Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych

Dynamiczne modele liniowe
w badaniach okresowych
mgr Kamil Wilak
Katedra Statystyki
UE w Poznaniu
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
O czym będzie mowa?
I
badamy zmienność pewnego parametru w czasie w pewnej populacji
I
co pewien okres losujemy próbę
I
na podstawie próby szacujemy badany parametr
I
precyzja oszacowania zależy od wielkości próby
I
co, gdy mamy za małą próbę?
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe (DLM)
Specyfikacja modelu
Yt = F 0t θ t + εt
2
εt ∼ N(0, σε,t
)
- równanie pomiaru
θ t = Gt θ t−1 + η t
η t ∼ N(0, Wt )
- równanie przejścia
gdzie
I
Yt - obserwowana wartość szeregu czasowego
I
θ t - nieobserwowany wektor parametrów stanu
I
F t i Gt - wektor i macierz znanych współczynników liniowych
I
εt - zm. los. opisująca zmienność nieopisana przez parametry stanu / błąd
obs.
I
η t - wektor losowy opisujący stratę w czasie informacji o wartości wektora
θt
I
Wt - macierz kowariancji macierzy wektora losowego η t
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe (DLM)
Filtr Kalmana - filtrowanie
Dt informacje dostępne w okresie t, θt |Dt ∼ N(m t , Ct )
I
prognoza 1 krok naprzód wektora θt+1 na podstawie informacji Dt ma
rozkład normalny z parametrami:
a t+1 = E (θ t+1 |Dt ) = Gt+1 m t
Zt+1 = Var (θ t+1 |Dt ) = Gt+1 Ct G0t+1 + Wt+1
I
prognoza 1 krok naprzód Yt+1 na podstawie informacji Dt ma rozkład
normalny z parametrami:
ft+1 = E (Yt+1 |Dt ) = F t+1 a t
2
Qt = Var (Yt+1 |Dt ) = F t+1 Zt+1 F 0t+1 + σε,t+1
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe (DLM)
Filtr Kalmana - filtrowanie cd.
Dt+1 = {Dt , Yt+1 } informacje dostępne w okresie t
I
oszacowanie wektora θ t+1 na podstawie informacji Dt+1 ma rozkład
normalny z parametrami:
m t+1 = E (θ t+1 |Dt+1 ) = a t + Zt+1 F 0t+1 Q−1
t+1 (Yt+1 − ft+1 )
Ct+1 = Var (θ t+1 |Dt+1 ) = Zt+1 − Zt+1 F 0t+1 Q−1
t+1 F t+1 Zt+1
Potrzebna jest macierz Wt
Można ją oszacować za pomocą Metody Największej Wiarygodności
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe
Filtr Kalmana - filtrowanie cd.
Źródło: Solhjell Ida Kjersem [2009] Bayesian Forecasting and Dynamic Models Applied to Strain
Data from Gota River Bridge
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe
Filtr Kalmana - wygładzanie
Jeżeli θ t+1 |Dt ∼ N(st+1 , St+1 , wtedy θ t |Dt ∼ N(st , St ), gdzie:
st = mt + Ct G0t+1 R−1
t+1 (st+1 − at+1 )
−1
St = Ct + Ct G0t+1 Rt+1
(St+1 − Rt+1 )R−1
t+1 Gt+1 Ct
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Idea wykorzystania DLM w badaniach okresowych
Niech
I
Yt - badany parametr populacji
I
Ŷt - oszacowanie bezpośrednie parametru populacji
I
et - błąd oszacowania, et ∼ N(0, Vt ), Vt = Var (Ŷt )
Wtedy
Ŷt = Yt + et
(1)
Załóżmy, że:
Yt = F 0t θ t + εt
2
εt ∼ N(0, σε,t
)
(2)
θ t = Gt θ t−1 + η t
η t ∼ N(0, Wt )
(3)
(2)-(3)→(1), stąd
Ŷt = F 0t θ t + εt + et = F 0t θ t + vt
vt ∼ N(0, σv2 Vt ),
θ t = Gt θ t−1 + η t
η t ∼ N(0, Wt )
mgr Kamil Wilak
σv2 ≈ 1
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
(4)
(5)
Przykład
Dane
I
dane jednostkowe z Badania Aktywności Ekonomicznej Ludności
2000-2005
Populacja
I
osoby biorące udział w BAEL-u
Badany parametr
I
miesięczna stopa bezrobocia Yt =
NtB
NtA
NtB - liczba osób bezrobotnych w miesiącu t
NtA - liczba osób aktywnych zawodowo w miesiącu t
Losowanie próby
I
proste bez zwracania, wielkość próby - 500
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Przykład
Oszacowanie bezpośrednie
Ŷt =
ntB
ntA
ntB - liczba osób bezrobotnych w próbie wylosowanej w miesiącu t
ntA - liczba osób aktywnych zawodowo w próbie wylosowanej w miesiącu t
Precyzja oszacowania bezpośredniego
Vt = Var (Ŷt ) ≈
B A
B
(Nt −nt )nt nt (nt −nt )
Nt (nt −1)
(ntA )3
Nt - wielkość populacji w miesiącu t
nt - wielkość próby wylosowanej w miesiącu t
p
√
Var (Ŷt ) ≈ 0.023
Var (Yˆt )
Yt
≈ 0.125
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Przykład
2
et ∼ N(0, σe,t
)
Ŷt = Yt + et =
= Lt + St + εt + et =
2
εt ∼ N(0, σε,t
)
= Lt + St + vt
vt = et + εt ∼ N(0, σv2 Vt )
et - błąd oszacowania, εt - reszta modelu

Lt = Lt−1 + Rt−1 

Rt = Rt−1 + ωR,t
trend lokalnie liniowy
E (ωR,t ) = 0


2
Var (ωR,t ) = σR
P6
St = j=1 St,j
∗
St,j = cos jπ
St−1,j + sin jπ
St−1,j + ωS,t,j
6
6
jπ
∗
∗
∗
St,j
= − sin jπ
S
+
cos
St−1,j
+ ωS,t,j
t−1,j
6
6
∗
E (ωS,t,j ) = E (ωS,t,j ) =
0 2
σS,j , t = t0, j = j0
∗
Cov (ωS,t,j , ωS,t0,j0
)=
0,
wpp
mgr Kamil Wilak








sezonowość
trygonometryczna







Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne modele liniowe
F t = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1)
∗
, . . . , St,6 )T
θ t = (Lt , Rt , St,1 , St,1
S1
S6
R
Gt = blockdiag(G
t , Gt , . . . , Gt )
1 1
GRt =
0 1
cos(jπ/6) sin(jπ/6)
Sj
Gt =
− sin(jπ/6) cos(jπ/6)
∗
η t = (0, ωR,t , ωS,t,1 , ωS,t,1
, . . . , ωS,t,6 )
mgr Kamil Wilak























=⇒
Ŷt = Zt θ t + vt
θ t = Gt θ t−1 + ηt
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dynamiczne Modele Liniowe w R
Pakiet dlm
I
Giovanni Petris, Sonia Petrone, Partizia Campagnoli [2007/2011]
Dynamic Linear Models with R
I
Giovanni Petris [2010] dlm - an R package for Bayesian analysis of
Dynamic Linear Models
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych
Dziękuję za uwagę
mgr Kamil Wilak
Dynamiczne modele liniowe w badaniach okresowych