dla niewidomych

ZESTAW
#Ydrs`v
WYBRANYCH WZORÓW
#VXAQ@MXBG #vynq/v
MATEMATYCZNYCH
#l`sdl`sxbymxbg
;`
;a
#n
;`
#a
#`
;A<"a;`
Materiały pomocnicze opracowane dla potrzeb egzaminu maturalnego i dopuszczone
jako pomoce egzaminacyjne.
Zestaw matematycznych wzorów został przygotowany dla potrzeb egzaminu
maturalnego z matematyki. Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji
Egzaminacyjnej we współpracy z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji
z ekspertami z okręgowych komisji egzaminacyjnych.
Na zlecenie CKE zestaw wzorów matematycznych dla potrzeb egzaminu maturalnego
z matematyki dla niewidomych i słabo widzących przystosowały
mgr Bogumiła Golańska i mgr inż. Agnieszka Lato w Specjalnym Ośrodku Szkolno
Wychowawczym dla Dzieci Niewidomych i Słabowidzących, Kraków ul. Tyniecka 7.
To oznaczenie wskazuje materiał z zakresu rozszerzonego.
#Sn nym`bydmhd vrj`ytid
l`sdqh`1 y y`jqdrt
qnyrydqynmdfn-
SPIS TREŚCI
#rohr sqd8bh
#v`qsn82 adyvyfk4cm`
khbyax ...................................... "`
#ons4fh h ohdqvh`rsjh....
...................................................... "a
#rhkmh`-#rxlank
#mdvsnm`................................. "c
#cvtlh`m Mdvsnm` ........... "d
#vynqx rjq/bnmdfn
lmn%dmh`................................. "f
#bh0fh ...................................... "h
#etmjbi` jv`cq`snv` ... "`b
#knf`qxslx ........................... "`e
#onbgncm` etmjbih ........ "`f
#fdnldsqh` `m`khsxbym`....
...................................................... "`h
#ok`mhldsqh` ...................... "ai
#rsdqdnldsqh` ................... "ca
#sqxfnmnldsqh`................. "cd
#jnlahm`snqxj`................. "dc
#q`bgtmdj
oq`vcnoncnahd3rsv` ...... "de
#o`q`ldsqx c`mxbg
rs`sxrsxbymxbg................. "e`
#s`akhb` v`qsn8bh
etmjbih 5r h 5b ............ "ed
#s`akhb` v`qsn8bh
etmjbih 5s h 57 ............ "eh
#vxjqdrx etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg ....... "fc
Wartość bezwzględna
#v`qsn82 adyvyfk4cm`
_kw^<8 w ck` wn<"i
;7,w ck` w8"i#khbya` _kw^ idrs sn
nckdf1n82 m` nrh
khbyanvdi otmjst w nc
otmjst "i#ck` cnvnkmxbg khbya
w+x
_kw^ n<"i
_kw^ <_k,w^
_kw*x^ 8<_kw^ *_kx^
_kw,x^ 8<_kw^ *_kx^
_kw-x^ <_kw^-_kx^
_kw7x^ <_kw^7_kx^ fcx
x)<"i
#ck` cnvnkmxbg khbya
&` nq`y &qn<"i
"`
_kw ,&`^8<&q +<+
&`,&q8< w8<&`*&q
_Kw ,&`^n<&q
<+
w 8<&`,&q kta w n<&`,&q
Potęgi i pierwiastki
#ons4fh h ohdqvh`rsjh
#Id%dkh `)<"i h m!d#m
&`/+ <&`
&`/: <&`-&`
&`/m__*"` <&`/m-&`
#ohdqvh`rsjhdl 2[m&`
rsnomh` m y khbyax
&`n<"i m`yxv`lx khbya4
&an<"i s`j0+ %d
&a/m<&`#id%dkh &`8-"i nq`y m
idrs mhdo`qyxrs`+ sn
"a
2{m&` nym`by` khbya4
&a8-"i s`j0+ %d &a/m<&`
#ohdqvh`rsjh rsnomh
o`qyxrsxbg y khbya
tidlmxbg mhd hrsmhdi02&`/:<_k&`^
#mhdbg &l+ &m r0
khbya`lh b`1jnvhsxlh
&`/,m <"`7&`/m fcx
&`)<"i
&`/l7m<2[m&`/l fcx
&`n<"i
&`/,l7m <"`72[m&`/l fcx
&`n"i
"b
#Cyh`1`mh` m` ons4f`bg
#mhdbg &q+ &r a4c0
khbya`lh qydbyvhrsxlh
&`n-"i+ &an-"i
sn
&`/q-&`/r <&`/q_*r
&`/q7&`/r <&`/q_,r
1&`/q?/r <&`/q_-r
1&`- &a?/q <&`/q-&a/q
1&`7&a?/q <&`/q7&a/q
Silnia. Symbol Newtona
#RHKMH@#rxlank #mdvsnm`
#rhkmh0 khbyax
cnc`smhdi b`1jnvhsdi m
m`yxv`lx hknbyxm
jnkdimxbg khbya
b`1jnvhsxbgm5 <"`-"a-"b---m
"i5 <"`
"c
1m*"`?5<m5-1m*"`? mn<"i
#rxlank #mdvsnm`
#ck` khbya b`1jnvhsxbg
m+ j rod1mh`i0bxbg
v`qtmjh "i8< j8< m
1m;7j? <m5 7j51m,j?5
1m;7j? <1m;7m,j?
1m;7"i?<"`
1m;7m?<"`
1m;7j? *1m;7j*"`?<
1m*"`;7j*"`?
Dwumian Newtona
#ck` cnvnkmdi khbyax
b`1jnvhsdi cnc`smhdi m
nq`y ck` cnvnkmxbg
khbya &`+ &a
"d
1&` *&a?/m <1m;7"i?-`/m
*1m;7"`?-`/m_,"`-&a
*---*
*1m;7m,"`?-`-a/m_,"` *
*1m;7M?-a/M
"e
Wzory skróconego mnożenia
#vynqx rjq/bnmdfn
lmn%dmh`
#ck` cnvnkmxbg khbya
&` h &a9
1&`*&a?/:<
<&`/:*"a&`a*&a/:
1&`,&a?/:<
<&`/:,"a&`a*&a/:
1&`,&a?1&`*&a?<
<&`/:,&a/:
1&`*&a?/9<
<&`/9*"b&`/:&a*
*"b&`a/:*&a/9
1&`,&a?/9<
<&`/9,"b&`/:&a*
*"b&`a/: ,&a/9
&`/9*&a/9<1&`*&a?1&`/:,
,&`a *&a/:?
"f
&`/9,&a/9<1&`,&a?1&`/:*
*&`a *&a/:?
"g
Ciągi
#bh0fh
#bh0f `qxsldsxbymx
#vy/q m` m,sx vxq`y
bh0ft `qxsldsxbymdfn n
c`mxl ohdqvryxl vxq`yhd
&`0+ h q/%mhbx &q
&`0m <&`0+ *1m ,"`?-q
#ck` mn<"a
&`0m <&`0m_,"` _*&`0m
_*"` 7"a
#vy/q m` rtl4
#r0m <&`0+* &`0:*---*
*&`0m
#r0M <1&`0+ *&`0m?-m7"a
<Z"a&`0+*1m,"`?q\-m7"a
"h
#bh0f fdnldsqxbymx
#vy/q m` m,sx vxq`y
bh0ft fdnldsqxbymdfn n
c`mxl ohdqvryxl vxq`yhd
&`0+ h hknq`yhd &p9
`0m <&`0+-p/m_,"`
#ck` m n<"a
&`0m/:<&`0m_,"`-&`0m_*"`
#vy/q m` rtl4
#r0m <&`0+ *&`0: *---*
*&`0m onby0sjnvxbg
vxq`y/v bh0ft
fdnldsqxbymdfn
#r0m <&`0+1"`,p/m?7"`,p
ck` p)<"`
#r0m <m-&`0+ ck` p <"`
"`i
Procent składany
#OQNBDMS RJ1@C@MX
#id%Dkh j`ohs`1
onby0sjnvx #j y1n%xlx
m` m k`s v a`mjt+ v
js/qxl noqnbdmsnv`mhd
knj`s vxmnrh o"i( v
rj`kh qnbymdi+ sn
j`ohs`1 jn3bnvx #j0m
vxmnrh9
#j0m <#j1"`*o7"`ii?/m
Granica ciągu
#fq`mhb` bh0ft ,
svhdqcydmh`- #id%dkh
"k0m_9"$1&`0m? <&f
"k0m_9"$1&a0m? <&g+ sn
"k0m_9"$1&`0m*&a0m?<
<&f*&g
"``
"k0m_9"$1&`0m,&a0m?<
<&f,&G
"k0m_9"$1&`0m -&a0m?<
<&f-&g
Fcx &a0m)<"i h &g)<"i
"k0m_9"$1&`0m7&a0m?<
<&f7&g
#id%dkh 1&`0m?+ mn<"`
idrs bh0fhdl
fdnldsqxbymxl
mhdrjn3bynmxl n
hknq`yhd _kp^8-"` sn
bh0f rtl
#r0m <&`0+ *&`0:*
*---*&`0m l` fq`mhb4
"k0m_9"$ #r0m<&`0+7"`_,p
"`a
Funkcja kwadratowa
#etmjbi` jv`cq`snv`
#Onrs`2 nf/km` etmjbih
jv`cq`snvdi9
e1w? <&`-w/: *&a-w *&b
fcyhd &`)<"i h
&`+a+b d#q
Onrs`2 j`mnmhbym`
etmjbih jv`cq`snvdi9
e1w? <&`1w *&a7"a&`?/:,
,^c7"c&` fcyhd vxq/%MHJ
^c <&a/: ,"c&`b
#vxjqdrdl etmjbih
jv`cq`snvdi idrs
o`q`ank` n vhdqybgn1jt
v otmjbhd
#v<1,&a7"a&`+,^c7"c&`?#Q`lhnm` o`q`ankh r0
rjhdqnv`md cn f/qx+ fcx
"`b
&`n+"i+ cn cn1t+ fcx
&`8-"i#khbya` lhdirb ydqnvxbg
<Qnyvh0y`3 q/vm`mh`<
e1w? <&`w/: *&aw *&b
1&`w/: *&aw *&b <"i?
ck` &`)<"i h w!d#q
y`kd%x nc vxq/%mhj`
^c 8-"i mhd l` lhdirb
ydqnvxbg <aq`j
qnyvh0y`3 q/vm`mh`<
^c <"i idcmn lhdirbd
ydqnvd <Idcmn
qnyvh0y`mhd<
w0( <,&a7"a&`
onrs`2 hknbyxmnv`
e1w? <&`1w ,w0(?/:
"`c
^c n+"i cv` lhdirb`
ydqnvd <cv`
qnyvh0y`mh`<w0+ <,&a_,2^c7"a&`
w0: <,&a_*2^c7"a&`
onrs`2 hknbyxmnv`
e1w? <&`1w ,w0+?1w ,
,w0:?
#Vynqx #Uhsd-`
#Id%dkh ^c n<"i &`)<"i
w0+ *w0: <,&a7&`
w0+ -w0: <&b7&`
"`d
Logarytmy
#knf`qxslx
#Ck` cnvnkmxbg &`n+"i h
&`)<"` h &bn+"i &an+"i
h &a)<"` h wn+"i h
xn+"i 9
5k0&`1&b? <&a
<+
&b <&`/&a
w <&`/5k0&`1w?
5k0&`1w/j? <j-5k0&`1w?
5k0&`1w-x? <5k0&`1w?
*5k0&`1x?
5k0&`1w7x? <5k0&`1w? ,
,5k0&`1x?
5k0&a1w? <
<5k0&`1w?75k0&`1a?
"`e
Pochodna funkcji
#ONBGNCM@ ETMJBIH
#Id%dkh etmjbid e h f
l`i0 onbgncmd ck`
w!d#q+ sn9
Z&b-e1w?Ä) <&b-e)1w?
ck` &b!d#q
Ze1w? *f1w?\) <e)1w?
*f)1w?
Ze1W? ,f1w?\) <e)1w? ,
f)1w?
Ze1W?-f1w?\)<e)1w?-f1w?
*e1W?-f)1w?
Ze1w?7f1w?\) <
<e)1w?-f1w?_,e1w?-f)1w?
7Zf1w?\/: fcx f1w?)<"i
#etmjbih e #onbgncm` e)
e1w? <&b
e)1w? <"i
"`f
e1W? <&`w *&a
e)1w?<&`
e1w? <&`w/: *&aw *&b
e)1w? <"a&`w *&a
e1w? <w/q
e)1W?<qw/q_,"` fcx
q)<"i
e1w? <&`7w
e)1w?<,&`7w/:
fcx w)<"i
Równanie stycznej
#Id%dkh etmjbi` e l`
onbgncm0 v otmjbhd w0(
sn q/vm`mhd rsxbymdi cn
vxjqdrt etmjbih e v
otmjbhd 1w0(+e1w0(??
c`md idrs vynqdl
x ,e1w0(?<e)1w0(?1w,
,w0(?
"`g
Geometria analityczna
#FDNLDSQH@ @M@KHSXBYM@
x
#a<1w0#a+x0#a?
#`<1w0#`+x0#`?
n
w
Odcinek
#ncbhmdj
#c1tfn82 ncbhmj` n
jn3b`bg
#` <1w0#`+ x0#`?
#a <1w0#a+ x0#a?
c`m` idrs vynqdl9
_k#`#a^ <21w0#a,
,w0#`?/:_*
*1x0#a,x0#`?/:
"`h
Środek odcinka
#vro/1qy4cmd 8qncj`
#l <1w0(+ x0(? ncbhmj`
#`#a+ fcyhd
w0( <w0#`_*w0#a 7"a
x0( <x0#`_*x0#a 7"a
Wektory
#Vdjsnqx
#vro/1qy4cmd vdjsnq`
#`#a <Zw0#a ,w0#`+x0#a,
,x0#`\Długość wektora
#c1tfn82 vdjsnq`
#id%dkh
#9+&t <Zt0++ t0:\+ sn
_k#9+&t^<21t0+/:_*
*t0:/:?
"ai
#id%Dkh
#9+&t <Zt0++ t0:\
#9+&u <Zu0++ u0:\
r0 vdjsnq`lh+ &` idrs
khbya0+ sn
#9+&t *#9+&u <
<Zt0+*u0++ t0:*u0:\
&`-#9+&t <Z&`t0++&`t0:\
Prosta
#oqnrs`
#q/vm`mhd jhdqtmjnvd
oqnrsdi x <&`w *&a+
fcyhd &`+ &a!D#q"a` #khbya` &` sn
vro/1byxmmhj jhdqtmjnvx
oqnrsdi9 &`<5s;`+ fcyhd
;` j0s m`bgxkdmh`
oqnrsdi cn nrh w"a`
#vro/1byxmmhj &a
vxym`by` m` nrh x
otmjs+ v js/qxl c`m`
oqnrs` i0 oqydbhm`#q/vm`mhd nf/kmd
oqnrsdi
#`&w *#a&x *#b <"i
fcyhd #`/:*#a/: )<"i#id%Dkh #`<"i oqnrs`
idrs q/vmnkdf1`
cn nrh w#id%Dkh #a<"i+ oqnrs`
idrs q/vmnkdf1`
cn nrh x#id%Dkh #b<"i+ sn
oqnrs` oqydbgncyh oqydy
onby0sdj tj1`ct
vro/1qy4cmxbg"aa
#q/vm`mhd oqnrsdi
oqydbgncy0bdi oqydy
otmjsx
#` <1w0#`+ x0#`?
#a <1w0#a+ x0#a?
1x ,x0#`?1w0#a ,w0#`? ,
,1x0#a ,x0#`?1w ,w0#`?<
<"iProsta i punkt
#Oqnrs` h otmjs
#Nckdf1n82 c otmjst
#o<1w0(+x0(? nc oqnrsdi
n q/vm`mht
#`w *#ax *#b<"i idrs
c`m` vynqdl9
c<_K#`w0( *#ax0( *#b^
72#`/:_*#a/:-
"ab
Para prostych
#O`q` oqnrsxbg
#q/vm`mhd jhdqtmjnvd
oqnrsxbg
k0+ x<&`0+w *&a0+
k0: x<&`0:w *&a0:
Warunek równoległości
#v`qtmdj q/vmnkdf1n8bh
oqnrsxbg9 &`0+<&`0:Warunek prostopadłości
#v`qtmdj oqnrsno`c1n8bh
oqnrsxbg9
&`0+-&`0:<,"`
Kąt między prostymi
;e,j0s lh4cyx oqnrsxlh
k0+ h k0: sn
5s;e<_K&`0+,&`0:7"`_*
*&`0+-&`0:^ Ck`
"`*&`0+-&`0:)<"i"ac
#q/vm`mhd nf/kmd o`qx
oqnrsxbg k0+ h k0:
#`0+w*#a0+x*#b0+<"i
#`0:w*#a0:x*#b0:<"i
Warunek równoległości
#v`qtmdj q/vmnkdf1n8bh
oqnrsxbg9
#`0+#a0:,#`0:#a0+<"i
Warunek prostopadłości
#v`qtmdj oqnrsno`c1n8bh
oqnrsxbg9
#`0+#`0:*#a0+#a0:<"i
Kąt między prostymi
;e,j0s lh4cyx oqnrsxlh
k0+ h k0: sn
5s;e<_K#`0+-#a0:,
,#`0:-#a0+7#`0+-#`0:
_*#a0+-#a0:^
Ck`
#`0+-#`0:*#a0+-#a0:)<"i"ad
Trójkąt
#onkd sq/ij0s` #`#a#b
fcyhd
#` <1w0#`+ x0#`?+
#a <1w0#a+ x0#a?+
#b <1w0#b+ x0#b? c`md
idrs vynqdl:
#o <"`:-K1w0#a,
,w0#`?1x0#b ,x0#`?,
,1x0#a ,x0#`?1w0#b ,
,w0#`?^Środek ciężkości trójkąta
#8qncdj bh4%jn8bh
sq/ij0s`
#r <1w0#r+ x0#r?
byxkh otmjs oqydbh4bh`
idfn 8qncjnvxbg+ l`
vro/1qy4cmd9
"ae
w0#r <w0#` *w0#a *w0#b
7"b
x0#r <x0#` *x0#a *x0#b
7"b
Przekształcenia geometryczne
Oqydjrys`1bdmh`
fdnldsqxbymd
Symetria względem początku układu współrzędnych
Rxldsqh` vyfk4cdl
onby0sjt tj1`ct
vro/1qy4cmxbg
#otmjs #`) <1w)+ x)?
idsr naq`ydl otmjst
#`<1w+ x? v rxldsqhh
vyfk4cdl onby0sjt
tj1`ct vro/1qy4cmxbg+
fcx w) <,w+ x) <,xSymetria względem osi OX
#Rxldsqh` vyf- nrh #Nw
"af
#otmjs #`) <1w)+ x)?
idsr naq`ydl otmjst
#`<1w+ x? v rxldsqhh
vyfk4cdl nrh #nw+ fcx
w) <w+ x) <,xSymetria względem osi OY
#Rxldsqh` vyf- nrh #NX
#otmjs #`) <1w)+ x)?
idsr naq`ydl otmjst
#`<1w+ x? v rxldsqhh
vyfk4cdl nrh #nx+ fcx
w) <,w+ x) <xTranslacja (przesunięcie równoległe)
#Sq`mrk`bi`
#otmjs #`) <1w)+ x)?
idsr naq`ydl otmjst
#`<1w+ x? v sq`mrk`bih
'oqydrtmh4bht
q/vmnkdf1xl( n vdjsnq
"ag
t<Z`+ a\+ fcx
w)<w*`+ x)<x*aJednokładność
#Idcmnj1`cmn82
#otmjs #`) <1w)+ x)?
idsr naq`ydl otmjst
#`<1w+ x? v
idcmnj1`cmn8bh n 8qncjt
v otmjbhd #n<1"i+ "i? h
rj`kh r 1r)<"i?+ fcx
w) <rw+ x) <rxRównanie okręgu
#q/vm`mhd njq4ft n
8qncjt v otmjbhd
#r<1&`+&a? h oqnlhdmht
qN+"i
1w,&`?/: *1x,&a?/:<q/:
kta w/: *x/:,"A&`w ,
"a&ax *&b <"i+ fcyhd
"ah
q/:<&`/:*&a/:,&bN+"iPlanimetria
#ok`mhldsqh`
#b
&a
#`
;`
;f
&`
;a
#a
&b
#nym`bydmh`9
&`+a+b , c1tfn8bh anj/v
sq/ij0s`
"ao<&`*&a*&b 9 nav/c
sq/ij0s`
g0` g0a g0b , vxrnjn8bh
notrybynmd y
vhdqybgn1j/v #`+#a+#b
;`+;a+;f
, lh`qx j0s/v
"bi
oqyx vhdqybgn1j`bg
#`+#a+#b
#q+ &q , oqnlhdmhd
njq4f/v nohr`mdfn h
vohr`mdfn
Wzory na pole trójkąta
#vynqx m` onkd sq/ij0s`
#o <"`:-&`-g0`<
<"`:-&a-g0a<
<"`:-&b-g0b
#o <"`:-&`-a-5r;f <
<&`/:5r;a5r;f7"a5r;` <
<"a-#q/:-5r;`-5r;a-5r;f
#o<&`ab7"c#q
#o<q-o
Wzór Herona
#vy/q #gdqnm`9
#o<2o1o,&`?1o,&a?1o,&b?
"b`
Twierdzenie sinusów
#svhdqcydmhd rhmtr/v9
&`75r;`<&a75r;a<&b75r;f
<"a-#q
Twierdzenie cosinusów
#svhdqcydmhd bnrhmtr/v9
&`/:<&a/:*&b/:,"a&ab5b;`
&a/:<&`/:*&b/:,"a&`b5b;a
&b/:<&`/:*&a/:,"a&`a5b;f
Twierdzenie Pitagorasa
#Svhdqcydmhd #Ohs`fnq`r`
#id%dkh ;f<"hi(+ sn9
&`/:*&a/:<&b/:
"ba
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
#yvh0yjh lh`qhvd v
sq/ij0bhd oqnrsnj0smxl
#b
&a
;f
&`
&g
#`
;`
.
&b
;a
#a
#c
g sn vxrnjn82 sq/ij0s`
oqnrsnj0smdfn+ js/q`
cyhdkh idfn
oqydbhvoqnrsnj0sm0 m`
cv` ncbhmjh n c1tf8bh o
h p+ sn g/:<o-p&`<&b-5r;` <&b-5b;a
&`<&a-5s;` <&a-57;a
#q<"`:&b
"bb
Twierdzenie Talesa
#svhdqcydmhd #s`kdr`
&l
&j
#n
#`
#a
&k #b
#`) #a)
#b)
#oqnrsd #`#`) #a#a)+
#b#b) r0 o`q`lh
q/vmnkdf1d vsdcx h
sxkjn vsdcx+ fcx
y`bgncyh q/vmn82
K#n#`^7k#n#`)^<
< K#n#a^7k#N#a)^<
< K#n#b^7k#N#b)^
"bc
Czworokąty
#Byvnqnj0sx
Trapez
#sq`ody
#byvnqnj0s+ js/qx l` bn
m`ilmhdi
idcm0
o`q4
anj/v q/vmnkdf1xbg#C
&a
#B
&g
#@
#D
#A
&`
#vy/q m` onkd sq`odyt9
#o<1&`*&a?&g7"a
"bd
Równoległobok
#q/vmnkdf1nanj
#byvnqnj0s+ js/qx l`
cvhd o`qx anj/v
q/vmnkdf1xbg#B
#C
&g
#@
&a
;e
;`
&`
#A
#vynqx m` onkd
q/vmnkdf1nanjt9
#O<&`-&g
#o<&`-&a-5r;`
c0+ h c0: oqydj0smd
q/vmnkdf1nanjt
;e j0s lh4cyx mhlh
#o<c0+-c0:-5r;e7"a
"be
Romb
#byvnqnj0s+ js/qx l`
cvhd o`qx anj/v
q/vmnkdf1xbg idcm`jnvdi
c1tfn8bh#C
;`
#@
#B
&g
&`
#A
#vynqx m` onkd qnlat
#O<&`-&g
#o<&`/:-5r;`
c0+ h c0: oqydj0smd
qnlat
#o<c0+-c0:7"a
"bf
Deltoid
#cdksnhc
#byvnqnj0s+ js/qx l` n8
rxldsqhh+ y`vhdq`i0b0
idcm0 y oqydj0smxbg#Oqydj0smd r0 ncbhmj`lh
oqnrsno`c1xlh#C
#@
#B
#A
#vy/q m` onkd cdksnhct
#fcx oqydy c0+ h c0:
nym`byxlx oqydj0smd
cdksnhct sn
#o<c0+-c0:7"a
"bg
Koło
#jn1n
#o<;oq/:
#k,nav/c jn1`
#k<"a;oq
Wycinek koła
#vxbhmdj
jn1`
#vy/q m`
onkd vxbhmj`
jn1` n
oqnlhdmht q
h j0bhd
8qncjnvxl ;`
#o<;o-q/:-;`7"bei(
#c1tfn82 1tjt vxbhmj`
k<"a;oq-;`7"bei(
"bh
Kąty w okręgu
#j0sx v njq4ft
#Lh`q` j0s` vohr`mdfn
v njq0f idrs q/vm`
on1nvhd lh`qx j0s`
8qncjnvdfn no`qsdfn
m` sxl r`lxl 1tjt;`
#n
;a
;`
#a
#`
;A<"a;`
#lh`qx j0s/v vohr`mxbg
v njq0f+ no`qsxbg m`
sxbg r`lxl 1tjt r0
q/vmd"ci
Okrąg opisany na czworokącie
#Njq0f nohr`mx m`
byvnqnj0bhd
#m` #Byvnqnj0bhd ln%m`
nohr`2 njq0f+ vsdcx h
sxkjn vsdcx+ fcx rtlx
lh`q idfn
oqydbhvkdf1xbg j0s/v
vdvm4sqymxbg r0 q/vmd
"`gi(+
;`*;f<;a*;c<"`gi(
Okrąg wpisany w czworokąt
#Njq0f vohr`mx v
byvnqnj0s
#v byvnqnj`s vxotj1x
ln%m` vohr`2 njq0f
vsdcx h sxkjn vsdcx+
fcx rtlx c1tfn8bh idfn
"c`
oqydbhvkdf1xbg anj/v r0
q/vmd+
`*b<a*cStereometria
#rsdqdnlhdsqh`
#nym`bydmh`9
#o onkd onvhdqybgmh
b`jnvhsdi
#o0o onkd oncrs`vx
#o0a onkd onvhdqybgmh
anbymdi
#u nai4sn82
Prostopadłościan
#oqnrsno`c1n8bh`m
&`+a+b ,c1tfn8bh
jq`v4cyh
#o<"a1&`a *&ab*&`b?
#u<`-a-b
"ca
Graniastosłup prosty
#fq`mh`rsnr1to oqnrsx
"ao,c1tfn82 navnct
oncrs`vx
g,c1tfn82 vxrnjn8bh
#o0a <"ao -g
#o<"a-#o0o *#o0a
#u<#o0o-g
Ostrosłup
#nrsqnr1to
#o<#o0o *#o0a
#u<"`9-#o0o-g
Walec
#v`kdb
q oqnlhd3 oncrs`vx
g vxrnjn82
#o0a<"a;o-q-g
#o<"a;o-q1q *g?
#u<;o-q/:-g
"cb
Stożek
#rsn%dj
q, oqnlhdmh` oncrs`vx
g, vxrnjn82
k, svnqy0b`
#o0a<;o-q-k
#o<;o-q1q *k?
#u<"`9-;o-q/:-g
Kula
#jtk`
q, oqnlhd3 jtkh
#o<"c-;o-q/:
#u<"c9-;o-q/9
"cc
Trygonometria
Definicje funkcji trygonometrycznych
#cdehmhbid etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
x
#l<1w+x?
&q
&x
;`
#N
&w
#l)
w
#l<1w+x? ,cnvnkmx otmjs
kd%0bx m` jn3bnvxl
q`lhdmht j0s`
rjhdqnv`mdfn ;`
q<2w/"a*x/"a
5r;`<x7q
5b;`<w7q
5s;`<x7w+ w)<"i
57;`<w7x+ x)<"i
"cd
Wartości funkcji trygonometrycznych , gdy α ∈ 〈 0,2π 〉
#v`qsn8bh etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
fcyhd ;`!dZ"i+"a;o\
* etmjbi` oqyxiltid
v`qsn8bh cnc`smhd+
, etmjbi` oqyxiltid
v`qsn8bh tidlmd#nym`bydmh` cnc`sjnvd
1"`? sn 1"i+;o7"a?
1"a? sn 1;o7"a+;o?
1"b? sn 1;o+"b;o7"a?
1"c? sn 1"b;o7"a+"a;o?
mh , mhd hrsmhdid
"ce
#s`adk`
;`
5r;` 5b;` 5s;` 57;`
"i(
"i
"`
"i
mh
;o7"a " `
"i
mh
"i
;o
"i
,"`
"i
mh
"b:;o ,"`
"i
mh
"i
"a;o
"i
"`
"i
mh
"cf
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
#yvh0yjh lh4cyx
etmjbi`lh
sqxfnmnldsqxbymxlh sdfn
r`ldfn j0s`
5r/:;`*5b/:;`<"`
5s;`<5r;`75b;`
ck`;`)<;o7"a *j;o+
j b`1jnvhsd
57;`<5b;`75r;` ck`
;`)<j;o+ j b`1jnvhsd
57;`<"`75s;` ck`
;`)<j;o7"a j b`1jnvhsd
"cg
Wartości funkcji trygonometrycznych (30º, 45º, 60º)
#v`qsn8bh etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
;`(
;`
5r;`
5b;`
5s;`
57;`
"bi(
"cd(
"ei(
;O7"e ;o7"c
;o7"b
"`:
2"a7"a 2"b7"a
2"b7"a 2"a7"a "`:
2"b7"b
"`
2"b
2"b
"`
2"b7"b
Wzory redukcyjne
#vynqx qdctjbximd
;e
5r;e 5b;e 5s;e 57;e
;e <,;`
,5r;` 5b;` ,5s;` ,57;`
;e <;`
5r;` 5b;`
5s;` 57;`
;e <;O,;`
5r;` ,5b;`,5s;`,57;`
"ch
;e <;O*;`
,5r;` ,5b;` ,5s;` ,57;`
;e <;O7"a,;`
5b;` 5r;` 57;` 5s;`
;e <;O7"a*;`
5b;` ,5r;` ,57;` ,5s;`
;e <"b;o7"a,;`
,5b;` ,5r;` 57;` 5s;`
;e <"b;o7"a*;`
,5b;` 5r;` ,57;` ,5s;`
;e <"a;o,;`
,5r;` 5b;` ,5s;` ,57;`
Funkcje sumy i różnicy kątów
#etmjbid rtlx h q/%mhbx
j0s/v
#ck` cnvnkmxbg j0s/v
;` h ;a
5r1;`*;a? < 5r;`5b;a*
*5b;`5r;a
"di
5r1;`,;a? < 5r;`5b;a,
,5b;`5r;a
5b1;`*;a? < 5b;`5b;a,
,5r;`5r;a
5b1;`,;a? < 5b;`5b;a*
*5r;`5r;a
5s1;`*;a?<
<5s;`*5s;a7"`,5s;`5s;a
5s1;`,;a?<
<5s;`,5s;a7"`*5s;`5s;a
571;`*;a?<
<57;`57;a,"` 757;`*57;a
571;`,;a?<
<57;`57;a*"` 757;a,57;`
js/qd y`bgncy0 y`vryd+
fcx r0 njqd8knmd h
lh`mnvmhj oq`vdi rsqnmx
mhd idrs ydqdl"d`
Funkcje podwojonego kąta
#etmjbid oncvninmnmdfn
j0s`
#ck` cnvnkmdfn j0s` ;`
5r"a;`<"a5r;`5b;`
5b"a;`<5b/:;`,5r/:;`<
<"a5b/:;`,"`
<"`,"a5r/:;`
#id%dkh ;`)<;o7"a *j;o
j!d#b sn
5r"a;`<"a5s;`7"`*5s/:;`
5b"a;`<
<"`,5s/:;`7"`_*5s/:;`
#id%dkh ;`)<;o7"a *j;o+
j!d#b h "`,5s/:;`)<"i
5s/"a;`<
<"a5s;`7"`,5s/:;`
#id%dkh ;`)<;o7"a*
*j;o7"a j!d#b h 7;`)<"i
"da
57"a;`<57/:;`,"`7"a57;`
Funkcje kąta potrojonego
#etmjbid onsqninmdfn
cnvnkmdfn j0s`;`
5r"b;`<
<5r;`1"b5b/:;`,5r/:;`?<
<5r;`1"b,"c5r/:;`?
5b"b;`<
<5b;`15b/:;`,"b5r/:;`?<
<5b;`1"c5b/:;`,"b?
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
#rtlx h q/%mhbd etmbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
5r;` *5r;a<
<"a5r1;@*;a7"a?5b1;@,
,;a7"a?
5r;` ,5r;a<
<"a5r1;@,;a7"a?5b1;@*
*;a7"a?
"db
5b;` *5b;a<
<"a5b1;@*;a7"a?5b1;@,
,;a7"a?
5b;` ,5b;a<
<,"a5r1;@*;a7"a?5r1;@,
,;a7"a?
Kombinatoryka
#jnlahm`snqxj`
Permutacje
#odqlts`bid
#Khbya ronrna/v #o0m v
i`jh m n<"` dkdldms/v
ln%m` trs`vh2 v bh0f
vxmnrh
#o0m <m5-
"dc
Kombinacje
#jnlahm`bid
#khbya` ronrna/v #b0m{j
v i`jh y m dkdldms/v
ln%m` vxaq`2 jdkdldms/v
"i8< j8< m idrs q/vm`
#b0m{j <1m:7j?Wariacje bez powtórzeń
#v`qh`bid ady onvs/qyd3
#Khby` ronrna/v U0m{j+
v i`jh y m dkdldms/v
ln%m` tsvnqyx2 bh0f
rj1`c`i0bx rh4 y j
q/%mxbg vxq`y/v idrs
q/vm`
#u0m{j <m571m,j?5-
"dd
Wariacje z powtórzeniami
#v`qh`bid y
onvs/qydmh`lh
#Khbya` ronrna/v V0m{j+
v i`jh y m dkdldms/v
l`%m` tsvnqyx2 bh0f
rj1`c`i0bx rh4 y j
mhdjnmdbymhd q/%mxbg
vxq`y/v idrs q/vm`
#v0m{j <m/jRachunek prawdopodobieństwa
#Q@BGTMDJ
#OQ@VCNONCNAHD3RSV@
Klasyczna definicja
#Jk`rxbym` cdehmhbi`
oq`vcnoncnahd3rsv`
#Id%dkh ^n idrs
rjn3bynmxl yahnqdl
"de
vryxrsjhbg yc`qyd3
dkdldms`qmxbg
q/vmnoq`vcnoncnamxbg
h #`1-^n sn khbya4
#o1#`?<l1#`?7l1^n?<
<_k#`^7_k^n^
m`yxv`lx
oq`vcnoncnahd3rsvdl
yc`qydmh` #` fcyhd
l1#`? k#`^ khbya`
vryxrsjhbg dkdldms/v
yahnqt #`
l1^n? k^n^ khbya`
vryxrsjhbg dkdldms/v
yahnqt ^n-
"df
Własności prawdopodobieństwa
#V1`rmn8bh
oq`vcnoncnahd3rsv`
"i8<#o1#`?8<"`
ck`
j`%cdfn #`1-^n
#o1)#n?<"i fcyhd )#n
nym`by` yc`qydmhd
mhdln%khvd
#o1^n?<"`
#o1#`?<8#o1#a?
ck`#`1-#a
#o1#`{h?<"`,#o1#`?
fcyhd #`{h nym`by`
yc`qydmhd oqydbhvmd cn
#`1-^n
#Id%dkh #`1-^n
h
#a1-^n sn
oq`vcnoncnahd3rsvn rtlx
yc`qyd3 #` h #a
"dg
#o1#` 2-#a?<#o1#`?
*#o1#a?,#o1#` /-#a?
#o1#` 2-#a?8<#o1#`? *
*#o1#a? ck` #`+#a1-^n
Zdarzenia niezależne
#Yc`qydmh` mhdy`kd%md
#Yc`qydmh` #`1-#n h
#a1-^n r0 mhdy`kd%mxlh
fcx
#o1#`/-#a?<
<#o1#`?-#o1#a?
Prawdopodobieństwo warunkowe
#Oq`vcnoncnahd3rsvn
v`qtmjnvd
Oq`vcnoncnahd3rsvdl
v`qtmjnvxl #o1#`^#a?
yc`qydmh` #` onc
v`qtmjhdl+ %d y`ry1n
"dh
yc`qydmhd #a+ m`yxv`lx
khbya4
#o1#`^#a?<
<#o1#`2-#a?7#o1#a?+ fcx
#`+#a1-^n #o1#a?n+"iTwierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
#Svhdqcydmhd n
oq`vcnoncnahd3rsvhd
b`1jnvhsxl
#Id%dkh yc`qydmh`
#a0++#a0:+---#a0m1-^n
rod1mh`i0 v`qtmjh
"`- #a0h /-#a0i <)#n
ck` &h)<&i nq`y
&h+i_d8"`+"a+---mn
"a-#a0+ 2-#a0:2
2---#a0m <^n
"b-#o1#a0&h? n+"i ck`
&h_d8"`+"a+---mn
"ei
sn ck` j`%cdfn
yc`qydmh` #`1-^n
y`bgncyh vy/q9
#o1#`? <#o1#`^#a0+? #o1#a0+? *#o1#`^#a0:?
-#o1#a0:? *---*
*#o1#`^#a0m?-#o1#a0m?Twierdzenie Bernoullego
#Svhdqcydmhd
#Adqmntkkdfn
#Oq`vcnoncnahd3rsvn
#O0#m1j? tyxrj`mh`
cnj1`cmhd j rtjbdr/v
1"i 8<j8<#m? v
rbgdl`bhd #m oq/a
#Adqmntkkdfn vxq`%` rh4
vynqdl9
#o0#m1j?<
<1{#m0j?-o/j-p/#m ,j
"ei
fcyhd9 o n+"i +p n+"i
h o *p <"`
o , oq`vcnoncnahd3rsvn
rtjbdrt v onidcxmbydi
oq/ahd+
p , oq`vcnoncnahd3rsvn
onq`%jh v onidcxmbydi
oq/ahdParametry danych statystycznych
#O`q`ldsqx c`mxbg
rs`sxrsxbymxbg
Średnia arytmetyczna
#8qdcmh` `qxsldsxbym`
&m khbya &`0++ &`0:
&`09+---`0m idrs q/vm`
&`#9 <&`0+ *&`0:*
*---&`0m7&m
"e`
Średnia ważona
#8qdcmh` v`%nm` l0m
khbya &`0++&`0:+&`09+
--- &`0m+ js/qxl
oqyxohr`mn nconvhdcmhn
cnc`smhd v`fh
&v0++
&v0:+---+&v0m idrs
q/vm`
l0m<v0+&`0+*v0:&`0:
*---*v0m&`0m7v0+*v0:*--*v0m
Średnia geometryczna
#8qdcmh` fdnldsqxbym`
l0f cnc`smhbg khbya
&`0++&`0:+---&`0m idrs
q/vm`
l0f <{m21&`0+-&`0:---&`0m?
"ea
Średnia harmoniczna
#8qdcmh` g`qlnmhbym`
l0g cnc`smhbg khbya
&`0++&`0:+---&`0m idrs
q/vm`
l0g <m71"`7&`0+*
*"`7&`0:*---*"`7&`0m?
Mediana
#Ldch`m` 1#l?0m
&m tonqy0cjnv`mxbg
mhdl`kdi0bn c`mxbg
&`0+8<&`0:8<---8<&`0m
idrs q/vm`
#l <&`01m_*"`7"a?
m idrs khbya0
mhdo`qyxrs0
#l <"`:1&`0m7"a*
*&`0m*"a7"a?+ m idrs
khbya0 o`qyxrs0
"eb
Wariancja
#V`qh`mbi` ;r/"a y m
tonqy0cjnv`mxbg c`mxbg
&`0++ &`0:+---&`0m
idrs q/vm`
:r/: <1&`0+,#9`?/: *
*1&`0: ,#9`?/:*
*---*1&`0m,#9`?/:7m
Odchylenie standardowe
#Ncbgxkdmhd rs`mc`qcnvd
:r y m tonqy0cjnv`mxbg
c`mxbg &`0++ &`0:+--&`0m idrs q/vm`
:r <2:r/:
"ec
TABLICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
#s`akhbd etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
rhm;`
bnr;`
;`
"i(
"i+iiii
"`-iiii
"`(
"i+i`fd
"i+hhhi
"a(
"i+ibch
"i-hhhc
"b(
"i+idab
"i+hhge
"c(
"i-iehg
"i+hhfe
"d(
"i+igfa
"i+hhea
"e(
"i+`icd
"i+hhcd
"f(
"i+`a`h
"i+hhad
"g(
"i-`bha
"i+hhib
"h(
"i+`dec
"i+hgff
"`i(
"``(
"`a(
"`b(
"`c(
"`d(
"`e(
"`f(
"`g(
"`h(
"i-`fbe
"i+`hig
"i+aifh
"i+aadi
"i-ac`h
"i+adgg
"i+afde
"i+ahac
"i-bihi
"i+bade
"i+hgcg
"i+hg`e
"i+hfg`
"i+hfcc
"i+hfib
"i+hedh
"i+he`b
"i+hdeb
"i+hd``
"i+hcdd
"ed
"ai(
"a`(
"aa(
"ab(
"ac(
"ad(
"ae(
"af(
"ag(
"ah(
"i+bcai
"i+bdgc
"i+bfce
"i-bhif
"i+cief
"i+caae
"i+cbgc
"i+cdci
"i+cehd
"i+cgcg
"i+hbhf
"i+hbbe
"i+hafa
"i+haid
"i+h`bd
"i+hieb
"i+ghgg
"i+gh`i
"i+ggah
"i+gfce
"bi(
"b`(
"ba(
"bb(
"bc(
"bd(
"be(
"bf(
"bg(
"bh(
"i-diii
"i+d`di
"i+dahh
"i+dcce
"i+ddha
"i+dfbe
"i+dgfg
"i+ei`g
"i+e`df
"i+eahb
"i+geei
"i+gdfa
"i+gcgi
"i+gbgf
"i+gahi
"i+g`ha
"i+gihi
"i+fhge
"i+fggi
"i+fff`
"ed
"ci(
"c`(
"ca(
"cb(
"cc(
"cd(
"ce(
"cf(
"cg(
"ch(
"i+ecag
"i+ede`
"i+eeh`
"i+egai
"i+ehcf
"i+fif`
"i+f`hb
"i+fb`c
"i+fcb`
"i+fdcf
"i+feei
"i+fdcf
"i+fcb`
"i+fb`c
"i+f`hb
"i+fif`
"i+ehcf
"i+egai
"i+eeh`
"i+ede`
"di(
"d`(
"da(
"db(
"dc(
"dd(
"de(
"df(
"dg(
"dh(
"i+feei
"i+fff`
"i+fggi
"i+fhge
"i+gihi
"i+g`ha
"i+gahi
"i+gbgf
"i+gcgi
"i+gdfa
"i+ecag
"i+eahb
"i+e`df
"i+ei`g
"i+dgfg
"i+dfbe
"i+ddha
"i+dcce
"i+dahh
"i+d`di
"ee
"ei(
"e`(
"ea(
"eb(
"ec(
"ed(
"ee(
"ef(
"eg(
"eh(
"i+geei
"i+gfce
"i+ggah
"i+gh`i
"i+ghgg
"i+hieb
"i+h`bd
"i+haid
"i+hafa
"i+hbbe
"i+diii
"i+cgcg
"i+cehd
"i+cdci
"i+cbgc
"i+caae
"i+cief
"i+bhif
"i+bfce
"i+bdgc
"fi(
"f`(
"fa(
"fb(
"fc(
"fd(
"fe(
"ff(
"fg(
"fh(
"i+hbhf
"i+hcdd
"i+hd``
"i+hdeb
"i+he`b
"i+hedh
"i+hfib
"i+hfcc
"i+hfg`
"i+hg`e
"i+bcai
"i+bade
"i+bihi
"i+ahac
"i+afde
"i+adgg
"i+ac`h
"i+aadi
"i+aifh
"i+`hig
"ef
"gi(
"g`(
"fa(
"gb(
"fc(
"gd(
"ge(
"gf(
"gg(
"gh(
"i+hgcg
"i+hgff
"i+hhib
"i+hhad
"i+hhcd
"i+hhea
"i+hhfe
"i+hhge
"i+hhhc
"i+hhhg
"i+`fbe
"i+`dec
"i+`bha
"i+`a`h
"i+`icd
"i+igfa
"i+iehg
"i+idab
"i+ibch
"i+i`fd
"hi(
"`-iiii
"i+iiii
"eg
#s`akhbd etmjbih
sqxfnmnldsqxbymxbg
;`
"i(
"`(
"a(
"b(
"c(
"d(
"e(
"f(
"G(
"h(
sf;`
"I+iiii
"I+i`fd
"i+ibch
"i+idac
"i+iehh
"i+igfd
"i+`id`
"i+`aag
"i+`cid
"i+`dgc
bsf;`
9999
"df+ahi
"ag+ebe
"`h+ig`
"`c+bi`
"``+cbi
"h-d`cc
"g+`ccb
"f+``dc
"e+b`bg
"`i(
"``(
"`a(
"`b(
"`c(
"`d(
"`e(
"`f(
"`g(
"`h(
"i+`feb
"i+`hcc
"i+a`ae
"i+abih
"i+achb
"i+aefh
"i+agef
"i+bidf
"i+bach
"i+bccb
"d+ef`b
"d+`cce
"c+fnce
"c-bb`d
"c+i`ig
"b+fba`
"b+cgfc
"b+afih
"b+ifff
"a+hica
"eh
;`
"ai(
"a`(
"Aa(
"ab(
"ac(
"ad(
"ae(
"af(
"ag(
"ah(
5s
"i+beci
"i+bgbh
"i+cici
"i+cacd
"i+ccda
"i+ceeb
"i+cgff
"i+dihd
"i+db`f
"i+ddcb
57
"a+fcfd
"a+eid`
"a+cfd`
"a+bddh
"a+acei
"a+`ccd
"a+idib
"`+heae
"`+ggif
"`+gici
"bi(
"b`(
"ba(
"bb(
"bc(
"bd(
"be(
"bf(
"bg(
"bh(
"i+dffc
"i+eiih
"i+each
"i+echc
"i+efcd
"i+fiia
"i+faed
"i+fdbe
"i+fg`b
"i+gihg
"`+fba`
"`+eecb
"`+eiib
"`+dbhh
"`+cgae
"`+cag`
"`+bfec
"`+bafi
"`+afhh
"`+abch
"fi
;`
"ci(
"c`(
"ca(
"cb(
"cc(
"cd(
"ce(
"cf(
"cg(
"cH(
5s
"i+gbh`
"i+gehb
"i+hiic
"i+hbad
"i+hedf
"`+iiii
"`+ibdd
"`+ifac
"`+``ie
"`+`dic
57
"`+`h`g
"`+`dic
"`+``ie
"`+ifac
"`+ibdd
"`+iiii
"i+hedf
"i+hbad
"i+hiic
"i+gehb
"di(
"d`(
"da(
"db(
"dc(
"dd(
"de(
"df(
"dg(
"dh(
"`+`h`g
"`+abch
"`+afhh
"`+bafi
"`+bfec
"`+cag`
"`+cgae
"`-dbhh
"`+eiib
"`+eecb
"i+gbh`
"i+gihg
"i+fg`b
"i+fdbe
"i+faed
"i+fiia
"i+efcd
"i+echc
"i+each
"i+eiih
"f`
;`
"ei(
"e`(
"ea(
"eb(
"ec(
"ed(
"ee(
"ef(
"eg(
"eh(
5s
"`+fba`
"`+gici
"`+ggif
"`+heae
"a+idib
"a+`ccd
"a+acei
"a+bddh
"a+cfd`
"a+eid`
57
"i+dffc
"i+ddcb
"i+db`f
"i+dihd
"i+cgff
"i+ceeb
"i+ccda
"i+cacd
"i+cici
"i+bgbh
"fi(
"f`(
"fa(
"fb(
"Fc(
"fD(
"fE(
"ff(
"Fg(
"fh(
"a+fcfd
"a+hica
"b+ifff
"b+afih
"b+cgfc
"b+fba`
"c+i`ig
"c-bb`d
"c+fice
"d+`cce
"i+beci
"i+bccb
"i+bach
"i+bidf
"i+agef
"i+aefh
"i+achb
"i+abih
"i+a`ae
"i+`hcc
"fa
;`
"gi(
"g`(
"ga(
"gb(
"gc(
"gd(
"gE(
"gf(
"gg(
"gh(
5s
"d+ef`b
"e+b`bg
"f+``dc
"g+`ccb
"h+d`cc
"``+cbi`
"`c+biif
"`h+ig``
"ag+ebeb
"df+ahii
57
"i+`feb
"i+`dgc
"i+`cid
"i+`aag
"i+`id`
"i+igfd
"i+iehh
"i+idac
"i+ibch
"i+i`fd
"hI(
9999999
"i+iiii
"fb
X < 5rw
x
"`
,;o
;o
,"`
"a;o
w
"fc
X < 5bw
x
"`
,;o
;o
,"`
"a;o
w
"fd
,;o
,"`
X < 5sw
x
;o
"a;o
w
"fe
X < 57w
x
,;o
,"`
;o
"a;o
w
"ff