Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym

Ruch naładowanych cząstek w polu magnetycznym
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski
Zauważmy, że zgodnie z równaniem Siła magnetyczna-( 1 ) wektor siły F działającej na naładowaną cząstkę poruszającą się w
polu magnetycznym jest zawsze prostopadły do wektora prędkości v i wektora B. Oznacza to, że siła F nie może zmienić
wartości prędkości v, a co za tym idzie nie może zmienić energii kinetycznej cząstki. Siła F może jedynie zmienić kierunek
prędkości v, zakrzywić tor jej ruchu. Siła magnetyczna jest więc siłą dośrodkową.
Żeby prześledzić tor ruchu naładowanej cząstki w polu magnetycznym rozpatrzmy cząstkę, która z prędkością v wpada do
jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji B tak jak na Rys. 1.
Rysunek 1: Naładowana cząstka wpada do pola B z prędkością v.
Prędkość początkową cząstki (z którą wlatuje w obszar pola B) możemy rozłożyć na dwie składowe: jedną równoległą vII , a drugą
prostopadłą v⊥ do pola B. Zauważmy, że zgodnie ze wzorem Siła magnetyczna-( 2 ) siła magnetyczna związana jest tylko ze
składową prędkości prostopadłą do pola B ( θ = 90º) natomiast nie zależy od składowej równoległej do pola ( θ = 0º). Siła
magnetyczna zmienia więc tylko składową prędkości prostopadłą do pola B, natomiast składowa prędkości równoległa pozostaje
stała. W rezultacie cząstka przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż pola B równocześnie zataczając pod wpływem siły
magnetycznej okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do pola. Cząsteczka porusza się po spirali tak jak pokazano na Rys. 2.
Rysunek 2: Naładowana cząsteczka poruszająca się w polu magnetycznym po torze spiralnym
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1364
ZADANIE
Zadanie 1: Ruch ładunku w polu magnetycznym
Treść zadania:
Teraz spróbuj opisać ruch ładunku q, który porusza się z prędkością v prostopadle do pola magnetycznego B.
Wskazówka: Ponieważ prędkość jest prostopadła do pola B to tor cząstki jest okręgiem leżącym w płaszczyźnie
prostopadłej do pola B. Oblicz promień tego okręgu i częstotliwość z jaką krąży ładunek.
R=
T=
ROZWIĄZANIE:
Dane:
q, v, B.
Ładunek poruszający się w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadle do pola B, krąży po okręgu. Siła magnetyczna
jest siłą dośrodkową w tym ruchu Fdośr. = Fmagn. więc
mv2
R
= qvBsinθ
Promień okręgu obliczamy wprost z powyższego równania uwzględniając, że
θ = 90º ( v ⊥ B)
R=
mv
qB
Częstotliwość f (odwrotność okresu T ) z jaką krąży ładunek obliczamy ze wzoru
f=
1
T
=
1
2πR
v
=
v
2πR
=
qB
2πm
gdzie podstawiono obliczoną wcześniej wartość R. Zauważmy, że częstotliwość (a tym samym okres) nie zależy od R i v.
Zjawisko odchylania toru naładowanych cząstek w polu magnetycznym znalazło szerokie zastosowanie w technice i nauce.
Jednym z przykładów jest lampa kineskopowa w telewizorze czy monitorze. Na Rys. 3 pokazany jest przykładowy tor wiązki
elektronów w lampie.
Rysunek 3: Odchylanie wiązki elektronów w polu magnetycznym w lampie kineskopu
W kineskopie pole magnetyczne jest przyłożone wzdłuż kierunku x i w kierunku y. Pole Bx , w zależności od zwrotu ( +x, −x)
odchyla elektrony w górę lub w dół ekranu, natomiast pole By , w zależności od zwrotu ( +y, −y) odchyla wiązkę elektronów w
prawo lub w lewo. W ten sposób sterujemy wiązką elektronów, która przebiega (skanuje) cały ekran docierając do każdego
punktu ekranu (piksela).
Innym przykład stanowi spektrometr masowy, którego schemat jest pokazany na Rys. 4.
Rysunek 4: Schemat działania spektrometru masowego
Cząstka (jon) o masie m i ładunku q wyemitowana ze źródła Z zostaje przyspieszona napięciem U po czym wlatuje w obszar
jednorodnego pola magnetycznego B prostopadłego do toru cząstki. (Pamiętaj, że symbol ⊙ oznacza wektor skierowany przed
płaszczyznę rysunku, a symbolem ⊗ oznaczamy wektor skierowany za płaszczyznę rysunku). Pole magnetyczne zakrzywia tor
cząstki, tak że porusza się ona po półokręgu o promieniu R, po czym zostaje zarejestrowana w detektorze (np. na kliszy
fotograficznej) w odległości 2R od miejsca wejścia w pole magnetyczne.
Promień okręgu po jakim porusza się naładowana cząstka w polu B obliczyliśmy w ostatnim ćwiczeniu
R=
mv
qB
(1)
gdzie v jest prędkością z jaką porusza się cząstka. Tę prędkość uzyskuje ona dzięki przyłożonemu napięciu U . Zmiana energii
potencjalnej ładunku przy pokonywaniu różnicy potencjału U jest równa energii kinetycznej jaką uzyskuje ładunek
ΔEk = ΔEp
lub
2
= qU
(2)
mv2
2
Stąd otrzymujemy wyrażenie na prędkość v
= qU
−−
−
2qU
v=√ m
(3)
(4)
i podstawiamy je do równania ( 1 )
R=
1
B
−−−−
√ 2mU
q
(5)
R2 B2 q
2U
(6)
Ostatecznie po przekształceniu otrzymujemy
m=
Widzimy, że pomiar odległości ( 2R), w jakiej została zarejestrowana cząstka pozwala na wyznaczenie jej masy m.
Zakrzywianie toru cząstek w polu magnetycznym jest również wykorzystywane w urządzeniach zwanych akceleratorami. Te
urządzenia służące do przyspieszania cząstek naładowanych, znalazły szerokie zastosowanie w nauce, technice i medycynie.
Przykładem akceleratora cyklicznego jest cyklotron. O jego działaniu możesz przeczytać w module Cyklotron.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-22 08:54:30
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=735745a21500fcf73d95cf9311e3f13f
Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski