Wykład 5 - theta.edu.pl
Transkrypt
Wykład 5 - theta.edu.pl
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Magdalena Frąszczak Wrocław, 23 listopada 2016r Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X1 , X2 , . . . Xn )0 będzie n elementowym wektorem losowym. Średnia z próby: n 1X Xi X̄ = n i=1 Wariancja nieobciążona: n 1 X S = (Xi − X̄ )2 n − 1 i=1 2 Wariancja obciążona: S02 n 1X = (Xi − X̄ )2 n i=1 Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Rozkłady statystyk próbkowych - Przypomnienie Twierdzenie 5.1: Niech X1 , X2 , . . . Xn będzie n elementową próbą losową, o średniej EXi = µ, i wariancji VarXi = σ 2 < ∞ Wówczas: 1 E X̄ = µ 2 Var X̄ = 3 ES 2 = 4 VarS 2 = σ2 n 2 σ 2 4 n−1 σ Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Estymator Definicja 5.1: Statystykę T (X1 , X2 , . . . Xn ) służącą do oszacowania nieznanego parametru populacji nazywamy estymatorem. Dla konkretnych wartości próby X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn , liczbę T (x1 , x2 , . . . xn ) nazywamy wartością estymatora. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Błąd średniokwadratowy Za liczbową charakterystykę dokładności estymatora T rzeczywistej funkcji g (θ) podlegającej ocenie, przyjmuje się błąd średniokwadratowy, oznaczany przez BSKθ (T ) Definicja 5.2: Błędem średniokwadratowym estymatora T funkcji g (θ) nazywamy BSKθ (T ) = Eθ [(T − g (θ))2 ] Zauważmy, że BSKθ (T ) = Eθ [(T −Eθ (T ))2 ]+[Eθ (T )−g (θ)]2 = Varθ (T )+bθ (T ) gdzie bθ (T ) oznacza obciążenie estymatora. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Estymator lepszy, dopuszczalny Definicja 5.3: Estymator T1 jest lepszy od estymatora T2 , jeżeli BSKθ (T1 ) ¬ BSKθ (T2 ) dla każdego θ ∈ Θ i chociażby dla jednej wartości θ spełniona jest nierówność ostra BSKθ (T1 ) < BSKθ (T2 ) Definicja 5.4: Estymator T nazywa się dopuszczalny, jeżeli nie istnieje estymator lepszy niż T . W przeciwnym razie estymator T nazywa się niedopuszczalny. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.1 Niech X1 , X2 będą zmiennymi losowymi takimi, że Eθ (Xi2 ) < ∞ i niech g (θ) = Eθ (Xi ), i = 1, 2. Który z estymatorów jest lepszy T (X1 , X2 ) = X1 czy 1 S(X1 , X2 ) = (X1 + X2 )? 2 Estymatory spełniają równość: Eθ (T ) = Eθ (X1 ) = Eθ (S) = g (θ) równoważnie bθ (T ) = bθ (S) = 0. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.1 - c.d Jednocześnie: 1 Varθ (S) = Varθ (X1 ) < Varθ (X1 ) = Varθ (T ), 2 dla każdego θ ∈ Θ. A zatem: BSKθ (S) < BSKθ (T ), czyli S jest estymatorem lepszym niż T , a T jest estymatorem niedopuszczalnym. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Estymator nieobciążony Definicja 5.5: Estymator T (X1 , X2 , . . . , Xn ) rzeczywistej funkcji g (θ) jest nieobciążony, jeżeli Eθ [T (X1 , X2 , . . . , Xn )] = g (θ) dla każdego θ ∈ Θ Obciążeniem estymatora T nazywamy: bθ (T ) = Eθ (T ) − g (θ) Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.2 Niech X = (X1 , X2 , . . . , Xn )0 będzie wektorem losowym, dla którego Eθ Xi = θ. Niech n 1X Xi = X̄ . T (X) = n i=1 Wówczas: Eθ [T (X)] = θ A zatem średnia próbkowa jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.3 Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ), µ ∈ R, σ > 0. Rozważmy estymator wariancji postaci: S2 = n 1 X (Xi − X̄ )2 n − 1 i=1 Ponieważ E (S 2 ) = σ 2 wariancja próbkowa wyrażona powyższym wzorem jest nieobciążonym estymatorem wariancji σ 2 . Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.3 - c.d Innym estymatorem wariancji σ 2 jest estymator: S02 = n 1X n−1 2 (Xi − X̄ )2 = S , n i=1 n dla którego: ES02 =E n−1 2 n−1 2 S = σ , n n czyli jest on estymatorem obciążonym. Wariancja estymatora S0 jest równa VarS02 = Var n−1 2 S = n Magdalena Frąszczak n−1 n 2 Var (S 2 ) = 2(n − 1) 4 σ . n2 Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Estymator nieobciążony Definicja 5.6: Niech T1 i T2 będą dwoma nieobciążonymi estymatorami funkcji g (θ). Powiemy, że estymator T1 jest lepszy od estymatora T2 , jeżeli: Var (T1 ) ¬ Var (T2 ), dla każdego θ ∈ Θ i dla co najmniej jednej wartości θ zachodzi: Var (T1 ) < Var (T2 ). Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.4 Niech X1 , X2 , X3 będzie daną próbą losową o średniej E (Xi ) = µ i wariancji Var (Xi ) = σ 2 i niech T1 (X1 , X2 , X3 ) = 3 1X Xi 3 i=1 oraz 1 2 1 T2 (X1 , X2 , X3 ) = X1 + X2 − X3 2 3 6 będą dwoma estymatorami średniej µ. Który z nich jest lepszy? Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.4 - c.d Sprawdzenie nieobciążoności: E E 3 1X Xi 3 i=1 ! 1 = 3µ = µ 3 1 2 1 1 2 1 X1 + X2 − X3 = µ + µ − µ = µ, 2 3 6 2 3 6 a zatem oba estymatory są nieobciążone. Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Przykład 5.4 - c.d Wyznaczenie wariancji estymatorów: Var Var 3 1X Xi 3 i=1 ! 1 1 = 3Var (X1 ) = σ 2 9 3 1 2 1 1 4 1 26 X1 + X2 − X3 = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 , 2 3 6 4 9 36 36 czyli 12 2 26 2 σ < σ = Var (T2 ), 36 36 a stąd estymator T1 jest lepszy od T2 . Var (T1 ) = Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Estymator nieobciążony z jednostajnie minimalną wariancją Definicja 5.8: Niech g (θ) będzie funkcją estymowalną i niech W będzie zbiorem jej wszystkich estymatorów nieobciążonych posiadających skończoną wariancję dla każdego θ ∈ Θ. Statystyka T ∈ W jest nazywana estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji funkcji g (θ) (estymatorem NJMW), jeżeli: Eθ (T 2 ) < ∞, dla każdego θ ∈ Θ Varθ (T ) = Varθ (U), dla każdego U ∈ W i każdego θ ∈ Θ Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war Literatura: Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1989. Gajek L., Kałuszka M.,Wnioskowanie statystyczne, WNT, Warszawa 2000, wyd. IV. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Krówlikowska K., Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, część II, PWN, 2012 Magiera M, Modele i metody statystyki matematycznej, część II, wnioskowanie statystyczne, Wrocław, 2007 Magdalena Frąszczak Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war