1. Logarytmy i funkcja logarytmiczna Z. 1.1. Obliczyć √ Z. 1.2. Oblicz

1. Logarytmy i funkcja logarytmiczna
Z. 1.1. Obliczyć
p
1
102+ 2 log 16 + log9 625 · log25 27.
Z. 1.2. Oblicz log54 168, jeżeli log7 12 = a oraz log12 24 = b.
Z. 1.3. Sporządzić wykres funkcji f określonej wzorem:
x − 4 .
(2) f (x) = log2 2
x − 16 (1) f (x) = |2 − log3 (2x + 4)|,
Z. 1.4. Rozwiązać równanie log(x − 2) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x).
3
Z. 1.5. Rozwiązać równanie log x1 x2 = logx x2 .
Z. 1.6. Rozwiąż nierówność log21 x < 6 + log 12 x.
2
Z. 1.7. Rozwiązać nierówność (2x + 1)log(2x+1)−3 ­
1
.
100
Z. 1.8. Rozwiąż nierówność logx2 (x + 2) ¬ 1.
Z. 1.9. Rozwiązać nierówność: log 31 (2x − 1) ­ log 13 (2x−1 + 3).
Z. 1.10. Rozwiązać nierówność: 3x + logx (x2 + 1) ¬ logx 2x − x log 51 125.
Z. 1.11. Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = logx−2 (4 − x).
h
i
Z. 1.12. Wyznacz dziedzinę funkcji: f (x) = log2 1 − log 21 (x2 − 5x + 6) .
3
Z. 1.13. Rozwiązać nierówność: logx x2 − 16
> 4.
Z. 1.14. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiór punktów spełniających
nierówność: logy (logx y) ¬ 0.
Z. 1.15. Rozwiązać nierówność f f (2x) > 0, jeśli funkcja f dana jest wzorem f (x) =
log2 2x.
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Z. 2.1. Narysować wykres funkcji f określonej równością:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
f (x) = log2 (x + 3),
f (x) = log2 (−x),
f (x) = log2 x1 ,
f (x) = |log2 x|,
f (x) = log2 |x|,
Z. 2.2. Obliczyć log√a
√
3
(6)
(7)
(8)
(9)
b2 wiedząc, że loga b =
f (x) = log2 (2x),
f (x) = log2 x2 ,
2
f (x) = 2log2 (9−x ) ,
2
log2 x
f (x) = |log
x| .
2
3
.
4
1
Z. 2.3. Obliczyć log9 20 wiedząc, że log 2 = a i log 3 = b.
Z. 2.4. Udowodnić, że jeżeli log30 3 = a i log30 5 = b, to log30 8 = 3 − 3a − 3b.
Z. 2.5. Udowodnić, że jeżeli log12 3 = r, to log12 2 =
1
1−r
.
2
1+a
2b
2
Z. 2.6. Udowodnić, że jeżeli log2 3 = a, to log24 54 =
3a+1
a+3 .
Z. 2.7. Rozwiązać równania:
(1) log(x − 3) − log(2 − 3x) = 1,
brak rozwiązań
p
√
3
2
(2) log x + 5 − log x + 2 = log ,
x ∈ { 41 , 2}
2
(3) log(x2 − 7x + 12)
x = 104
= log(x − 3) + 2, (4) log 2x2 − x + 3 = 2 log 2x2 − x + 1 ,
x ∈ {− 12 , 1}
√
1
3
(5) log x3 + 27 − log x2 + 6x + 9 = 3 log 7,
x ∈ {1, 2}
2
3 log2 x−1
1
(6)
= 2,
x∈{√
, 10}
3
log x
10
√
1
x ∈ {10−5 , 100}
(7) log x · (log x + 4) = 5 + log x,
2
q
√
(8) 3 log x + 2 log x1 = 2,
x ∈ {10, 104 }
√
2
1
1
(9) x9 log x−9 log x−1 =
,
x ∈ {10, 3 10, √
}
3
10
10
1
(10) xlog x + 10x− log x = 11,
x ∈ { 10 , 1, 10}
8
log2 x
(11) (2x)
= 8,
x ∈ {1, 4}
(12) log16 x + log4 x + log2 x = 7,
x = 16
1
(13) log4 {2 log3 [1 + log2 (1 + 3 log2 x)]} = ,
x=2
2
10
2
x
1
1
(14) xlog10 x = 9 log 10 .
, 10
, 10, 1000}
x ∈ { 1000
x
10
Z. 2.8. Rozwiązać nierówności:
−x2 + x − 7
(1)
< 0,
x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞)
log(x2 − 8)
(2) log3 (7 − 2x) − log3 (x + 2) ­ 2,
x ∈ (−2, −1i
(3) 2 log 2 (2x −3) − 2 ­ log2 (x2 − 4x),
x ∈ (4, +∞)
x−1 < 0,
x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)
(4) log 2x + 1 (5) log21 x + log 12 (2x) < 1,
x ∈ 12 , 4
2
(6) log2x (2 − 5x) > 0,
x ∈ 51 , 25
√
√ 2x − 1
(7) logx
> 1,
x ∈ 3−2 5 , 21 ∪ 1, 3+2 5
x−1
(8) log|x−4| (2x2 − 9x + 4) > 1,
x ∈ (−∞, 0) ∪ (5, +∞)
√
5
x ∈ (0, 2 − 1i ∪ h3, +∞)
(9) log2 (x + 1) + log(x+1) 2 ­ ,
2
√
(10) |1 + logx 4| ¬ 3.
x ∈ 0, 22 i ∪ h2, +∞)
Z. 2.9. Dla jakich wartości parametru m wielomian w(x) = x4 log2 m − 3x3 log m − 6x2 −
1
2 log m jest podzielny przez dwumian x + 1?
m ∈ { 1000
, 100}
Z. 2.10. Dla jakich wartości parametru m równanie (1 − 2 log 21 m)x2 + 2x − log 21 m = 0
√ √ √ ma dwa różne rozwiązania?
m ∈ 12 , 22 ∪ 22 , 2
Z. 2.11. Dla jakich wartości parametru a równanie (x − 1)2 = 2x log a + log2 a nie ma
1
rozwiązań rzeczywistych?
a ∈ 10
,1