pobierz - pzme.zarz.agh.edu.pl

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM – ZESTAW 4
VALUE AT RISK (VaR)
Do kluczowych, a zarazem łatwych w interpretacji, ocen ryzyka inwestycyjnego, należą VaR i niedobór oczekiwany. Pierwsza z
tych wielkości mówi nam o tym, jakie są maksymalne możliwe straty przy określonym poziomie prawdopodobieństwa (czyli
określa maksymalne straty, gry nie będzie niezwykłych wydarzeń), a druga mówi o tym, jakich należy spodziewać się strat,
gdy poziom VaR zostanie przekroczony. Matematycznie VaR jest definiowany jako określony kwanty empirycznego rozkładu
zysku/strat z inwestycji, a niedobór oczekiwany jest liczony jako wartość oczekiwana zysku/strat przebiegający po
scenariuszach, w których VaR jest przekroczony.
1.
Załóżmy, że każda z dwóch niezależnych inwestycji charakteryzuje się 0.9% pr. Straty w wysokości 10 mln $ i 99.1%
pr. straty w wysokości 1 mln $.
a. Ile wyniesie VaR dla jednej inwestycji na poziomie pewności 99%?
b. Ile wyniesie niedobór oczekiwany dla jednej inwestycji na poziomie pewności 99%?
c. Ile wyniesie VaR i niedobór oczekiwany dla obu inwestycji łącznie na poziomie pewności 99%?
2.
Załóżmy, że każda z dwóch niezależnych inwestycji charakteryzuje się 4% pr. straty 10 mln $, 2% pr. straty 1 mln $
i 94% pr. zysku w wysokości 1 mln $.
a. Ile wyniesie VaR dla jednej inwestycji na poziomie pewności 95% (90%)?
b. Ile wyniesie niedobór oczekiwany dla jednej inwestycji na poziomie pewności 95% (90%)?
c. Ile wyniesie VaR i niedobór oczekiwany dla obu inwestycji łącznie na poziomie pewności 95% (90%)?
d. Wyjaśnić na tym przykładzie, że VaR nie spełnia warunku subaddytywności, a niedobór oczekiwany go
spełnia.
O ile policzenie 1-dniowego VaR jest wyznaczeniem odpowiedniego kwantyla, o tyle VaR
z dłuższym horyzontem czasowym, VaR z autokorelacją, czy VaR o zmienionym poziomie pewności
(przy założeniu normalności rozkładu), liczy się ze wzorów
T-dn. VaR = 1-dn. VaR
3.
Załóżmy, że zmiana wartości portfela w okresie jednodniowym podlega rozkładowi N(0, 2mln$). Obliczyć
a. 1-dniowy VaR przy poziomie pewności 97.5%,
b. 5-dniowy VaR przy poziomie pewności 97.5%,
c. 5-dniowy VaR przy poziomie pewności 95%.
4.
Załóżmy, że zmiana wartości portfela w okresie jednodniowym podlega rozkładowi N(0, 2mln$), a dzienna
autokorelacja wynosi 0.16. Obliczyć
a. 1-dniowy VaR przy poziomie pewności 97.5%,
b. 5-dniowy VaR przy poziomie pewności 97.5%,
c. 5-dniowy VaR przy poziomie pewności 95%.
5.
Załóżmy, że dzienne zmiany stopy zwrotu wykazuję autokorelację pierwszego rzędu, a jej oszacowanie wynosi 0.12.
Dziesięciodniowy VaR wynikający z kalkulacji VaR 1-dniowego wynosi 2 mln $. Jak wyglądałby bardziej precyzyjny
szacunek (tj. uwzględniający autokorelację)?
Niezwykle istotne jest, by VaR nie był policzony z „zapasem” lub z „niedoborem”. Taka sytuacja mogłaby bowiem prowadzić do
błędnych decyzji. Jakość policzonego VaR sprawdza się za pomocą testowania wstecznego, a służą do tego dwa testy:
6.

(Test Kupca) p – pr. VaR, n = próby, m = wyjątki:

(model dwumianowy) wartość
porównujemy do założonego „poziomu istotności”
Załóżmy, że prowadzimy testy wsteczne modelu VaR dla danych obejmujących 1000 dni. Poziom pewności wynosi
99%, a liczba zaobserwowanych w historii wyjątków wynosi 5. Czy powinniśmy zaakceptować ten model dla 5%
poziomu istotności. Posłużyć się „modelem dwumianowym” i dwustronnym testem Kupca.
a. Jak zmieni się sytuacja, gdyby liczyć 95% VaR, historia byłaby z roku (252 dane) a wyjątków byłoby 15?
b. Jak zmieni się sytuacja, gdy liczymy 99.9% VaR, historia byłaby z 5 lat, a wyjątków byłyby 3?