Wykład 3 Zmienne losowe

W ykł
yk ł ad 3
Z m ienne losow e
Zmienna losowa - Wartość zależna od
wyniku eksperymentu.
Przykład: Liczba orłów uzyskanych w
jednym rzucie monetą.
Ciągła zmienna losowa
Prawdopodobieństwo przyjęcia każdej
ustalonej wartości wynosi zero, np.
P(X=3.14159265358979323)=0
Zmienne losowe ciągłe rozważane na tym
kursie będą zawsze opisane funkcją
gęstości f(x).
Zmienna losowa dyskretna
Zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa
dyskretna jest skończony lub przeliczalny. Możliwe
wartości będziemy oznaczali x1,x2, …
Rozkład zmiennej dyskretnej X określamy podając
prawdopodobieństwa pi=P(X=xi).
Np. w rzucie symetryczną kostką liczba oczek X
ma rozkład P(X=i)=
, i=1,...6.
Histogram a gęstość rozkładu
prawdopodobieństwa
Jeżeli mamy liczbowe dane ciągłe, to:
więcej klas + dużo danych=bardziej
regularny histogram
1
Gęstość
Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
Gdy rozmiar próby dąży do nieskończoności a
szerokość klas do zera, histogram zbiega do
wykresu gęstości rozkładu zmiennej.
Gęstość, f, rozkładu prawdopodobieństwa spełnia
następujące dwa warunki:
f(x)
Podobnie jak dla histogramu, pole pod
wykresem gęstości (całka) jest frakcją
osobników wpadających do danego przedziału
(czyli prawdopodobieństwem tego, że losowo
wybrany osobnik jest w danym przedziale).
Całkowite
pole pod wykresem f(x) wynosi 1:
∞
∫ f ( x)dx = 1
−∞
Przykłady rozkładów ciągłych
Rozkład jednostajny na odcinku [a,b]
f(x)=
≥ 0 dla wszystkich x.
Rozkłady ciągłe cd.
Rozkłady (absolutnie) ciągłe dane są przez:
b
P ( X ∈ ( a , b )) =
∫
f ( x ) dx
a
Rozkład wykładniczy z parametrem λ>0
f(x)=
Dystrybuanta zmiennej X:
Dla liczby
x
Niech Y ma rozkład jednostajny na odcinku [0,1].
P(Y>0.3)=
P(Y<0.3)=
P(Y=0.3)=
?
?
?
Narysuj dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej
X takiej, że P(X=0)=1/3 oraz P(X=1)=2/3.
definiujemy
FX ( x) = P( X ≤ x)
Własności: FX(x) jest funkcją niemalejącą,
ciągłą z prawej strony, oraz
lim x →−∞ F ( x) =
lim x →∞ F ( x) =
2
Wartość oczekiwana i wariancja (wzory).
Narysuj dystrybuantę rozkładu jednostajnego na
odcinku [a,b].
Z mienna losow a dyskretna
µx :=E(X)= Σxi P(X= xi)=Σxipi
• Var(X)= Σ(xi- µx)2 P(X= xi) = Σxi2 pi - µx2
•
Przykład 1 (rzut monetą, X=1, gdy orzeł, X=0,
gdy reszka)
E(X)=
Var(X)=
Przykład 2 (X=wynik rzutu kostką)
E(X)=
Var(X)=
Wartość oczekiwana i wariancja, cd.
Rozkład dwupunktowy z parametrem 0≤p≤1
P(Y=1)=p, P(Y=0)=1-p.
Z mienna losow a ciągła
EX =
∞
∫ x f(x) dx
−∞
∞
Oblicz:
EY=
Var(X) = ∫ (x - EX) 2 f(x) dx =
-∞
∞
∫ x f(x)dx − (EX)
2
2
−∞
VarY=
Wartość oczekiwana jest środkiem ciężkości figury określonej
przez krzywą gęstości.
Przykład: rozkład jednostajny na [a,b].
3
Przykład: rozkład wykładniczy z
paramerem λ>0:
Własności wartości oczekiwanej i wariancji
E(aX+b)=aEX+b
Var(aX+b)=a2Var(X)
Dla dwóch zmiennych losowych X i Y:
E(X+Y)=EX+EY
E(X-Y)=EX-EY
E(aX+bY+c)=
Niezależność zmiennych losowych, cd.
Przykład 2: Wybieramy (losowo) liczbę z
zakresu 12,...,101; X:=cyfra dziesiątek,
Y:=cyfra jedności, A={1, 2}, B={3, 4, 5}.
Niezależność zmiennych losowych:
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to
P( X ∈ A, Y ∈ B) = P ( X ∈ A) P(Y ∈ B )
Przykład1: Wybieramy (losowo) liczbę
dwucyfrową; X:=liczba dziesiątek, Y:=liczba
jedności, A={1, 2}, B={3, 4, 5}.
Jeżeli X i Y są niezależne, to
E(XY)=E(X)·E(Y)
i
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).
Przykład 3: Liczby oczek, X, Y, w dwóch
kolejnych rzutach kostką.
4
Ćwiczenia: X i Y niezależne, to
Var(X-Y)=
Var(X+X)=
5