ALGEBRA-Zadania

ALGEBRA, rozdz. V,VI,VIII, zadania do oddania
Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,
pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia.
Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach!
Nale y wypełni zał czon stron tytułow wpisuj c wskazane wyniki.
Zadanie 11.
Sprawd , e w R3 wektory x = (1,−k , k ) , y = (0,2,−2) , z = (− 1,−1,1) s liniowo zale ne.
Przedstaw wektor zerowy jako niezerow kombinacj liniow tych wektorów.
Czy wektor t = (0,0, k ) mo na przedstawi jako kombinacj liniow wektorów x, y, z?
(uzasadnij),
Czy wektory x, y, t tworz baz ? Je li tak, wyznacz współrz dne wektora (1, 1, 1) w tej
bazie.
Zadanie 12.
Wyznacz rozwi zanie ogólne równania jednorodnego:
x − ky − kz = 0
y + kz = 0
Zadanie 13.
Dane jest przekształcenie liniowe f : R 4 → R 3 ,
f ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) = (kx1 + x3 , x 2 + x3 − kx 4 , x1 − k x 2 )
Okre l jego macierz w bazie kanonicznej.
Wyznacz dimKerf, dimImf.
Zadanie 14.
Wyznacz warto ci własne i odpowiadaj ce im wektory własne operatora f : R 3 → R 3 ,
którego macierz w bazie kanonicznej ma posta
k 0 0
1 −k 0
0 0 1
Czy wyznaczone wektory własne tworz baz w R3.
Zadanie 15.
W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym wykona ortogonalizacj Grama-Schmidta bazy
x = (1,1,0 ) , y = (0,0,1) , z = (k ,0, k ) .
Wyznaczy rzut wektora z na Lin{kx}. Jaka jest długo
tego rzutu?
L.Kowalski, 3.10.2005
...................................
data
ALGEBRA, rozdz. V, VI, VIII,
.............................................
Imi
................................................
......................................................
Zadanie 11
Zadanie 12
Zadanie 13
Zadanie 14
Zadanie 15
grupa
.......................
nr indeksu
ZADANIE
.................
Nazwisko
ODPOWIEDZI DO ZADA
k