = [−1, 2] zaczepionego w punkcie
1) (1, 0) 2) (−4, 5) 3) (−2, 3)
−−→
33. Znajdź współrzędną początku wektora CD = [4, −2] którego koniec ma współrzędne
1) (5, 2) 2) (4, −2) 3) (−2, 0)
34. Oblicz odległość punktów A, B
1) A = (1, 5), B = (4, 2) 2) A = (−3, 1), B = (1, −1) 3) A = (2, −3), B = (2, 2)
35. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
→
−
→
−
→
→
1) |−
a | = 5, | b | = 4, ^(−
a , b ) = 30o
→
−
→
−
→
→
2) |−
a | = 12, | b | = 0, 4 ^(−
a , b ) = 45o
3) [2, −4] [3, 5] 4) [−7, 3] [6, 4]
36. Oblicz kąt między wektorami
√
√
1) [1, 3] i [−1, 3] 2) [− 21 , 3] i [6, 1] 3) [4, −2] i [1, 21 ]
3
−
37. Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora →
w = [1, −5] i przechodzącą przez punkt
1) (0, 1) 2) (−2, −1) 3) (0, 0)
38. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M = (−1, 3) i prostopadłej do wektora
1) [1, 1] 2) [−2, 3] 3) [2, 0] 4) [0, −3]
39. Uzasadnij że proste o równaniach 3x − 4y + 6 = 0 oraz 32 x − 2y + 3 = 0 są równoległe.
40. Uzasadnij że proste o równaniach 4x − y − 5 = 0 oraz x + 4y − 3 = 0 są prostopadłe.
4
Zadania różne
1. Rozwiąż równania 1) x6 − 1 = 0 2) (x2 + x)2 − 1 = 0 3) x3 + |x| = 0
2. Dla jakich wartości p, q liczby x1 = −1, x2 = 1 są pierwiastkami równania x3 + px2 + qx + 1 = 0
3. Dla jakich wartości a, b liczba −1 jest podwójnym pierwiastkiem równania x4 +bx3 +2x2 +ax+1 = 0.
4. Pewien wielomian daje przy dzieleniu przez (x − 1) resztę 2, natomiast przy dzieleniu przez (x − 2)
resztę 3. Znaleźć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x − 1)(x − 2).
5. Rozwiąż nierówność −27 < x3 6 x|x + 2|
6. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji y = x2 , y = x−2 , y =
√
1
x, y = x− 2 .
7. Rozwiąż równania
√
√
√
√
√
1) x + 10x + 8 = 9 2) 3 − x − 1 = 3x + 2, 3) 4x + 2 + 4x − 2 = 4.
8. Rozwiąż nierówności
√
√
√
1) x + 3 + 3x − 2 6 7 2) (x − 1) x + 4 < 2(1 − 2x).
9. Wkreśl wykres funkcji
1) y = 2 − 3−x 2) y = |1 − 3x | 3) y = 3
(x−1)2
|x−1|
10. Rozwiąż równanie
x
x
1
2
2
1) 16 x+3 = 4( 28 ) 2x+5 2) 4x − 92x + 8 = 0 3) 2x + 213−x = 528
2
4) 3x
+2x
1
1
− 3(x+3)(x−1) = 26 5) 7 · 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3 6) 4x − 3x− 2 = 3x+ 2 − 22x−1 .
11. Rozwiąż nierówność
1)
1
2x2
· 4x+1 <
1
64
2)
1
4x −2
2
12. Rozwiąż równanie xx
<
1
1−4x + 21
+x−6
3)
1
27
<
1 3x−1
3
6 3.
=1
13. Rozwiąż równanie
√
√
log x
1) xlogx (−2) = 1000 2) xlog x = 10 3) x1− 4 = 10
4) logx 4 + logx2 64 = 5 5) log 2 + log(4x−2 + 9) = 1 + log(2x−2 + 1) 6) logx−2 (x3 − 14) = 3.
14. Rozwiąż nierówność
1) log2 (x + 1) + logx+1 2 6
4) logx−3
x−2
x−4
3
8)
log(35−x )
log(5−x)
> 1 5) logx
5
2
√
x−1 <0
2) log2x−3 x > 1 3) log 2x+1
x + 12 < 1 6) (log2 3)−1 + (log5 3)−1 > 2 7)
1
log3 5
+
1
log8 5
>3
15. Rozwiąż równanie
log x+5
2
1) x 3 = 105+log x 2) 3(log3 x) + xlog3 x = 162 3) logx (125x) · log225 x = 1
4) 5log x − 3log x−1 = 3log x+1 − 5log x−1
16. Wiadomo, że sin x + cos x = 12 . Oblicz
1) sin x cos x 2) sin x − cos x 3) sin3 x + cos3 x 4) sin4 x + cos4 x
17. Rozwiąż równanie
1) 2 cos2 x = 3 cos x + 2 2) 2 sin2 x − sin x = 0 3) cos x(2 cos x + 1) = 1
√
√
√
4) sin x = cos x 5) sin x + 3 cos x = 0 6) 3 sin x − cos x = 2
7) sin x sin 2x + cos x cos 2x = 0 8) 4 sin4 x + sin2 2x = 2 9) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
5
<2