docResampling w dziedzinie częstotliwości dla m
download 
Reklamacja Transkrypt
Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m
Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych Łukasz Lenart [email protected] Zakład Ekonometrii Wyższej Szkoły Biznesu – NLU w Nowym Sączu Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.1/32 szereg czasowy - zależny (iii) (ii) cov jest funkcja˛ prawie okresowa˛ ze wzgledu ˛ na zmienna (dla dowolnego ) (i) Założenia i własności 5 5 4 4 3 3 25 20 "#! %#$ '& 15 (a) 10 5 30 5 (b) 15 10 20 25 30 $ ( '& 6 ' 6 "#! 7 7 8 8 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.2/32 Miara bispektralna 2Π 2Π 2Π 2ΠT Szereg OS, okresowa wzgledem ˛ 2Π (e) Szereg POS, prawie okresowa wzgledem ˛ < ; 3 5 876 2 = - (iv) nośnik miary spektralnej zawiera skończona˛ liczbe˛ linii ( - skończony) 9 5 34 1 /0. : narny, zależy od (d) 0 stacjonie 2Π *+ ) , Szereg *+ ) , (c) 0 2Π *+ ) , 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.3/32 Gesto ˛ ść spektralna, kwadrat koherencji B GHF C D< E4 B A @ 876 /> 34 ? @ (v) na każdej linii z nośnika miary istnieje gestość ˛ spektralna Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.4/32 Gesto ˛ ść spektralna, kwadrat koherencji B GHF C D< E4 = N <N and PQ- 5 O 43 L M 3 5 < 34 /> K dla 5 34I dla J B A @ 876 /> 34 ? @ (iv) na każdej linii z nośnika miary istnieje gestość ˛ spektralna Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.5/32 Gesto ˛ ść spektralna, kwadrat koherencji B GHF C D< E4 = N <N and PQ- 5 O 43 5 N 34I 5 I S ? 5 3 34I 5 N R4N 34 : N : L M 3 5 < 34 /> K dla 5 34I dla J B A @ 876 /> 34 ? @ (iv) na każdej linii z nośnika miary istnieje gestość ˛ spektralna Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.6/32 VU4T Estymatory gesto ˛ ści spektralnej oraz kwadratu koherencji [ B B ZYW [ U ` E BF `G E c F S M S N a b4N oraz M S N M b4N ? M , jeśli , jeśli . d A YZW A` YZW _ 876 S N a b4N N M b4N gdzie N a b4N 5 34 U ]^\ ZYW ? ZYW U B [ YZX W U P P P [ YZX W YZX W - dowolny ciag ˛ liczb naturalnych próbka z m-zależnego POS szeregu czasowego, Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.7/32 Asymptotyczna normalność B próbka z [ #YW U P P P [ Y#W a) #YW Twierdzenie 1 (Lenart, 2007) Niech: - zależnego POS S onm : r [ r p l jki , h 1 g b) fe i szeregu czasowego : r r ut s M w x M r q : N S [ N S rN rN [ r q q oraz sa˛ c) szeregi czasowe łacznie ˛ prawie okresowo skorelowane dla dowolnych , , , , gdzie . 5 43z y 5 43I M 5 43 v _ U ^]\ ZYW Wtedy, Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.8/32 § ~ £ ¨ © }| £ ~ #"! §| § ¢ £ £ Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.9/32 ~ £ * § § }| £ ~ #"! §| § § }| §| ¢ £ ¤ £ #"! ¡¢ ~ £ ~ ^¥¦ }| £ }| * § § ¢ £ ¤ £ ^¥¦ }| £ }| ¡¢ oraz dla dowolnego ¤ £ ^¥¦ }| £ }| ¡¢ #! %' ~ { * |} gdzie Macierz kowariancji , ²ª ± ° ¯ ® ¬ ® ³ ª ²ª ± « ° ¯ ® ¬ ¶ _ x µ 5 N oparty na próbce , gdzie µº M _ P 5 N ? µº M _ P P P 6 P P P M ? ? µ º ? R4N 34 : P M º ? . 6 oparty na próbce , gdzie ? . P µ ? 34I N P N - estymator º ´ ¸·U R N · \ ¹ 43 5 : P ? º ´ - estymator P _ µ - długość bloku, gdzie ·¸U N · I\ ¹ 43 5 N ´ µ ª 6 Subsamplingowe przedziały ufności dla , Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.10/32 ²ª ± ° ¯ ® ¬ ® ³ ª ²ª ± « ° ¯ ® ¬ 9 zdefiniujmy ciag ˛ normalizujacy ˛ L 5 N R4N 34 _ U 5 » 43 5 ON R4N 34 K _ v J 876 5 Dla dowolnego punktu 34 : ª 6 Subsamplingowe przedziały ufności dla , Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.11/32 ²ª ± ° ¯ ® ¬ ® ³ ª ²ª ± « ° ¯ ® ¬ 9 876 5 zdefiniujmy ciag ˛ normalizujacy ˛ 5 L 5 N R4N 34 _ U » 43 5 ON R4N 34 K _ v J Dla dowolnego punktu 34 : ª 6 Subsamplingowe przedziały ufności dla , ? ¸·U P ¾S : 5 N M URN \ 34 N A [ M _ µº ? ¸·U 5 ·¸U R N · \ ¹ 34 5 34 ¹ ¹» a ¼ ¾4 ¿ : ? U B ¹ [ A [ M _ µº ¹ a ¼ ¾4 ½ µ v ¸·U 8]N \ · ¹ 34 5 N M U 8]N \ 34 5 N ¾S ? U B ¹ [ oraz subsamplingowe estymatory rozkładów Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.12/32 5 34 Twierdzenie 2 (Lenart, 2007) Niech z kwadratu bispektralnego. Załóżmy, że ²ª ± ° ¯ ® ¬ ® ³ ª ²ª ± « ° ¯ ® ¬ ª 6 Subsamplingowe przedziały ufności dla , bedzie ˛ dowolnym punktem 5 d ? . , 34z , to trace 5 5 O 34z , to det 34I c) jeśli 5 O b) jeśli 34I a) warunki z Twierdzenia 1 (o AN gesto ˛ ści spektralnej) sa˛ spełnione, 5 N  ? x M M M ¹ À À ¸·U T S ? 5 N 34I M N 5 N ½  Á U ]8N \ 34 _ I v Á 34I N À subsamplingowy Przy takich założeniach, dla dowolnego jest zgodny, co oznacza że przedział ufności dla parametru À M ¶ ¸·U ¹ ? ¾ Ç ¾4 ½ ¼ Æ ÅÄà À M ¹ . _ x µ , oraz p x _ µ µ ¸·U T ? ½ gdzie Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.13/32 5 34 Twierdzenie 3 (Lenart, 2007) Niech z kwadratu bispektralnego. Załóżmy, że ²ª ± ° ¯ ® ¬ ® ³ ª ²ª ± « ° ¯ ® ¬ ª 6 Subsamplingowe przedziały ufności dla , bedzie ˛ dowolnym punktem 5 d . ? 5 , 5 O , to trace 43z È 34 , to det 34I c) jeśli 5 O b) jeśli 34I a) warunki z Twierdzenia 1 (o AN gesto ˛ ści spektralnej) sa˛ spełnione, 5 N  ? x M M À M À ¹ ¸·U T S ? ¿ Ê: 5 N R4N 34 M 5 N 5 U » I 43 U R NÉ \ 43 : Á R4N 34 : À subsamplingowy Przy takich założeniach, dla dowolnego jest zgodny, co oznacza że przedział ufności dla parametru À M ¶ ¸·U ¹ ? ¾ Ç ¾4 ¿ ¼ Æ ÅÄà À M ¹ . _ x µ , oraz p x _ µ µ ¸·U T ? ¿ gdzie Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.14/32 Ë ¬Ì ² Subsamplingowe przedziały ufności dla N : < M 34I 3 N . <n S S 876 oraz oznaczmy całk˛e Ù N : N . [ AØ B F/ ut E4 [ U Ö× Ò Õ Ô ÓÅà U U gdzie C D< Ð B A @ 7 Ñ : 3 d C D< N M 3 < 34I < Î N : ? @ HÏ: < Î 3 n gdzie Przez 876 / Í 34 Zdefiniujmy Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.15/32 ² ¬Ì postaci N : D< B A @ 7 Ñ : U U \N C Î\ < ? @ < Î Rozważmy naturalny estymator Ë Subsampling dla P B F/ E Ø Ø for B AØ Ç E Ø Ø [ Ö U AØ © [ KÜU ÛÚÚ LÛU ÚÜÚ D< U \ C for n B F/ B Ö [ U J gdzie < Î Twierdzenie 4 (Lenart, 2007) Niech założenia Twierdzenia 1 bed ˛ a˛ spełnione. Wtedy subsamplingowy przedział ufności dla parametru jest asymptotycznie zgodny. Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.16/32 5 34 Twierdzenie 5 (Lenart, 2007) Niech z kwadratu bispektralnego. Załóżmy, że ² ± « ° ¯ ® ¬ ² ± « ° ¯ ® ¬ Bootstrapowe przedziały ufności dla Re , Im bedzie ˛ dowolnym punktem a) warunki z Twierdzenia 1 (o AN gesto ˛ ści spektralnej) sa˛ spełnione, 5 34I 5 34I :: Ý [[ Ý d b) ? M À x M à M ? À ß Þ ¸·U T S 5 Re M 34I 5 Re   U ]^\ 34 Á _ I v Á Wtedy przedziały ufności dla Re , Im otrzymane procedura˛ MBB (Moving Block Bootstrap) sa˛ zgodne, co oznacza że À ? à ¸·U M ¾ Ç ¾4 ¼Þ ß ÅÄÃ Æ À M ¶ à _ x . 5 (analogicznie dla Im 43I á , oraz p x _ á á ¸·U T ? Þ ß gdzie .) Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.17/32 Konstrukcja testów graficznych , n= Ð Í = Test stacjonarności: p [ Í n? â . M Ð ? ã , [ O ã , PÐ ã ? M [ P P P ? ã P P P ? [ r 㶠6r 7 r Р㶠7 [ Í = Ð Í 6r = Test okresowości: Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.18/32 5 9 , 9 9 7 . 5 , 876 , 5 5 34 c) , U _R N \ 34 5 N b) U_ \ Î 5 M3 5 M3 : : 876 5 5 N 34 , a) ): : v _N U I\ 43 Subsampling (dla ustalonego punktu 43 Statystyki testowe : 9 : , 876 876 , U , 5 34 I\ 34 Im _ b) U _ Re v a) 5 34 v I\ 34 MBB: . Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.19/32 Wyniki symulacyjne Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.20/32 î ð æ , ïé î èé íé æ ê éì 3 , ê , , é ë æ çê ² , ¬æ ¯ ç å ä i.i.d z 1 2 0.8 1 0.6 0 -1 0.4 -2 80 100 ó * |} (h) MBB Re ~ (f) Szereg czasowy 120 0.2 (g) (i) MBB Im ~ 60 40 ó * |} 20 ñò 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.21/32 1.2 1 1 0 0.8 -1 0.6 -2 0.4 -3 î ð æ , ïé î èé íé æ ê éì 2 , ê , , é ë æ çê ² , ¬æ ¯ ç å ä i.i.d. z 0.2 80 100 ó * |} (l) MBB Re ~ (j) Szereg czasowy 120 (k) (m) MBB Im ~ 60 40 ó * }| 20 ñò 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.22/32 ² , . ¬æ ç ð ¯ ïé æ éì ê ? æ çê M õ é ë æ èé ç å i.i.d. z , , ô ô ô ê êö é ä , , 1 4 2 0.8 0 0.6 -2 0.4 -4 -6 0.2 400 500 600 700 ó * |} (p) MBB Re ~ (n) Szereg czasowy (o) (q) MBB Im ~ 300 200 ó * }| 100 ñò 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.23/32 Subsampling Subsampling test for ÈPHΝ,ΩLÈ Time series Subsampling test for ÈΓHΝ,ΩLÈ2 3 2 1 0 -1 -2 -3 100 200 300 400 500 600 700 , éè ¬æ ¯ ð ïé ç , î íé æ çê é ë æ êö ç i.i.d z å ô , gdzie ô Rysunek 1: , , é ä ² 0 . Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.24/32 Subsampling Subsampling test for ÈPHΝ,ΩLÈ Time series Subsampling test for ÈΓHΝ,ΩLÈ2 4 2 0 -2 -4 -6 100 200 300 400 500 600 700 , ¬æ ç ïé î ð ¯ õ ? M íé æ é ë æ êö èé ç i.i.d. z å ô , gdzie , . ô ê , ô é ä Rysunek 2: , çê ² 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.25/32 Subsampling Subsampling test for ÈPHΝ,ΩLÈ Time series Subsampling test for ÈΓHΝ,ΩLÈ2 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 700 ô , gdzie ô ô õ ? ð , ç , î æ çê é ë , . èé íé ïé ¬æ ¯ ç æ êö å ² M ú é ä Rysunek 3: i.i.d. z , ² 600 ² 500 üý 400 û 300 ê¬ 200 ÷õ ùø 100 ê¬ 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.26/32 Subsampling Subsampling test for ÈPHΝ,ΩLÈ Time series Subsampling test for ÈΓHΝ,ΩLÈ2 2 1 0 -1 -2 -3 700 í ð ² é ç æ i.i.d. z , . ¯ ú ÿê ê ¬ ê ê é é ¯ é þ , gdzie , , û ê çê ë , ¬æ è ç æ êö å ² ÷ ùø ä é Rysunek 4: , ô 600 ï 500 é 400 î 300 ô 200 ² 100 ¬ 0 Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.27/32 Przykład danych rzeczywistych Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.28/32 Dane rzeczywiste 160 140 120 100 80 60 20 40 60 80 100 120 Miesieczna ˛ wielkość zapasów produktu, Źródło: Makridakis, Wheelwright and Hyndman (1998). Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.29/32 Dane rzeczywiste 80 60 40 20 20 40 60 80 -20 -40 5 N , À ? µ Subsamplingowy test dla , , , _ Dane po jednokrotnym różnicowaniu. R4N 34 : -60 . Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.30/32 Dane rzeczywiste 6 4 2 0 1 0.75 0.5 0.25 0 0 2 4 6 Próbkowy kwadrat koherencji. Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.31/32 Dane rzeczywiste 1 PACF 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -0,4 -0,6 -0,8 lag -1 1 ACF 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -0,4 -0,6 -0,8 -1 lag Próbkowe wartości funkcji ACF/PACF. Resampling w dziedzinie częstotliwości dla m-zależnych prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych – p.32/32
