Zadanie 1. Pokaza¢, »e je±li w grupoidzie (G,·) dla wszystkich x, y, z

Zadanie 1.
(AG)
Pokaza¢, »e je±li w grupoidzie
(G, ·)
dla wszystkich
x, y, z ∈ G
mamy:
(x · y) · z = (z · y) · x,
to nie mog¡ w nim by¢ speªnione wszystkie ni»ej wymienione warunki:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
∀b ∈ G
∀b ∈ G
∀b ∈ G
∀b ∈ G
∀b ∈ G
∃x, y
∃x, y
∃x, y
∃x, y
∃x, y
∈G
∈G
∈G
∈G
∈G
b = (x · (b · b)) · y ,
b = (x · ((b · b) · b)) · y ,
b = (x · (b · (b · b))) · y ,
b = (x · (b · (b · (b · b)))) · y ,
b = (x · (((b · b) · b) · b)) · y .
Inaczej mówi¡c: nale»y pokaza¢, »e warunki
(1) − (5) oraz (AG) s¡ wzajemnie sprzeczne lub
poda¢ przykªad grupoidu speªniaj¡cego warunek (AG) i tylko niektóre z pozostaªych warunków.
Zadanie 2.
(*)
Pokaza¢, »e w grupoidzie
(G, ·)
speªniaj¡cym warunek (AG) oraz:
x · (y · z) = y · (x · z),
tylko jeden z warunków
(1) − (5)
nie musi by¢ speªniony.