Krzywa Gaussa

Regionalne Koło Matematyczne, I LO w Świeciu (26.11.2009)
Krzywa Gaussa
Ćwiczenie 1 Niech X ma rozkład standardowy normalny. Oblicz następujące prawdopodobieństwa i przedstaw ich interpretację geometryczną:
a) 0 < X < 2,
b) X > 2,
c) X < − 12 ,
d) |X| < 1.
Ćwiczenie 2 Pewna mleczarnia produkuje kostki masła o wadze 200g. Błędy pomiarów masy tych kostek mają rozkład normalny o wartości przeciętnej 1g i takim samym
odchyleniu standardowym. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że pomiar masy będzie
przeprowadzony z błędem nie przekraczającym 2g.
Ćwiczenie 3 Wytrzymałość belek sosnowych służących do konstrukcji stropów, pochodzących z masowej produkcji ma rozkład normalny ze średnią 40M P a i wariancją 16(M P a)2 .
Oblicz ile przeciętnie belek spośród 1000 ma wytrzymałość mniejszą niż 30M P a (przyjmujemy, że częstość przyjmowania wartości z przedziału (−∞, 30] jest równa prawdopodobieństwu przyjmowania wartości z tego przedziału).
Ćwiczenie 4 Pewna maszyna produkuje płaskowniki ze stali nierdzewnej, których długość jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością przeciętną 15mm i wariancją
0, 25(mm)2 . Wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania płaskownika wybrakowanego,
jeśli dopuszczalne długości płaskownika powinny zawierać się w przedziale (14mm; 16mm).
Jaka jest dolna granica długości 90% produkowanych płaskowników?
Ćwiczenie 5 Wynik pomiaru odległości jest obarczony błędem systematycznym b i błędem przypadkowym X. Błąd systematyczny b = −50mm polega na podawaniu odległości
mniejszej niż rzeczywista, błąd przypadkowy X jest zmienną o rozkładzie normalnym z
wartością oczekiwaną 0mm i wariancją 10000mm2 (ozn. N (0, 10000)). Błąd całkowity Y
można traktować jako sumę tych błędów. Oblicz prawdopodobieństwa tego, że
a) odczytany wynik pomiaru nie przekracza rzeczywistej wartości mierzonej wielkości,
b) |Y | < 100mm.
Ćwiczenie 6 Czas poświęcony na przygotowanie pizzy przez pracowników pewnej restauracji jest rozkładem normalnym o odchyleniu standardowym 5 minut. Oblicz:
a) średni czas przygotowania pizzy, jeśli wiadomo, że 76% ogółu pracowników pizzerii
spędza przy jej przygotowaniu mniej niż 20 minut,
b) jaki procent ogółu pracowników potrzebuje na przygotowanie pizzy od 25 do 30 minut.
1
Regionalne Koło Matematyczne, I LO w Świeciu (26.11.2009)
Zadania domowe
Zadanie 1 Niech X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 2 i wariancją
równą 4. Oblicz następujące prawdopodobieństwa i przedstaw ich interpretację geometryczną:
a) −1 < X < 0,
b) X > 4,
c) X < −2,
d) |X| < 2.
Zadanie 2 Pewien przyrząd do pomiaru temperatury robi błąd systematyczny 0, 1o C w
stronę zawyżenia pomiaru i błąd losowy o rozkładzie normalnym ze średnią 0o C i wariancją równą 0, 01o C. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd z jakim mierzona
jest temperatura nie przekracza 0, 2o C.
Zadanie 3 Czas bezawaryjnej pracy lodówki pewnej marki ma rozkład normalny z wartością średnią równą 6 lat i odchyleniem standardowym wynoszącym 15 miesięcy.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że lodówka tej marki będzie pracować: krócej niż 4
lata dłużej, dłużej niż 6 lat, między 4 a 6 lat?
b) Producent udziela gwarancji na okres 2 lat. Jaki procent produkowanych lodówek
będzie użytkowanych po okresie gwarancji?
c) Jaka jest górna granica żywotności 95% produkowanych lodówek?
2