Sortowanie - Politechnika Wrocławska

Sortowanie
Tomasz Żak
www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska
styczeń 2014
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
albo już są we właściwej kolejności (żeby to sprawdzić musimy
odczytać nazwisko na drugiej pracy i porównać z nazwiskiem z
pierwszej),
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
albo już są we właściwej kolejności (żeby to sprawdzić musimy
odczytać nazwisko na drugiej pracy i porównać z nazwiskiem z
pierwszej),
albo przestawić kolejność klasówek (jedna operacja).
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
albo już są we właściwej kolejności (żeby to sprawdzić musimy
odczytać nazwisko na drugiej pracy i porównać z nazwiskiem z
pierwszej),
albo przestawić kolejność klasówek (jedna operacja).
Interesuje nas tylko liczba porównań, odczytywanie nazwisk
zajmuje mniej czasu (wystarczy rzut oka).
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
albo już są we właściwej kolejności (żeby to sprawdzić musimy
odczytać nazwisko na drugiej pracy i porównać z nazwiskiem z
pierwszej),
albo przestawić kolejność klasówek (jedna operacja).
Interesuje nas tylko liczba porównań, odczytywanie nazwisk
zajmuje mniej czasu (wystarczy rzut oka).
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku TRZECH klasówek
(w najgorszym przypadku)?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Przypuśćmy, że po sprawdzeniu 30 klasówek układamy je w
kolejności alfabetycznej autorów. Jak to zrobić najszybciej?
Zastosujmy metodę matematyków — uproszczenie zadania i
załóżmy, że są TYLKO DWIE klasówki. Wówczas:
albo już są we właściwej kolejności (żeby to sprawdzić musimy
odczytać nazwisko na drugiej pracy i porównać z nazwiskiem z
pierwszej),
albo przestawić kolejność klasówek (jedna operacja).
Interesuje nas tylko liczba porównań, odczytywanie nazwisk
zajmuje mniej czasu (wystarczy rzut oka).
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku TRZECH klasówek
(w najgorszym przypadku)?
Bierzmy drugą i porównujemy z pierwszą (być może je
przestawiamy) i mamy je już ustawione.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Bierzmy trzecią i porównujemy z pierwszą, jeśli powinna być
PRZED pierwszą to koniec, jeśli nie, to porównujemy z drugą
i ustawiamy na drugiej lub trzeciej pozycji.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Bierzmy trzecią i porównujemy z pierwszą, jeśli powinna być
PRZED pierwszą to koniec, jeśli nie, to porównujemy z drugą
i ustawiamy na drugiej lub trzeciej pozycji.
Dobry sposób, ale już przy 30 kartkówkach i jednej operacji na
sekundę mógłby zająć ...
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Bierzmy trzecią i porównujemy z pierwszą, jeśli powinna być
PRZED pierwszą to koniec, jeśli nie, to porównujemy z drugą
i ustawiamy na drugiej lub trzeciej pozycji.
Dobry sposób, ale już przy 30 kartkówkach i jednej operacji na
sekundę mógłby zająć ...
... nieco ponad 7 minut!
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Bierzmy trzecią i porównujemy z pierwszą, jeśli powinna być
PRZED pierwszą to koniec, jeśli nie, to porównujemy z drugą
i ustawiamy na drugiej lub trzeciej pozycji.
Dobry sposób, ale już przy 30 kartkówkach i jednej operacji na
sekundę mógłby zająć ...
... nieco ponad 7 minut!
A ja czasem muszę sortować 80 prac! To trwałoby w
najgorszym przypadku ponad 50 minut (gdyby każda operacja
zabierała jedną sekundę – zwykle zabiera dużo więcej).
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Piątą klasówkę porównujemy z czterema już posortowanymi,
co daje 1 + 2 + 3 + 4 = 10 operacji.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Piątą klasówkę porównujemy z czterema już posortowanymi,
co daje 1 + 2 + 3 + 4 = 10 operacji.
Licząc dalej, otrzymujemy dla 30 kartkówek sumę
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Piątą klasówkę porównujemy z czterema już posortowanymi,
co daje 1 + 2 + 3 + 4 = 10 operacji.
Licząc dalej, otrzymujemy dla 30 kartkówek sumę
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =?
Podobno kilkuletni Gauss obliczył na lekcji bardzo szybko
sumę 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Piątą klasówkę porównujemy z czterema już posortowanymi,
co daje 1 + 2 + 3 + 4 = 10 operacji.
Licząc dalej, otrzymujemy dla 30 kartkówek sumę
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =?
Podobno kilkuletni Gauss obliczył na lekcji bardzo szybko
sumę 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050.
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =
29×30
2
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
= 29 × 15 = 290 + 145 = 435.
Sortowanie
Sortowanie
Ponieważ ten wynik zwykle spotyka sie z niedowierzaniem,
udowodnijmy go!
Ile operacji trzeba wykonać w przypadku CZTERECH
klasówek (w najgorszym przypadku)?
Do posortowania trzech potrzebowaliśmy 1+2=3 operacji,
więc teraz musimy porównać czwartą klasówkę z PIERWSZĄ,
z DRUGĄ i z TRZECIĄ, co daje łącznie 1 + 2 + 3 = 6 operacji.
Piątą klasówkę porównujemy z czterema już posortowanymi,
co daje 1 + 2 + 3 + 4 = 10 operacji.
Licząc dalej, otrzymujemy dla 30 kartkówek sumę
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =?
Podobno kilkuletni Gauss obliczył na lekcji bardzo szybko
sumę 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5050.
29×30
= 29 × 15
2
29
1
4 = 7 4 minuty
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 29 =
435 sekund to
435
60
=
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
= 290 + 145 = 435.
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Obliczmy: 1 + 2 + ... + 1 000 000 ≈
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
106 ×106
2
Sortowanie
= 0, 5 × 1012 .
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Obliczmy: 1 + 2 + ... + 1 000 000 ≈
106 ×106
2
= 0, 5 × 1012 .
Przy 109 operacji na sekundę daje to około 103 sekund, czyli
ponad 16 minut.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Obliczmy: 1 + 2 + ... + 1 000 000 ≈
106 ×106
2
= 0, 5 × 1012 .
Przy 109 operacji na sekundę daje to około 103 sekund, czyli
ponad 16 minut.
Gdyby danych było 10 milionów, takie sortowanie zajęłoby
1014 /109 = 105 sekund czyli niemal 28 godzin.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Obliczmy: 1 + 2 + ... + 1 000 000 ≈
106 ×106
2
= 0, 5 × 1012 .
Przy 109 operacji na sekundę daje to około 103 sekund, czyli
ponad 16 minut.
Gdyby danych było 10 milionów, takie sortowanie zajęłoby
1014 /109 = 105 sekund czyli niemal 28 godzin.
UWAGA: detektory LHC produkują około 100 TB danych na
sekundę! Tera = 1012 ...
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Sortowanie
Wyobraźmy sobie komputer, który musi posortować milion liczb
(jakichś danych). Niech to będzie szybki komputer, wykonujący
miliard takich porównań (i przestawień) na sekundę.
Opisana powyżej metoda, wymagająca 1 + 2 + ... + 1 000 000
operacji zajęłaby mu ...
Obliczmy: 1 + 2 + ... + 1 000 000 ≈
106 ×106
2
= 0, 5 × 1012 .
Przy 109 operacji na sekundę daje to około 103 sekund, czyli
ponad 16 minut.
Gdyby danych było 10 milionów, takie sortowanie zajęłoby
1014 /109 = 105 sekund czyli niemal 28 godzin.
UWAGA: detektory LHC produkują około 100 TB danych na
sekundę! Tera = 1012 ...
Sortowanie 1012 liczb naszym sposobem trwałoby około ...
milion lat. Czyli sposób jest zły! A można to zrobić w 11 dni...
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
... w gruncie rzeczy porównujemy każdą kartkę z każdą!
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
... w gruncie rzeczy porównujemy każdą kartkę z każdą!
Czy można porównywać za sobą TYLKO NIEKTÓRE kartki?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
... w gruncie rzeczy porównujemy każdą kartkę z każdą!
Czy można porównywać za sobą TYLKO NIEKTÓRE kartki?
Ważna jest liczba porównań – im mniej, tym lepiej.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
... w gruncie rzeczy porównujemy każdą kartkę z każdą!
Czy można porównywać za sobą TYLKO NIEKTÓRE kartki?
Ważna jest liczba porównań – im mniej, tym lepiej.
Rozwiązanie:
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie klasówek
Kluczowa obserwacja:
porównań jest tak wiele, bo ...
... w gruncie rzeczy porównujemy każdą kartkę z każdą!
Czy można porównywać za sobą TYLKO NIEKTÓRE kartki?
Ważna jest liczba porównań – im mniej, tym lepiej.
Rozwiązanie:
Najpierw dzielimy kartki alfabetycznie na 4 grupy (albo na
więcej), potem sortujemy każdą grupę oddzielnie.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
lub 100 grup: 0-9, 10-19, ..., 990-1000
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
lub 100 grup: 0-9, 10-19, ..., 990-1000
Który z tych podziałów daje szybsze sortowanie?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
lub 100 grup: 0-9, 10-19, ..., 990-1000
Który z tych podziałów daje szybsze sortowanie?
Uwaga: dzieląc najmądrzej, jak to możliwe (tzn. JAK???)
możemy osiągnąć liczbę porównań rzędu stała×n log2 n.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
lub 100 grup: 0-9, 10-19, ..., 990-1000
Który z tych podziałów daje szybsze sortowanie?
Uwaga: dzieląc najmądrzej, jak to możliwe (tzn. JAK???)
możemy osiągnąć liczbę porównań rzędu stała×n log2 n.
Np. dla n = 1 000 000 nasze poprzednie sortowanie daje około
5 × 1011 porównań, a mądre
1 000 000 log2 1 000 000 ≈ 1 000 000 log2 (220 ) ≈ 2 × 107 , czyli
jest 10 000 razy szybsze!
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Mądre sortowanie zbioru liczb z przedziału od 0 do 1000
Nie ma tu naturalnego podziału na grupy alfabetyczne, musimy
sami utworzyć grupy.
Jeśli wiemy, że danych do sortowania jest dużo, to możemy
podzielić je np. na:
10 grup: 0-99, 100-199, ..., 900-1000
lub 100 grup: 0-9, 10-19, ..., 990-1000
Który z tych podziałów daje szybsze sortowanie?
Uwaga: dzieląc najmądrzej, jak to możliwe (tzn. JAK???)
możemy osiągnąć liczbę porównań rzędu stała×n log2 n.
Np. dla n = 1 000 000 nasze poprzednie sortowanie daje około
5 × 1011 porównań, a mądre
1 000 000 log2 1 000 000 ≈ 1 000 000 log2 (220 ) ≈ 2 × 107 , czyli
jest 10 000 razy szybsze!
A co zrobić, gdy nie znamy zakresu, z którego pochodzą
liczby??? Jak wtedy dzielić na grupy?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Algorytmy losowe
Gdy trzeba uporządkować ogromny zbiór danych liczbowych (np.
10 000 000) i nie podano zakresu, z jakiego pochodzą te liczby,
stosuje się algorytm losowy, polegający na tym, że losuje się
jedną z tych liczb i porównuje się pozostałe z wylosowaną liczbą.
Takie postępowanie dzieli zbiór liczb na dwie części, a rachunek
prawdopodobieństwa wskazuje, że z dużym prawdopodobieństwem
oba zbiory mają mniej więcej porównywalną liczbę elementów.
Ale to już całkiem inna historia.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Small world
Eksperyment z listami (Milgram experiment).
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Small world
Eksperyment z listami (Milgram experiment).
Eksperyment ze stronami z internecie.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Small world
Eksperyment z listami (Milgram experiment).
Eksperyment ze stronami z internecie.
Ile trzeba kroków, aby przejść od jednej strony do dowolnej
innej za pomocą linków?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Small world
Eksperyment z listami (Milgram experiment).
Eksperyment ze stronami z internecie.
Ile trzeba kroków, aby przejść od jednej strony do dowolnej
innej za pomocą linków?
Średnio sześć! Niewiarygodne?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Small world
Eksperyment z listami (Milgram experiment).
Eksperyment ze stronami z internecie.
Ile trzeba kroków, aby przejść od jednej strony do dowolnej
innej za pomocą linków?
Średnio sześć! Niewiarygodne?
Jakie może być intuicyjne wyjaśnienie tego zjawiska? Uwaga:
406 = (4 · 10)6 = 212 · 106 =???
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Ty też możesz pracować naukowo!
http://www.deltami.edu.pl/temat/astronomia/2012/08/26/Amatorzy w nauce/
http://zoo1.galaxyzoo.org/pl/
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Co warto czytać?
Książki popularyzujące matematykę, informatykę, fizykę,
astronomię itd.
Delta – miesięcznik popularno-naukowy dla ...
link: deltami czyli δµ.
Autorzy książek:
Martin Gardner – wszystko, co napisał
Hugo Steinhaus Kalejdoskop matematyczny, Sto zadań, Orzeł czy
reszka
Ian Stewart Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne
Np: Zagadka dla piratów.
David Wells Cudowne i interesujące łamigłówki matematyczne, na
przykład Tajemniczy kwadrat ze strony 158.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
Tajemniczy kwadrat (w dodatku magiczny!)
W 8 kwadracików wpisano symbole według pewnego wzorca. Jaki
symbol należy umieścić w prawym dolnym rogu?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Wszyscy piraci są uporządkowania w zależności od stopnia
okrucieństwa, tzn. nie ma dwóch jednakowo okrutnych.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Wszyscy piraci są uporządkowania w zależności od stopnia
okrucieństwa, tzn. nie ma dwóch jednakowo okrutnych.
Wszyscy kierują sie logiką i wiedzą, że pozostali też działają
logicznie.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Wszyscy piraci są uporządkowania w zależności od stopnia
okrucieństwa, tzn. nie ma dwóch jednakowo okrutnych.
Wszyscy kierują sie logiką i wiedzą, że pozostali też działają
logicznie.
Wszyscy lubią wyrzucać innych za burtę, ale wolą choćby
najmniejszą ilość złota od wyrzucania innych za burtę.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Wszyscy piraci są uporządkowania w zależności od stopnia
okrucieństwa, tzn. nie ma dwóch jednakowo okrutnych.
Wszyscy kierują sie logiką i wiedzą, że pozostali też działają
logicznie.
Wszyscy lubią wyrzucać innych za burtę, ale wolą choćby
najmniejszą ilość złota od wyrzucania innych za burtę.
Nikt nie chce być wyrzucony.
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie
10 piratów dzieli 100 sztuk złota
Stosują nastepującą metodę demokratyczną:
Najokrutniejszy proponuje sposób podziału i wszyscy głosują.
Jeśli co najmnej połowa (wliczając wnioskodawcę) opowie się
za, następuje podział.
Jeśli nie, to wnioskodawca ląduje za burtą, a drugi co do
okrucieństwa pirat proponuje swój sposób podziału i znów
następuje głosowanie i albo sposób jest przyjęty, albo
wnioskodawca za burtą itd.
Wszyscy piraci są uporządkowania w zależności od stopnia
okrucieństwa, tzn. nie ma dwóch jednakowo okrutnych.
Wszyscy kierują sie logiką i wiedzą, że pozostali też działają
logicznie.
Wszyscy lubią wyrzucać innych za burtę, ale wolą choćby
najmniejszą ilość złota od wyrzucania innych za burtę.
Nikt nie chce być wyrzucony.
Jaki podział przejdzie?
Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak
Sortowanie