Bliźniacze szczyty

TWEAN
PEAKS
DEFINICJA
Dla liczb calkowitych n=2, niech lpf(n) oznacza
najmniejszy pierwszy czynnik liczby n. Pare calkowitych
liczb (x,y) nazywamy blizniaczym szczytem jesli:
x<y,
lpf(x)=lpf(y)
dla kazdego z, x<z<y implikuje lpf(z)<lpf(x).
„Zlamana” linia grafu najmniejszego pierwszego czynnika
funkcji podobna jest do poszczerbionych) terenów górskich. W
przypadku tego terenu, blizniacze szczyty skladaja sie z dwóch
gór o równych wysokosciach, a pomiedzy nimi nie ma zadnej
góry równej lub wiekszej od nich. Oznaczmy wysokosc
blizniaczego szczytu (x,y) przez p=lpf(x)=lpf(y). Z definicji
najmniejszy pierwszy czynnik funkcji, p musi byc liczba
pierwsza.
Odleglosc pomiedzy blizniaczymi szczytami (x,y) jest równa:
s=y-x.
Wtedy s musi byc parzysta wielokrotnoscia p, a wiec s=kp,
gdzie k jest parzyste. Blizniaczy szczyt z s=kp nazywamy kpblizniaczym szczytem. W ten sposób mozemy mowic: 2pblizniacze szczyty, 4p-blizniacze szczyty,itd. kp-blizniacze
szczyty w pelni opisane sa przez k,p i x, z których mozemy
prosto obliczyc y=x+kp.
Pytanie o istnienie blizniaczych szczytów jako pierwszy zadal
David Wilson w matematyczno-zabawnym mailu 10.02.1997r.
Wilson juz prywatnie pokazal, ze istnienie blizniaczych
szczytów o wysokosci p=13, ze jest nieprawdopodobne, ale byl
niezdolny uogólnic ta regule. Nastepnie, John H. Conway,
Johan de Jong, Derek Smith i Manjul Bhargava
wspólpracowali nad odkryciem pierwszego blizniaczego
szczytu. Po dwóch godzinach zapisek na tablicy odkryli, ze
p=113 zaliczmy do 2p-blizniaczego szczytu, w którym:
x=126 972 592 296 404 970 720 882 679 404 584 182 254 788 131.
Wówczas, od tego czasu, Fred Helenius znalazl najmniejszy
2p-blizniaczy szczyt z p= 89 i
x=9 503 844 926 749 390 990 454 854 843 625 839.
Wysilek teraz zamienil w szukanie najmniejszej liczby p
zaliczanej do 2p-blizniaczego szczytu. 12.02.1997, Fred
Helenius znalazl p=71, do którego zaliczamy 240
podstawowych 2p-blizniaczych szczytów, najmniejszy
istniejacy to:
x=7 310 131 732 015 251 470 110 369.
Heleniusowskie wyniki zostaly potwierdzone przez Dan`a
Honey`a, ktory równiez obliczyl najmniejszy 2p-blizniaczy
szczyt L(2p) i liczbe podstawowych 2p-blizniaczych szczytów
N(2p) dla p=73,79 i 83. Jego wyniki sa streszczone w tablicy.
p
L(2p)
N(2p)
71 7310131732015251470110369 240
73 2061519317176132799110061 40296
79 3756800873017263196139951 164440
83 6316254452384500173544921 6625240
2p-blizniaczy szczyt o wysokosci p=73 jest najmniejszym
znanym blizniaczym szczytem. Wilson znalazl najmniejszy
znany 4p- blizniaczy szczyt z p=1327 oraz jako inny bardzo
duzy 4p-blizniaczy szczyt z p=3203.
Pozostaje wiele otwartych pytan w odniesieniu do blizniaczych
szczytów, np.:
Jaki jest najmniejszy blizniaczy szczyt (najmniejsze n)?
Jaka jest najmniejsza liczba pierwsza p dopuszczona do 4pbizniaczego szczytu?
Czy istnieja 6p-blizniacze szczyty?
Bibliografia
http://mathworld.wolfram.com/
Własne tłumaczenie☺