Fulltext PDF

17th SYMPOSIUM
ON
HYDROACOUSTICS
Jurata May 23-26, 2000
THE SOUND POWER OF A SIMPLE-SUPPORTED
CIRCULAR PLATE FOR LOW FREQUENCIE&
MOC PROMIENIOWANIA DŹWIĘKU PRZEZ PŁYTĘ KOŁOWĄ
ZAMOCOWANĄ PRZEGUBOWO W ZAKRESIE NISKICH
CZĘSTOTLIWOŚCI
Witold J. Rdzanekl, Zbigniew Enge12
and Wojciech P. Rdzanek, Jr3
1,3Pedagogical Univ., Dep. of Acoust., 35-310 Rzeszów, ul.Rejtana 16a, Poland
E-mail: [email protected]@atena.univ.rzeszow.pl
2Univ. of Mining and Metallurgy, Dep. of Mech. and Vibroacoust., 30-059 Kraków
Al. Mickiewicza
30, Poland, E-roail: [email protected]
A computation method and the resultant formulas for the active sound
power ofaxisymmetric
free vibrations of a circular plate simply supported by
a planar rigid baffle have been presented in the paper. Processes sinusoidally
varying in time have been considered. It has been assumed that there are
no reflexive influences of the air column over the plate and the baffle on the
plate 's vibmtions. The integml formula for the active sound radiation in the
Hankel's representation of null order has been transformed to a formuła in
an elementary form. This elementary formula contains the Bessel's and the
Struve's functions of null and first orders and is valid for a relatively wide
range of low frequencies.
Wprowadzenie
Drgania własne płyty można rozłożyć w szereg Fouriera przy pomocy analizy modalnej. W tym celu należy obliczyć znormalizowane wartości badanych wielkości odpowiadających kolejnym postaciom drgań własnych. Po znalezieniu współczynników fourierowskich rozwinięcia można wtedy obliczyć wartości całkowite badanych wielkości.
Dobrze znane są wzory całkowe, które umożliwiają obliczenie znormalizowanego ciśnienia i mocy dźwięku kolejnych postaci drgań. Są one jednak czasochłonne, a przez to
lThis work has been realized within the framework of the KBN project no. 7T07B 051 18
226
uciążliwe w obliczeniach inżynierskich. W literaturze podawane są różne metody usprawnienia obliczeń numerycznych, np. Lee i Singh [4] rozwijają w potrójny szereg potęgowy
moc czynną dźwięku promieniowanego przez płytę pierścieniową. Levine i Leppington [6]
moc czynną, a Hdzanek [9] moc bierną płyty kołowej przedstawiają w postaci wzorów
asymptotycznych ze znanym błędem, dla wysokich częstotliwości, tj. k > kn akustyczna
liczba falowa jest większa od strukturalnej liczby falowej. Podobne wzory asymptotyczne dla płyt pierścieniowych umocowanych do odgrody na kilka różnych sposobów podali
Rdzanek i Engel [13, 15, 16, 17], a w [12, 14] dla płyty kołowej podpartej przegubowo.
Analiza teoretyczna mocy dźwięku promieniowanego przez płytę kołową podali Engel
i Stryczniewicz [3]. Czarnecki, Engel i Panuszka [1, 2] opracowali i wykorzystali analityczną metodę powierzchni zastępczych do wyznaczenia mocy promieniowania dźwięku
przez płytę kołową w polu swobodnym i rozproszonym.
Wciąż brak szybkich metod obliczeniowych dla niskich częstotliwości. W pracy przedstawiona zostanie propozycja, przebieg konstrukcji oraz gotowe wzory umożliwiające szybkie obliczenia numeryczne mocy czynnej dźwięku dla płyty kołowej podpartej przegubowo obowiązujące w zakresie niskich częstotliwości, tj. k < kn. Nie musi być natomiast
spełniony warunek ka « 1 co oznacza, że przedstawione wzory obowiązują w znacznie
szerszym zakresie niskich częstotliwości niż w przeciwnym wypadku. Zastosowana w pracy metoda obliczeń została wprowadzona przez Rdzanka [10], przy analizie impedancji
akustycznej promieniowania membrany kołowej pobudzonej do drgań wymuszonych.
1.
Drgania własne płyty kołowej. Analiza modalna
Płyta kołowa podparta jest przegubowo przez płaską i sztywną odgrodę o nieskończonych rozmiarach. Płyta drga swobodnie i promieniuje fale dźwiękowe w górną półprzestrzeń z ~ O wypełnioną bezstratnym gazem. Zakładamy, że drgania są osiowosymetryczne oraz że ośrodek gazowy nie oddziałuje zwrotnie na drgania płyty, a wewnątrz
płyty nie ma tarcia. Analizowane są procesy sinusoidalnie zmienne w czasie, obliczenia
dotyczą więc amplitud analizowanych wielkości.
Wychylenie punktów powierzchni płyty
T/n(r) _ J, (
An -O:En
oraz moment skręcający
~) _ Jo(xn) 1, (
~)
a.lO
a
T(
)O:En
:En
są równe zero, gdy
TJn(a, t)
= O,
r
= a (por.
a2T/n(r, t)
ar2
[
Spełniony jest warunek ograniczenia T/n(O,
pierwiastkami równania częstości
t) <
Leissa [5] lub Morse [8]), tj.
+ !: aT/ner, t)]
r
00.
(1.1)
r E [O,a],
,
ar
= o.
(1.2)
r=a
Wielkości z.,
= kna,
n = 0,1,2, ... są
(1.3)
227
przy czym k~ = Wn
a2j2, gdzie
=
przedstawiono
jest n-tą częstością kątową drgań własnych, M - gęstością
Wn
płyty, Bo = 12 (~~ v2)'
powierzchniową
J~1]~(r)rdr
J M j Bo,
Un
= J1(xn)/
An obliczono z warunku normalizacyjnego
Stałą
Jo(xn)'
Pierwiastki
n równania częstości (1.3)
X
w tab. 1.
Tab. 1. Eigenvalues
Xn
of the frequency equation (1.3).
n
v
0.0
0.1
0.2
0.3
004
0.5
2
5.4188
5.4300
5.4409
5.4516
5.4620
5.4723
1
2.1080
2.1492
2.1869
2.2215
2.2535
2.2831
4
11.7471
11.7517
11.7563
11.7609
11.7654
11.7698
3
8.5920
8.5986
8.6050
8.6114
8.6177
8.6239
5
14.8962
14.8998
14.9034
14.9069
14.9104
14.9139
Przy znanym rozkładzie amplitudy prędkości drgań głównych vn(r)
uśredniona w czasie czynna moc akustyczna promieniowania w reprezentacji
następująca (por. [11, 14])
11n =4{32
11(0<»
X2
n
n
f~{anJo(U)-tJl(U)
ąn
1_
O
_~
4
II
1+
114
~
-iWn'T}n(r)
Hankela jest
Jo(u) }2Sin19d19
1-
114
=
,
(lA)
(1.5)
Całkowanie we wzorze (1.4) można przeprowadzić w przypadku niskich częstotliwości,
tj. k < kn, uzyskując wystarczająco dobrą dokładność po uwzględnieniu rozwinięć
«-rr ~1+2(!;xr,
(!;xfr
(!;x)2rl ~
[1+ e-rr ~1_2(!;x)2
[1-
1
[1-
[1
+
1-
+3
gdzie x = sin 19.
W pierwszym przybliżeniu
(txt + 2 (txf,
(!;xr,
we wzorze (1.4) wyodrębniamy
TInl
~
(2!;)2[a~U(fi) -2an!,;-V({3)],
lIn2
~
-(2
!,;-)2~
(Un
lIn3~ (2t)2(~)2U({3),
(1.6)
wyrażenia
U({3) -!,;- V({3)] ,
(1.7)
228
gdzie
= fj .76(,8sin t) sin t dt,
= sJ JoCBsint)J (,8sint)
U(,8)
V(I')
(1.8)
2
sin tdt
1
oraz
II1.:,) ~ ąn
gdy
u e: k«.
Po podstawieniu
IIn ~ ąn
II~oo)
(rrnl + IIn2 + IIna)
(1.9)
,
wzorów (1.7) do wzoru (1.9) otrzymujemy
(2 .t)2(~
-an) [(~1 - v -an) U(,8)+ 2.tX VeB)].
X
1- v
n
(1.10)
n
Funkcje U i V wyrażamy poprzez funkcje Bessela i Struvego rzędu zerowego i pierwszego
U(,8)
= Jo(2,8) + ~ [J (2,8) 8 (2,8) -
V(,8)
= 2~
1
0
Jo(2,8) 81(2,8)] ,
(1.11)
2.
[U(,8) - Jo(2,8)] .
Zakończenie
Funkcje (1.11), będące wynikami obliczonych całek (1.8), można również wyrazić przy
pomocy szybko zbieżnych szeregów funkcji Bessela nieparzystych rzędów [7]
J
2f3
1
fi1 L.
+00
U(,8) = 2,8 Jo(t) dt =
J2n+l(2,8) ,
o
n=O
1
1
V(,8) = 2,8 [U(,8) - Jo(2,8)] = 2,8
o(2,8)
[-J
(2.1)
1 +00
+ fi ~
hn+l(2,8)] .
Otrzymany wzór (1.10) pozwala na szybkie obliczenia numeryczne czynnej mocy dźwięku promieniowanego przez drgającą swobodnie płytę w zakresie niskich częstotliwości, tj.
««. kn.
Tab. 2. Eigenvalues z-, of the frequency equation of fi clamped circular plate,
n
Xn
O
1
2
3
4
3.1962 6.3064 9.4395 12.5771 15.7164
Możliwe jest również otrzymanie wzorów pozwalających na również szybkie obliczenie
numeryczne mocy czynnej w przypadku szerszego zakresu częstotliwości, tzn. przy mniej
229
3
lIn
II~oo)
2~-----+------~~~~r--T~-+~'-~
4
12
20
8
fi
Rys. 1. The normalizad active power of sound radiation of a simplesupported circular plate for the mo de of vibration (q n) where u 0.3.
=
3,
,
!
IIn
II~oo)
2
l
i·
"'1I
.
1
4
12
20
8
fi
Rys. 2. The normalized active power of sound radiation of a clamped
circuIar plate for the mode of vibration (O,n) where v = 0.3.
rygorystycznym
warunku k
< kn.
W tym przypadku
wszystkie wyrazy rozwinięć (1.6), czyli do wyrazów
należy we wzorze
(L
x
X
n
t
(1.4) uwzględnić
włącznie.
Na rys. 1 przedstawiono charakterystyki częstościowe mocy czynnej promieniowania
dźwięku przez płytę kołową podpartą przegubowo obliczone na podstawie wzoru (1.4).
Na rys. 2 zamieszczono analogiczne charakterystyki, ale dla utwierdzonej płyty kołowej
230
sporządzone na podstawie pracy [9, 14]. W tab. 2 podano kilka przykładowych wartości
własnych dla utwierdzonej płyty kołowej.
Bibliografia
[1] S. Czarnecki, Z. Engel and R. Panuszka, Estimation oj equivalent surfoce aren jor determination
the acoustic power oj a circular plate, Inter-Noise 79, vol. 1, 1979, pp. 67-70.
of
[2] S. Czarnecki, Z. Engel and R. Panuszka, Sound power and reduction efficiency of a circular plate,
Arch. of Acoustics 16 (1981), no. 4, 339--357.
[3] Z. Engel and L. Stryczniewicz, Determination oj sound power mdiated by vibmting plate, Mechanika.
- quarterly at AGH 7 (1988), no. 1-2, 5-19, in polish.
[4] M.-r. Lee and R. Singh, Analytical formulations for annular diak sound radiation using structuml
modes, J. ofthe Acoust. Soc. of Ameńca95 (1994), no. 6, 3311-3323.
[5] A.W. Leissa, Vibmtion oj plaies; NASA, vol. SP-I60, Washington, D.C.: U.S. Government Printing
Office, 1969.
[6] H. Levine and F.G. Leppington, A note on the acoustic power omput oj a circular plate, J. of Sound
and Vibr. 121 (1988), no. 2, 269--275.
[7] N.W. McLachlan, Funkcje Bessela dla inżynierów, PWN, Warszawa 1964.
[8] P.M. Morse, Vibmtion and 80und, The Acoust. Society of America, Through The American Inst.
of Physics, USA 1995.
[9] W.J. Rdzanek, The sound power of a circular plate for high-frequency wave radiatioTl, Arch. of
Acoustics 3 (1983), no. 4,331-340.
[10) W.J. Rdzanek, Acoustical impedance oj a circular membrane vibmting under the influence oj a jarce
with a uniform surface distribution, Arch. of Acoustics 11 (1986), no. 1,39--52.
[11] W.J. Rdzanek, Mutual impedance oj circular plate jor axially-symmetric free vibmtions at high
frequency of mdiating waves, Arch. of Acoustics 17 (1992), no. 3, 439-448, Paper prepared within
the grant CPBP 02.03.
[12] W.P. Rdzanek, Jr, Z. Engel and W.J. Rdzanek, The acoustic power mdiated by a circular plate hanged artiwlately, Collected Papers from the Joint Meeting "Berlin 99", Forum Acusticum,
March 14-19, 1999.
[13J W.P. Rdzanek, Jr, Z. Engel and W.J. Rdzanek, Theoreiical analysis oj sound mdiation by supported annular plates, XLVI OSA, Crakow-Zakopane, 1999, this work has been realized within the
framework of KBN project no. 7T07B 018 12, in polish, pp. 509-514.
[14J W.P. Rdzanek, Jr, Z. EngeI and W.J. Rdzanek, Asymptotic jormulas jor the acousiic power output
oj a simply supported, circular plate, to be published in Acustica/ Acta Acustica, this work has been
realized within the framework of KBN project no. 7T07B 018 12.
[15) W.P. Rdzanek, Jr and Z. Engel, The acoustical pow er radiated by a planar annular plate jor the
form of vibmtions (O,n), Collected Papers from the Joint Meeting "Berlin 99" , Forum Acusticum,
March 14-19, 1999.
[16] W.P. Rdzanek, Jr and Z. EngeI, Asymptotic jormulas for the acoustic pouier output oj a clamped annular plate, to be published in Applied Acoustics, this work has been realized within the framework
of KBN project no. 7TOm 018 12.
[17] W.P. Rdzanek, Jr, Sound mdiation by vibmting planar annular plate, Ph.D. thesis, AGH in Crakow,
1999, this work has been realized within the framework of KBN project no. 7T07B 021 17, in polish.