x xx...,,, ]2,1[ 1 −= x ]1,1[ 2 −= x ]2,1[ x ]1,[ − = a x ]0,1,0,1,1[ 1 −= x ]0,1
Transkrypt
x xx...,,, ]2,1[ 1 −= x ]1,1[ 2 −= x ]2,1[ x ]1,[ − = a x ]0,1,0,1,1[ 1 −= x ]0,1
Zadania nr 7 do MATEMATYKI 75 1. Dane są wektory x = [1, 2] , y = [−1,1] oraz z interpretację geometryczną otrzymanego wyniku. a) − 3x b) x − z c) = [3, 3] . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać x + 2y + 1 z . 3 2. Dane są wektory x = [ 2,1, 0] , y = [ −2, 0,−1] oraz z = [1,1,1] . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać interpretację geometryczną otrzymanego wyniku. b) x − z c) x − 2y + z . a) 2x 4 3.W przestrzeni wektorowej R rozwiązać równanie: a) [ −1, 0, 2, 3] = x − [2, 3,−2, 0] ; 2x = [−2, 4, 0,1] ; x + [0, 2, − 3, 0] = [ 2,−2, 5,1] − 3x . 4. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 ,..., x k , gdy: a) y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] ; b) y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] , x 3 = [5,1] ; b) c) y = [1,0] , x1 = [1, 2] , x 2 = [a, − 1] , gdzie a ∈ R jest parametrem; d) y = [ 2, − 2,−3] , x1 = [−1, 0,1] , x 3 = [0, 2,1] ; e) y = [1,1,1] , x1 = [ −1, 0,1] , x 2 = [0, 2,1] ; f) y = [6,−5, 4,1,1] , x1 = [−1,1, 0,1, 0] , x 2 = [ −1,1, 0,1, 0] , x 3 = [0, 0,1,1, 2] . c) x1 , x 2 ,..., x k są liniowo niezaleŜne, gdy: a) x1 = [1, 2] , x 2 = [ −3, − 6] ; a) x1 = [1, 2] , x 2 = [ −1, 3] ; b ) x1 = [1, 2] , x 2 = [−1, 3] , x 3 = [0,1] ; c) x1 = [1, − 1] , x 2 = [ −1, a ] , gdzie a ∈ R jest parametrem; d) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [−1, 0, 2] , x 3 = [0,1, − 1] ; e) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [ −2, − 3,1] , x 3 = [0,1, − 1] ; f) x 2 = [ −3,1, 0,1] , x 3 = [0, 0,1, 2] x1 = [ −1,1, 0, 0] . 5. Sprawdzić, czy wektory 6. Pokazać, Ŝe jeśli wektor y jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 ,..., x k , to wektory y , x1 , x 2 ,..., x k są liniowo zaleŜne. x, y , z są liniowo niezaleŜne. Zbadać liniową niezaleŜność wektorów: a) 4z − 2x, x − y , 2z − y ; b) x, x − y , x + y − z . 7. Wektory 8. Podać interpretację geometryczną zbioru V = {x ∈ R 2 : x = a + tv, t ∈ R} , gdy: a = [0, 0], v = [2,1] ; b) a = [0, 3], v = [ 2,1] ; c) a = [ 2, 4], v = [2,1] ; d) a = [ −1,−1], v = [ 2,1] . a) 9. Sprawdzić, czy punkty x1 , x 2 ,x 3 naleŜą do jednej prostej, gdy: x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [ −1, − 1, − 1] ; b) x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [ 2,1, 2] ; c) x1 = [1, 0, − 1, 0] , x 2 = [1,1, 0,1 ] , x 3 = [1, 2,1, 2] . a) a = [1,−1,1] oraz b = [1,1, 2] . Sprawdzić, czy x naleŜy do prostej przechodzącej przez punkty a i b ; odcinka o końcach w punktach a i b , gdy: 10. Niech I. II. a) x = [1,2, 0] , b) x = [1,−3, 0] , c) x = [1, 1 , 7 ] . 2 4 3 11. Dany jest zbiór Vb = {x ∈ R : x1 − x 2 + 2 x3 = b} gdzie parametr b jest ustaloną liczbą rzeczywistą oraz a) x1 = [1,1, 0], x 2 = [−2, 0,1] . Pokazać, Ŝe V0 = {x ∈ R 3 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R} i podać interpretację geometryczną zbioru b) Podać przykład wektora c) Pokazać, Ŝe V1 zbioru V1 . V0 . x 0 ∈ V1 , a następnie uzasadnić, Ŝe x 0 + y ∈ V1 dla kaŜdego y ∈ V0 . = {x ∈ R 3 : x = x 0 + αx1 + βx 2 , α , β ∈ R} . Podać interpretację geometryczną d) Sprawdzić, czy dla dowolnych wektorów jeśli y, z ∈ V1 , to y + z ∈ V1 ? V = {x ∈ R 3 : 2 x1 + x 2 − 3 x3 ≤ 1} . Pokazać, Ŝe jeśli a, b ∈ V , to 12. Dany jest zbiór {x ∈ R 3 : x = ta + (1 − t )b, t ∈< 0,1 >} ⊂ V . Podać interpretację geometryczną tego faktu. V = {x ∈ R 3 : x1 − 2 x3 = 2} oraz W = {x ∈ R 3 : − x1 + x2 + 3 x3 = 3} . a)Wyznaczyć zbiór V ∩ W i podać interpretację geometryczną tego zbioru. 13. Dane są zbiory b)Podać interpretację geometryczną zbioru V ∩ W ∩ {x ∈ R 3 : x 2 + x3 = 5} . a ∈ R zbiór V ∩ W ∩ {x ∈ R 3 : x1 + x2 + x3 = a} jest jednoelementowy. 14. Dane są wektory x1 = [1,−1] , x 2 = [0,1] . c)Pokazać, Ŝe dla kaŜdego a) Pokazać, Ŝe dowolny wektor x ∈ R 2 jest kombinacją liniową wektorów x1 i x 2 . b) Uzasadnić, Ŝe {x ∈ R 2 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R} = R 2 . c) x1 , x 2 , oraz x ∈ R 2 tworzą, przy dowolnie ustalonym wektorze x układ wektorów liniowo Czy wektory zaleŜnych? 15. . Dane są wektory x1 = [1,−1,0] , x 2 = [0, 0,1] , x 3 = [1, 0,1] . a)Pokazać, Ŝe dowolny wektor x ∈ R 3 jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 i x 3 . b)Uzasadnić, Ŝe {x ∈ R 3 : x = αx1 + βx 2 + γx 3 , α , β , γ ∈ R} = R 3 . c)Czy wektory x1 , x 2 , x 3 , x , gdzie x ∈ R 3 jest dowolnym wektorem, są liniowo niezaleŜne?