TEZY systemu logiki pierwszego rzędu

TEZY systemu logiki pierwszego rzędu
Prawa zbędnych kwantyfikatorów:
(T1)
|− LPR
(T1′) |− LPR
∀xA ↔ A , jeżeli x ∉V ( A)
∃xA ↔ A , jeżeli x ∉V ( A)
Prawa rozdzielania kwantyfikatorów przy implikacji:
(T2)
|− LPR
(T2′) |− LPR
∀x( A → B ) → (∀xA → ∀xB )
∀x( A → B) → (∃xA → ∃xB)
Prawa rozdzielczości kwantyfikatorów:
(T3)
|− LPR
(T3′) |− LPR
∀x( A ∧ B ) ↔ ∀xA ∧ ∀xB
∃x( A ∨ B ) ↔ ∃xA ∨ ∃xB
Niepełne prawa rozdzielczości:
(T4)
|− LPR
(T4′) |− LPR
∀xA ∨ ∀xB → ∀x( A ∨ B )
∃x( A ∧ B ) → ∃xA ∧ ∃xB
Prawa przestawiania kwantyfikatorów:
(T5) |− LPR
(T5′) |− LPR
∀x∀yA ↔ ∀y∀xA
∃x∃yA ↔ ∃y∃xA
Niepełne prawo przestawiania kwantyfikatorów:
(T6)
|− LPR
∃x∀yA → ∀y∃xA
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
(T7 )
(T7′)
|− LPR
|− LPR
¬∀xA ↔ ∃x¬A
¬∃xA ↔ ∀x¬A
Prawa zamiany zmiennych związanych:
(T8)
|− LPR
(T8′)
|− LPR
∀xA ↔ ∀yA[ x / y]
∃xA ↔ ∃yA[x / y ] .
pod warunkiem, że:
a) x ≡/ y
b) y ∉ V ( A)
c) zmienna y jest podstawialna za zmienną x w A .
Powyższe warunki są na pewno spełnione, gdy y nie występuje w ∀xA (odpowiednio ∃xA ),
tzn. „y jest nową zmienną”.
Prawa wyłączania kwantyfikatorów przed nawias:
(T9)
|− LPR
|− LPR
QxA∗ B ↔ Qx( A∗ B ) ,
A∗ QxB ↔ Qx( A∗ B) ,
dla Q ∈{∀ , ∃} , ∗ ∈{∧ ,∨} .
(T9') |− LPR
|− LPR
|− LPR
|− LPR
x ∉ V (B )
x ∉ V ( A)
(∀xA → B ) ↔ ∃x( A → B ) ,
(∃xA → B ) ↔ ∀x( A → B ) ,
( A → ∀xB ) ↔ ∀x( A → B ) ,
( A → ∃xB ) ↔ ∃x( A → B ) ,
x ∉ V (B )
x ∉ V (B )
x ∉ V ( A)
x ∉ V ( A)
Prawa ekstensjonalności:
(T10)
|− LPR
(T10′)
|− LPR
∀x( A ↔ B ) → (∀xA ↔ ∀xB )
∀x( A ↔ B ) → (∃xA ↔ ∃xB)
REGUŁY WTÓRNE rachunku predykatów pierwszego rzędu.
Reguła wprowadzania ∀ :
Reguła wprowadzania ∃ :
A→ B
( W∀)
∀xA → ∀xB
A→ B
( W∃)
∃xA → ∃xB
Reguła dołączania ∀ :
A→ B
( D ∀ ),
A → ∀xB
Reguła dołączania ∃ :
x ∉ V ( A)
A→ B
( D ∃ ), x ∉ V (B )
∃xA → B