Planimetria Matematyka szkoła śr. Obwód trójkąta prostokątnego

Planimetria
Matematyka szkoła śr.
Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 132, a suma kwadratów boków trójkąta jest równa 6050. Znaleźć boki trójkąta.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
a i b — przyprostokątne trójkąta
c — przeciwprostokątna
Z warunków zadania wynikają dwa równania:
a + b + c = 132
a2 + b2 + c2 = 6050
Z twierdzenia Pitagorasa mamy też:
a 2 + b 2 = c2
czyli:
a 2 + b 2 − c2 = 0
Ostatecznie mamy trzy równania:

+c = 132

 a+b
2
2
a + b +c2 = 6050

 2
a + b2 −c2 =
0
Wykorzystamy równanie drugie i trzecie, trzecie pomnożymy przez −1 i dodamy stronami z drugim, otrzymamy:
a2 + b 2
2
−a − b
2
+c2 =
6050
2
0
6050
+c =
+2c2 =
skąd:
2c2 = 6050 / : 2
c2 = 3025
√
c = 3025
c = 55
i dalej ponieważ:
a + b + c = 132
a + b + 55 = 132
a + b = 132 − 55
a + b = 77
Podnieśmy powyższe równanie do kwadratu:
(a + b)2 = 772
a2 + 2ab + b2 = 5929
ale ponieważ:
a2 + b2 + c2 = 6050
więc:
a2 + b2 = 6050 − 3025
Zadanie pochodzi z portalu z zadaniami z matematyki i fizyki
1
Planimetria
Matematyka szkoła śr.
a2 + b2 = 3025
stąd:
2ab + 3025 = 5929
czyli:
2ab = 5929 − 3025
2ab = 2904
ab = 1452
Czyli mamy teraz:
a + b = 77ab = 1452
Z pierwszego równania wyliczmy:
a = 77 − b
i podstawiamy do drugiego:
(77 − b)b = 1452
77b − b2 = 1452
b2 − 77b + 1452 = 0
∆ = (−77)2 − 4· 1· 1452
∆ = 5929 − 5808
∆ = 121
√
∆ = 11
77 − 11
= 33
x1 =
2· 1
77 + 11
x2 =
= 44
2· 1
Przyprostokątne trójkąta są równe 44 i 33, a przeciwprostokątna 55.
Zadanie pochodzi z portalu z zadaniami z matematyki i fizyki
2