Arkusz ćwiczeń z analizy zespolonej

1 Liczby zespolone
‚wiczenie 1.
Niech z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 . Wtedy
x1
x2
‚wiczenie 2.
y1 z1 z2 − z1 z2
=
.
y2 2i
Wykaza¢, »e dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 , z3 liczba
1
D = i z1
z1
1
z2
z2
1 z3 z3 jest rzeczywista.
Przypomnijmy, »e je±li V, W s¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K, to
odwzorowanie T : V → W nazywamy K-liniowym (lub liniowym, gdy wiadomo
o jakie ciaªo K chodzi), gdy
1. T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) dla dowolnych v1 , v2 ∈ V ,
2. T (av) = aT (v) dla dowolnych a ∈ K, v ∈ V .
‚wiczenie 3.
Wykaza¢, »e
1. odwzorowanie C 3 z 7→ z jest R-liniowe, ale nie jest C-liniowe,
2. T : C → C jest odwzorowaniem R-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnego z ∈ C mamy
T (z) = λz + µz,
gdzie λ = (T (1) − iT (i))/2, µ = (T (1) + iT (i))/2,
3. T : C → C jest odwzorowaniem C-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest
odwzorowaniem R-liniowym i µ = 0.
‚wiczenie 4.
Niech
a
A=
c
b
d
b¦dzie macierz¡ o wyrazach rzeczywistych. Macierz A deniuje odwzorowanie
R-liniowe T : C → C dane wzorem
x
T (x + iy) = A
.
y
Wykaza¢, »e T jest odwzorowaniem C-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy a = d,
−b = c.
Niech w, z ∈ C. Kªadziemy
hw, zi := Re wz.
1
‚wiczenie 5.
Wykaza¢, »e
1. liczba hw, zi jest iloczynem skalarnym w i z traktowanych jako wektory w
R2 ,
2. haw, azi = |a|2 hw, zi, a ∈ C,
3. hw, zi = hw, zi,
4. hw, zi2 + hiw, zi2 = |w|2 |z|2 ,
5. |hw, zi| 6 |w||z| (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza),
6. |w + z|2 = |w|2 + |z|2 + 2hw, zi,
7. |w + z| 6 |w| + |z|, (nierówno±¢ trójk¡ta).
Sprawdzi¢, kiedy w nierówno±ciach 5 i 7 zachodzi równo±¢.
‚wiczenie 6.
Je±li w, z ∈ C, |w|, |z| < 1, to
w−z
(a) 1 − wz
‚wiczenie 7.
<1
(b)
w−z |w| − |z|
6
1 − |w||z|
1 − wz
Niech a, b ∈ C. Wykaza¢, »e równanie kwadratowe
z 2 + az + b = 0
posiada rozwi¡zanie w C.
Wykaza¢, »e liczba (1+i)4m jest rzeczywista, a liczba (1+i)4m+2
jest czysto urojona.
‚wiczenie 8.
‚wiczenie 9.
Je±li ϕ ∈ R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z}, to dla m ∈ Z,
1 + i tan ϕ m
1 − i tan ϕ
‚wiczenie 10.
=
1 + i tan mϕ
.
1 − i tan mϕ
Korzystaj¡c ze wzoru De Moivre'a wykaza¢ to»samo±ci:
1. sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ,
2. cos 4θ = 8 cos4 θ − 8 cos2 θ + 1,
3. sin 5θ = 5 sin θ − 20 sin3 θ + 16 sin5 θ,
4. sin6 θ + cos6 θ = (3 cos 4θ + 5)/8,
5. z n + z −n = 2 cos nθ, gdzie z = eiθ .
‚wiczenie 11
(Suma cz¦±ciowa szeregu geometrycznego). Je±li z ∈ C \ {1}, to
1 + z + · · · + zn =
2
1 − z n+1
.
1−z
‚wiczenie 12.
Wykaza¢ to»samo±ci
n
X
k=0
n
X
cos kθ
sin kθ
=
1 sin n + 21 θ
+
2
2 sin 21 θ
=
cos n + 21 θ
1
1
cot θ −
2
2
2 sin 12 θ
k=0
gdzie 0 < θ < 2π.
2 Pªaszczyzna domkni¦ta i sfera Riemanna
‚wiczenie 13.
zespolonym:
Wyznaczy¢ punkty na sferze Riemanna odpowiadaj¡ce liczbom
1, i,
‚wiczenie 14.
√
−1 + i
√ , 1 + 3i, . . .
2
Wykaza¢, »e
d(z1 , z2 ) = d(z1 , z2 ) = d
1 1
,
z1 z2
Dwa punkty na sferze nazywamy antypodalnymi, gdy prosta
wyznaczona przez te punkty zawiera ±rednic¦ sfery. Wykaza¢, »e obrazy sferyczne liczb z1 i z2 s¡ antypodalne dokªadnie wtedy, gdy 1 + z1 z2 = 0.
‚wiczenie 15.
Niech B ⊂ C b¦dzie zbiorem ograniczonym. Zaªó»my, »e |z| <
M dla z ∈ B . Wtedy dla z1 , z2 ∈ B , takich »e z1 6= z2 mamy
‚wiczenie 16.
d(z1 , z2 ) < |z1 − z2 | < (1 + M 2 )d(z1 , z2 )
Wykaza¢, »e obraz sferyczny prostej jest okr¦giem na sferze
Riemanna, zawieraj¡cym punkt N = (0, 0, 1) (biegun póªnocny). Odwrotnie,
rzut stereograczny okr¦gu zawieraj¡cego punkt N jest prost¡.
‚wiczenie 17.
Wykaza¢, »e obraz sferyczny okr¦gu jest okr¦giem na sferze
Riemanna, nie zawieraj¡cym N . Odwrotnie, rzut stereograczny okr¦gu nie
przechodz¡cego przez N jest okr¦giem.
‚wiczenie 18.
‚wiczenie 19.
Wykaza¢, »e
Bz + Bz + C = 0,
B ∈ C \ {0}, C ∈ R
jest ogólnym równaniem prostej.
‚wiczenie 20.
Wykaza¢, »e
zz + Bz + Bz + C = 0,
B ∈ C, C ∈ R, |B|2 − C > 0
jest ogólnym równaniem okr¦gu.
3
3 Ci¡gi i szeregi liczbowe
Niech (zn ) b¦dzie ci¡giem liczb zespolonych. Wykaza¢, »e
limn→∞ |zn | = +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g (zn ) zbiega do punktu ∞
‚wiczenie 21.
w metryce sferycznej.
‚wiczenie 22.
Obliczy¢, o ile istniej¡, granice funkcji:
z2
,
z→0 z
(a)
‚wiczenie 23.
(b)
lim
z
.
z→0 z
lim
Wykaza¢, »e
ϕ
ϕ
lim n cos + i sin − 1 = iϕ,
n→∞
n
n
1 π
−
= −1
lim n Arg i +
n→∞
n
2
lim nArg (n + i) = 1
ϕ ∈ R,
n→∞
‚wiczenie 24.
Wykaza¢, »e
z n
lim 1 + = eRe z .
n→∞
n
‚wiczenie 25.
Poªó»my
z
ϕn := Arg 1 +
,
n
n ∈ N.
Liczba ϕn jest dobrze okre±lona gdy z/n 6= −1, a zatem dla prawie wszystkich
n. Wykaza¢, »e limn→∞ nϕn = Im z.
‚wiczenie 26.
Korzystaj¡c z dwóch poprzednich ¢wicze« wykaza¢, »e
lim
n→∞
‚wiczenie 27.
1+
z n
= eRe z (cos Im z + i sin Im z).
n
Wykaza¢, »e szereg
∞
X
zn
n
n=1
(3.1)
jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, gdy |z| < 1, za± rozbie»ny, gdy |z| > 1 lub z = 1.
Stosuj¡c kryterium Dirichleta wykaza¢, »e szereg (3.1) jest
zbie»ny, gdy |z| = 1, z 6= 1.
‚wiczenie 28.
‚wiczenie 29.
(a)
∞
X
in
,
ln n
n=2
Sprawdzi¢ zbie»no±¢ szeregów:
(b)
∞
X
(3 + 4i)n
√ ,
5n n
n=1
(c)
4
∞
X
cos n
,
n
n=1
(d)
∞
X
sin2 n
.
n
n=1
4 Homograa
Wyznaczy¢ poprzez inwersj¦ f (z) = 1/z obrazy nast¦puj¡cych
prostych i okr¦gów:
‚wiczenie 30.
1. y = x + 1
2. y = x
3. x2 + y 2 = r2 , r > 0
4. (x − 1)2 + y 2 = 4
5. (x − 1)2 + y 2 = 1
‚wiczenie 31.
Niech f b¦dzie homogra¡ dan¡ wzorem
f (z) =
z−i
z+i
1. Wykaza¢, »e f przeksztaªca prost¡ y = c, c > 0 na krzyw¡ dan¡ parametrycznie wzorem
R 3 t 7→
t2 + c2 − 1
2it
− 2
+ (c + 1)2
t + (c + 1)2
t2
(4.1)
2. Sprawdzi¢, »e obrazem krzywej (4.1) jest okr¡g
n
z ∈ C : z −
c 1 o
=
c+1
c+1
bez jednego punktu. Wyznaczy¢ ten punkt.
3. Wywnioskowa¢, »e f przeksztaªca górn¡ póªpªaszczyzn¦ H = {z ∈ C :
Im z > 0} na koªo K = {z ∈ C : |z| < 1}.
‚wiczenie 32.
Niech f b¦dzie homogra¡ dan¡ wzorem
g(z) = i
1+z
1−z
1. Wykaza¢, »e g przeksztaªca okr¡g {z ∈ C : |z| = r}, 0 < r < 1 na krzyw¡
dan¡ parametrycznie wzorem
h0, 2πi 3 t 7→
r2
−2r sin t
1 − r2
+i 2
− 2r cos t + 1
r − 2r cos t + 1
(4.2)
2. Sprawdzi¢, »e obrazem krzywej (4.2) jest okr¡g
n
1 + r2 2r o
z ∈ C : z − i
=
1 − r2
1 − r2
3. Wywnioskowa¢, »e g przeksztaªca koªo K = {z ∈ C : |z| < 1} na górn¡
póªpªaszczyzn¦ H = {z ∈ C : Im z > 0}.
4. Sprawdzi¢, »e homograe f i g s¡ wzajemnie odwrotne.
5
5 Funkcja wykªadnicza. Funkcje trygonometryczne.
‚wiczenie 33.
Wykaza¢, »e funkcja exp przeksztaªca:
1. odcinek {x + it : t ∈ (−π, πi}, x ∈ R, na okr¡g {z ∈ C : |z| = ex },
2. prost¡ {t + iy : t ∈ R}, y ∈ R, na póªprost¡ {reiy : r > 0}.
‚wiczenie 34.
Wykaza¢, »e funkcja exp:
1. jest ró»nowarto±ciowa w zbiorze A = {z ∈ C : −π < Im z 6 π},
2. przeksztaªca zbiór A na C \ {0}.
‚wiczenie 35.
Wykaza¢, »e funkcje sin i cos s¡ nieograniczone w C.
Rozwi¡za¢ w C równania sin z = a, cos z = a, gdzie a przyjmuje
kolejno warto±ci −1, 0, 1, i, −i, . . .
‚wiczenie 36.
Przypomnijmy, »e rzeczywiste funkcje hiperboliczne deniujemy wzorami:
sinh x :=
ex − e−x
,
2
cosh x :=
ex + e−x
,
2
x ∈ R.
ez − e−z
,
2
cosh z :=
ez + e−z
,
2
z ∈ C.
Zatem kªad¡c
sinh z :=
(5.1)
otrzymujemy rozszerzenie funkcji hiperbolicznych z prostej rzeczywistej na dziedzin¦ zespolon¡.
‚wiczenie 37.
Niech z = x + iy . Wykaza¢, »e
1. sin iz = i sinh z , cos iz = i cosh z ,
2. Re sin z = sin x cosh y , Im sin z = cos x sinh y ,
3. Re cos z = cos x cosh y , Im cos z = − sin x sinh y ,
4. | sin z|2 = sin2 x + sinh2 y = cosh2 y − cos2 x,
5. | cos z|2 = cos2 x + sinh2 y = cosh2 y − sin2 x.
Wyznaczy¢ wszystkie punkty C, w których funkcja sinus przyjmuje warto±ci rzeczywiste. Analogiczne zadanie dla funkcji cosinus, tangens,
cotangens.
‚wiczenie 38.
‚wiczenie 39.
Funkcja sinus jest ró»nowarto±ciowa w zbiorze A = {z ∈ C :
−π/2 < Re z < π/2}.
Obrazem odcinka Iy = {t + iy : −π/2 6 t 6 π/2}, y ∈ R przez
funkcj¦ sinus jest
‚wiczenie 40.
6
1. przedziaª h−1, 1i, gdy y = 0,
2. póªelipsa
n
Ey = (u, v) ∈ R2 :
o
u2
v2
+
=
1,
v
>
0
,
cosh2 y sinh2 y
n
Ey = (u, v) ∈ R2 :
o
u2
v2
+
=
1,
v
6
0
,
cosh2 y sinh2 y
gdy y > 0,
3. póªelipsa
gdy y < 0.
Obrazem prostej Lx = {x + it : t ∈ R}, −π/2 6 x 6 π/2 przez
funkcj¦ sinus jest
‚wiczenie 41.
1. póªprosta h1, +∞), gdy x = π/2,
2. póªprosta (−∞, −1i, gdy x = −π/2,
3. prosta {it : t ∈ R}, gdy x = 0,
4. gaª¡¹ hiperboli
n
Hx = (u, v) ∈ R2 :
o
v2
u2
−
=
1,
u
<
0
,
sin2 x cos2 x
gdy −π/2 < x < 0,
5. gaª¡¹ hiperboli
n
Hx = (u, v) ∈ R2 :
o
u2
v2
−
=
1,
u
>
0
,
sin2 x cos2 x
gdy 0 < x < π/2.
‚wiczenie 42.
Korzystaj¡c z ¢wiczenia 40 lub 41 wywnioskowa¢, »e
1. sin(A) = C, dla A = {z ∈ C : −π/2 6 Re z 6 π/2},
2. sin(B) = {z ∈ C : Im z 6= 0 ∨ (Im z = 0 ∧ − 1 < Re z < 1)}, dla
B = {z ∈ C : −π/2 < Re z < π/2}.
7
6 Pochodna zespolona i warunki Cauchy'ego-Riemanna
‚wiczenie 43.
Niech
f : C 3 z 7→ λz + µz,
λ, µ ∈ C.
Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
1. f posiada pochodn¡ w pewnym punkcie z0 ∈ C,
2. f posiada pochodn¡ w ka»dym punkcie z ∈ C,
3. µ = 0.
Sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e cz¦±¢ rzeczywista i urojona funkcji
sinus speªnia równania Cauchy'ego-Riemanna. Analogiczne zadanie dla funkcji
cosinus
‚wiczenie 44.
‚wiczenie 45.
ró»niczkowalna:
Wyznaczy¢ punkty, w których dana funkcja f : C → C jest
1. f (x + iy) = x3 y 2 + ix2 y 3 ,
2. f (x + iy) = x4 y 5 + ixy 3 ,
3. f (x + iy) = y 2 sin x + iy ,
4. f (x + iy) = sin2 (x + y) + i cos2 (x + y).
Dla podanych funkcji u : C → R wyznaczy¢ wszystkie funkcje
v : C → R, takie »e u + iv jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w C:
‚wiczenie 46.
1. u(x + iy) = 2x3 − 6xy 2 + x2 − y 2 − y ,
2. u(x + iy) = x2 − y 2 + e−y sin x − ey cos x,
3. u(x + iy) = x2 + y 2 .
‚wiczenie 47.
Sprawdzi¢, »e funkcja
L(z) =
1
y
ln(x2 + y 2 ) + iarctg
2
x
posiada w ka»dym punkcie zbioru C \ {z ∈ C : Re z = 0} pochodn¡ równ¡ 1/z .
8
7 Szeregi pot¦gowe
Wyznaczy¢ promie« i koªo zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów
‚wiczenie 48.
pot¦gowych:
a)
∞
X
∞
X
zn
,
nn
n=1
b)
nn z n ,
n=1
d)
∞
X
∞
X
e)
(ln n)2 z n ,
n=1
g)
j)
∞
X
n! n
z ,
n
n
n=1
∞
X
n!
(z − 1)n ,
n (2n)!
2
n=1
∞
X
c)
n=1
2−n z n ,
f)
n=1
h)
∞
X
(n!)3 n
z ,
(3n)!
n=1
k)
∞
X
2n z n ,
∞
X
n2 z n ,
n=1
i)
∞
X
z 2n
, c ∈ C \ {0},
cn
n=1
(n2 + an )z n , a ∈ C,
l)
n=0
∞
X
(sin n)z n .
n=1
Zaªó»my, »e dla danego szeregu pot¦gowego
r, M > 0, takie »e
|an rn | 6 M, dla n = 0, 1, 2, . . .
‚wiczenie 49.
P∞
n=0
an z n istniej¡
Wykaza¢, »e wtedy ten szereg jest zbie»ny jednostajnie w kole {z ∈ C : |z| < r}.
Wywnioskowa¢ st¡d, »e je±li R jest kresem górnym tych r > 0, dla których
ci¡g
P∞
(|an rn |) jest ograniczony, to R jest promieniem zbie»no±ci szeregu n=0 an z n .
‚wiczenie 50.
Wykaza¢, »e szereg
∞
X
zn
n=0
jest zbie»ny bezwzgl¦dnie i niemal jednostajnie w kole K = {z ∈ C : |z| < 1}
do funkcji
K 3 z 7→
‚wiczenie 51.
1
.
1−z
Udowodni¢ dla k = 0, 1, 2, . . . równo±¢
∞ X
1
n n−k
=
z
,
k+1
(1 − z)
k
z ∈ C, |z| < 1
n=k
‚wiczenie 52.
równo±¢
Wykaza¢, »e dla c ∈ C, d ∈ C \ {c}, k = 0, 1, 2, . . . zachodzi
∞ X
1
1
n z − d n−k
,
=
(c − z)k+1
(c − d)k+1
k
c−d
n=k
9
z ∈ C, |z − d| < |c − d|
‚wiczenie 53.
Wykaza¢, »e promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
X
zn
n2
n=1
jest równy 1 oraz, »e szereg ten jest zbie»ny w domkni¦ciu koªa zbie»no±ci do
funkcji ci¡gªej.
Rozwin¡¢ dane ni»ej funkcje w szereg pot¦gowy lub w szereg
Laurenta o ±rodku w z0 . Wyznaczy¢ promienie, ewentualnie pier±cienie, zbie»no±ci.
‚wiczenie 54.
1. 1/z , z0 2 + 3i;
2. (z + i)/(z − i), z0 = 0, z0 = −i, z0 = i;
3. 1/(z 2 + 1), z0 = x ∈ R, z0 = i;
4. (2z − i)/(z 2 + iz + 2), z0 = 1, z0 = −i;
5. z/(z 2 − (1 + 2i)z − 1 + i), z0 = 0.
8 Caªka krzywoliniowa
‚wiczenie 55.
Naszkicowa¢ podane krzywe dla t ∈ h0, 1i:
1. γ(t) = 1 + it,
2. γ(t) = e−πit ,
3. γ(t) = eπit ,
4. γ(t) = 1 + it + t2 .
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe wzdªu» krzywych danych parametrycznie w ¢wiczeniu 55 z funkcji
‚wiczenie 56.
1. f (z) = z 3 ,
2. f (z) = z ,
3. f (z) = z1 .
Niech Γ b¦dzie dodatnio zorientowanym okr¦giem o ±rodku w
z0 ∈ C i promieniu r > 0. Obliczy¢
ˆ
(z − z0 )k dz
‚wiczenie 57.
Γ
dla k ∈ Z.
10
‚wiczenie 58.
Niech f b¦dzie sum¡ szeregu Laurenta
∞
X
f (z) =
an (z − z0 )n
n=−∞
w pier±cieniu P = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R}. Je±li r < ρ < R i Γ jest dodatnio
zorientowanym okr¦giem o ±rodku w z0 i promieniu ρ, to dla ka»dego k ∈ Z
zachodzi równo±¢
ˆ
1
2πi
ak =
‚wiczenie 59.
Γ
f (z)
dz.
(z − z0 )k+1
Niech x ∈ R \ {0}. Obliczy¢
ˆ
Ix :=
[−i,i]
1
dz.
z−x
Ile wynosz¡ granice limx→0− Ix , limx→0+ Ix ?
‚wiczenie 60.
Niech x > 0. Obliczy¢ caªki
ˆ
−
IR
:=
[−R,R]
1
dz,
z + ix
+
IR
ˆ
:=
[−R,R]
1
dz.
z − ix
Ile wynosz¡ granice limR→+∞ IR− , limR→+∞ IR+ ?
‚wiczenie 61.
Sprawdzi¢, »e
ˆ
eζ dζ = ez − 1,
z ∈ C.
[0,z]
Wywnioskowa¢ st¡d nierówno±¢
|ez − 1| < |z|,
Re z < 0.
9 Twierdzenie i wzór caªkowy Cauchy'ego
Poni»ej przyjmujemy, »e PR jest prostok¡tem normalnym o wierzchoªkach −R, R, R+
iR, −R + iR, R > 1. Kªad¡c
ΓR := [−R, R] + ∆R , ∆R := [R, R + iR, −R + iR, −R],
mamy ΓR = ∂PR .
‚wiczenie 62.
W tym ¢wiczeniu wyka»emy, »e
ˆ
+∞
−∞
cos t
π
dt = .
2
1+t
e
11
(9.1)
1. Niech
eiz
,
1 + z2
f (z) =
Wtedy
z ∈ C \ {−i, i}.
ˆ
f (z)dz =
ΓR
π
.
e
2. Wykaza¢, »e |eiz | 6 1, gdy Im z > 0. Wyprowadzi¢ st¡d, »e
ˆ
lim
f (z)dz = 0.
R→+∞
∆R
3. Wywnioskowa¢ równo±¢ (9.1).
‚wiczenie 63.
Niech a > 0. Wyka»emy, »e
ˆ
+∞
t sin t
dt = πe−a .
t2 + a2
−∞
1. Niech
f (z) =
zeiz
,
+ a2
z ∈ C \ {−ia, ia}.
z2
Wykaza¢, »e je±li R > a, to
(9.2)
ˆ
f (z)dz = iπe−a .
ΓR
2. Stosuj¡c caªkowanie przez cz¦±ci oraz nierówno±¢ z ¢wiczenia 62 punkt 2.
wykaza¢, »e
ˆ
f (z)dz = 0.
lim
R→+∞
∆R
3. Wywnioskowa¢ (9.2), w szczególno±ci zauwa»y¢ zbie»no±¢ caªki.
‚wiczenie 64.
Niech n b¦dzie liczb¡ caªkowit¡ nieujemn¡. Wyka»emy, »e
ˆ
+∞
−∞
dt
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
=
π.
2
n+1
(1 + t )
2 · 4 · 6 · · · (2n)
(9.3)
1. Ró»niczkuj¡c n-krotnie wzór caªkowy Cauchy'ego dla odpowiedniej funkcji
wykaza¢, »e
ˆ
ΓR
dξ
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
=
π.
2
n+1
(1 + ξ )
2 · 4 · 6 · · · (2n)
2. Zauwa»y¢, »e
ˆ
lim
R→+∞
∆R
dξ
=0
(1 + ξ 2 )n+1
a nast¦pnie wywnioskowa¢ (9.3).
‚wiczenie 65.
Wykaza¢, »e
ˆ
+∞
−∞
cos nt
dt = πe−n .
1 + t2
12
10 Punkty osobliwe odosobnione, residua
‚wiczenie 66.
gdy
Wykaza¢, »e f posiada zero k-krotne w z0 , dokªadnie wtedy,
f (z0 ) = f 0 (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0,
‚wiczenie 67.
swoje zera
a)
f (k) (z0 ) 6= 0.
Sprawdzi¢ z jakimi krotno±ciami podane ni»ej funkcje przyjmuj¡
b)
sin z,
c) tg z,
exp z − 1,
d)
cos z − 1.
Niech z0 b¦dzie co najwy»ej k-krotnym biegunem funkcji f .
Niech g(z) = (z − z0 )k f (z). Wykaza¢, »e z0 jest punktem pozornie osobliwym
g oraz
‚wiczenie 68.
1
lim g (k−1) (z).
(k − 1)! z→z0
res z0 f =
Wyznaczy¢ rodzaje osobliwo±ci, residua i rz¦dy (gdy punkt nie
jest istotnie osobliwy) funkcji
‚wiczenie 69.
a)
d)
z2
,
(z 2 − 1)2
z2 − π2
,
sin z
b)
1
,
sin z
1 − cos z
,
sin z
e)
f)
c) tg z,
1
1
−
.
ez − 1 z − 2πi
11 Twierdzenie o residuach i obliczanie caªek
‚wiczenie 70.
Stosuj¡c to»samo±¢ cos t = (eit + e−it )/2 przedstawi¢ caªk¦
ˆ
2π
I :=
0
w postaci
ˆ
−i
Γ
dt
5 + 4 cos t
dz
2z 2 + 5z + 2
Wykaza¢, »e I = 2π/3.
‚wiczenie 71.
Niech a > 1. Wykaza¢, »e
ˆ
2π
dt
2π
=√
,
a + sin t
a2 − 1
0
ˆ 2π
dt
2πa
=
.
3/2
(a + cos t)2
0
(a2 − 1)
13
‚wiczenie 72.
Obliczymy caªk¦
ˆ
∞
I :=
−∞
x2
dx.
1 + x4
Niech ΓR := [−R, R] + CR , gdzie R > 1 a CR jest krzyw¡ o parametryzacji
h0, πi 3 t 7→ exp (it).
1. Kªadziemy
f (z) :=
z2
.
1 + z4
Wykaza¢, »e
ˆ
f (z) dz = 2πi
ΓR
exp (−πi/4) i exp (−πi/4)
−
4
4
2. Zauwa»y¢, »e
ˆ
lim
R→∞
f (z) dz = 0.
CR
√
3. Wywnioskowa¢, »e I = π/ 2.
14
π
=√ .
2