Skªadnia algebry relacyjnej

Skªadnia algebry relacyjnej
Sygnatura Σ, wyª¡cznie symbole relacji i staªych
ARn zbiór wyra»e« n-argumentowych algerby relacyjnej AR.
Symbol relacji n-argumentowej z Σ nale»y do ARn
Dla symbolu staªej c , {c } nale»y do AR1
E i F nale»¡ do ARn , to E ∪ F , E − F te» nale»¡ do ARn
Je±li E nale»y do ARn oraz hi , . . . , ik i to ó»ne elemeny
{1, . . . , n}, to πi1 ,...,i E nale»y do ARk
Je±li E nale»y do ARn , za± F nale»y do ARm , to E × F nale»y
Je±li
1
k
do ARn+m
Je±li E nale»y do ARn oraz θ jest zbiorem równo±ci postaci
`i = j ' lub `i = c ', gdzie i , j ∈ {1, . . . , n}, c ∈ ΣR
, to σθ E
0
n
nale»y do AR
Semantyka algebry relacyjnej
A nad Σ,
n-argumentowemu wyra»eniu E
[[E ]] ⊆ An .
przypisujemy relacj¦
Semantyka algebry relacyjnej cd
[[R ]] = R A
[[{c }]] = {hc A i}
[[E ∪ F ]] = [[E ]] ∪ [[F ]] oraz [[E − F ]] = [[E ]] − [[F ]]
E ]] = {hai1 , . . . , ai i | ha , . . . , ak i ∈ [[E ]]}
[[E × F ]] = [[E ]]×[[F ]] = {ha , . . . , an , b . . . , bm i | ha , . . . , an i ∈
[[E ]] i hb . . . , bm i ∈ [[F ]]}
[[σθ E ]] = {ha , . . . , an i ∈ [[E ]] | ai = aj , gdy (i = j ) ∈
θ oraz ai = c A , gdy (i = c ) ∈ θ}
[[πi1 ,...,i
1
k
k
1
1
1
1
1
Skªadnia i semantyka algebry relacyjnej: uwagi
π E jest legalnym wyra»eniem 0-argumentowym
(
{hi} [[E ]] 6= ∅
[[π E ]] =
∅
w p.p.
σ∅ E jest legalnym wyra»eniem, [[σ∅ E ]] = [[E ]]
Semantyka relacyjna logiki pierwszego rz¦du
Niech
α to formuªa logiki pierwszego rz¦du
FV (α) = {xi1 , . . . xi }
A = hA, . . .i to struktura nad Σ
n
Deniujemy [[α]]:
[[α]] = {ha1 , . . . , an i ∈ An | (A, xi1 : a1 , . . . , xi : an ) |= α}
n
Dla zdania α mamy
(
{hi} A |= α
[[α]] =
∅
w p.p.
Aktywna dziedzina
Aktywna dziedzina struktury A to podzbiór
wszystkich elementów które s¡
ad (A) ⊆ A, zªo»ony z
warto±ciami staªych z sygnatury
wyst¦puj¡ jako wspóªrz¦dna w co najmniej jednej krotce
nale»¡cej do interpretacji jakiego± symbolu relacyjnego z
sygnatury
Interpretacje wszystkich wyra»e« algebry relacyjnej obliczane w A
s¡ relacjami w dziedzinie aktywnej.
Interpretacje relacyjne formuª pierwszego rz¦du obliczane w A s¡
nie zawsze s¡ relacjami w dziedzinie aktywnej.
Twierdzenie Codda
1
2
Dla ka»dego wyra»enia E w AR istnieje formuªa αE logiki
pierwszego rz¦du, »e dla ka»dej struktury A speªniaj¡cej
A = ad (A), zachodzi [[α]] = [[E ]].
Dla ka»dej formuªy α logiki pierwszego rz¦du istnieje wyra»enie
Eα w AR takie, »e dla ka»dej struktury A speªniaj¡cej
A = ad (A), zachodzi [[E ]] = [[α]].
Dowód twierdzenia Codda cz. 1
Indukcja:
Gdy
E
∈ ΣR
n , to αE ma posta¢
Niech α{c } to x1 = c
Niech αE ∪F to αE ∨ αF
R (x
1
, . . . , xn )
Niech αE −F to αE ∧ ¬αF
Konstruujemy απ 1 ,..., E :
tworzymy ∃xj1 . . . ∃xj − αE , gdzie j1 , . . . , jn−k to elementy
{1, . . . , n} − {i1 , . . . , ik } w oboj¦tnej kolejno±ci
Zmieniamy zmienne zwi¡zane na numery > n
zmienne wolne przemianowujemy z xi na yi
Niech β b¦dzie rezultatem
απ 1 ,..., E deniujemy jako β(x1 /yi1 , . . . , xk /yi ).
i
i
k
n
k
j
i
i
k
j
k
Dowód twierdzenia Codda cz. 1 cd
Konstruujemy αE ×F :
zmieniamy zmienne zwi¡zane w αF na numery > n + m
za zmienne wolne x1 , . . . , xm podstawiamy kolejno
x
n+1 , . . . , xn+m
Niech βF b¦dzie rezultatem
Niech αE ×F jako αE ∧ βF .
Niech ασθ E to
^
αE ∧
`
i
= j '∈θ
xi
= xj ∧
^
`
i
= c '∈θ
xi
= c.
Dowód twierdzenia Codda cz. 2
Niech podstawowymi spójnikami b¦d¡ ∨, ¬ i ∃
Konstruujemy AD ∈ AR1 jako ∪-sum¦
πi R dla wszystkich R w sygnaturze i wszystkich i takich, »e
ma co najmniej i argumentów
wszystkich {c } dla
c
w sygnaturze
Dla ka»dej struktury A zachodzi [[AD ]] = ad (A).
Dla ka»dego n nie mniejszego ni» wszystkie numery zmiennych
wolnych w α konstruujemy Eα;n ∈ ARn takie, »e
[[Eα;n ]] = {ha1 , . . . , an i ∈ An | (A, x1 : a1 , . . . , xn : an ) |= α}.
R
Dowód twierdzenia Codda cz. 2 cd
Ex =x ;n to σi =j (|AD × ·{z· · × AD}).
i
j
n
Ex =c ;n to σi =c (AD
· · × AD}).
| × ·{z
i
ER (x 1 ,...,x
i
n
i
k
· · × AD}), gdzie permutacja
);n to πI (R × AD
| × ·{z
wspóªrz¦dne
R
n −k
mieszcza na pozycjach
Eα∨β;n to Eα;n ∪ Eβ;n
E¬α;n to (|AD × ·{z· · × AD}) − Eα;n
n
i
1
, . . . , ik
W ∃xi α mo»emy zaªo»y¢, »e i = n + 1. Wtedy
π1,...,n Eα;n+1 .
E∃x α;n to
i
I
Dowód twierdzenia Codda cz. 2 cd
Eα;n zawiera dodatkowe wspóªrz¦dne, które rejestruj¡ numery
zmiennych wolnych α.
Niech Eα to πI Eα;n ,
gdzie I to posortowany rosn¡co ci¡g numerów zmiennych wolnych α