Egzamin sesyjny z matematyki dyskretnej M Id

Egzamin sesyjny z matematyki dyskretnej M Id - szkice rozwiązań
Zestaw A 15.06.2009
Z. 1. Oto rekurencyjna pewnego zbioru ciągów C:
2
3n−2
1) ciągi o wyrazach ogólnych an = nn2 +1
+2 oraz bn = 3n+5 należą do C;
1
2) jeżeli (cn ) ∈ C i (dn ) ∈ C, to ( 2 (cn + dn )) ∈ C.
Udowodnić za pomocą indukcji strukturalnej, że granica każdego ciągu należącego do C jest równa 1.
I krok:
2
+1
= 1, więc (an ) ∈ C
limn→∞ an = limn→∞ nn2 +2
3n−2
limn→∞ bn = limn→∞ 3n+5 = 1, więc (bn ) ∈ C
II krok:
Niech (cn ), (dn ) ∈ C, czyli limn→∞ cn = 1 i limn→∞ dn = 1. Wówczas limn→∞ 12 (cn +dn ) = 12 (limn→∞ cn +
limn→∞ dn ) = 21 (1 + 1) = 1, czyli ( 12 (cn + dn )) ∈ C, cnd.
n+2 Z. 2. Udowodnić, że dla dowolnego całkowitego n prawdziwa jest tożsamość n3 + n+1
+ 3 = n.
3
Rozważyć n = 3k, n = 3k + 1 i n = 3k + 2.
Z. 3. Ile niemalejących ciągów długości 8 można utworzyć z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Zauważmy, że istnieje bijekcja pomiędzy zbiorem takich ciągów, a multizbiorem złożonym z ośmiu elementów wybranych spośród danych liczb. Oczywiście każdy ciąg niemalejący jest multizbiorem, zaś elementy
każdego multizbioru, można jednoznacznie ustawić w ciąg niemalejący.
Jest ich więc tyle co kombinacji z powtórzeniami, czyli 8+5−1
.
8
Z. 4. Ile jest macierzy zerojedynkowych stopnia 5? W ilu z nich występuje przynajmniej jeden wiersz złożony
z samych zer?
Taka macierz ma 25 różnych miejsc, więc liczba tych macierzy wynosi 225 .
Liczbę macierzy, w których występuje przynajmniej jeden wiersz złożony z samych zer mozna policzyć
na dwa sposoby:
I – nie wprost:
liczba takich macierzy = liczba wszystkich macierzy - liczba macierzy, w których żaden wiersz nie jest
złożony z samych zer.
wiersz nie jest złożony z samych zer na 25 − 1 sposobów, wierszy jest 5, więc z zasady mnożenia mamy
5
(2 − 1)5 macierzy w których żaden wiersz nie jest złożony z samych zer.
Ostatecznie jest 225 −(25 −1)5 macierzy, w których występuje przynajmniej jeden wiersz złożony z samych
zer.
II – zasada włączania-wyłączania (jeden lub dwa lub trzy lub cztery lub pięć wierszy zerowych):
Wybieramy wiersz złożony z samych zer na 51 sposobów, pozostałe macierzy elementy obstawiamy na 220
sposobów. W ten sposób jednak zliczamy wielokrotnie macierze, które mają więcej niż jeden wiersz złożony
z
samych zer. Musimy to skorygować odejmując macierze z dwoma wierszami zerowymi, których jest 52 · 215 ,
dodając macierze z trzema wierszami (wielokrotnie odjęte), itd....
Ostatecznie
otrzymujemy
20
15
5
5
·
2
−
+ 53 · 210 − 54 · 25 + 1
1
2 ·2
macierzy, w których występuje przynajmniej jeden wiersz złożony z samych zer.
Łatwo sprawdzić, podnosząc 25 − 1 do piątej potęgi i korzystając z trójkąta Pascala, że oba wyrażenia
przedstawiają dokładnie tę samą liczbę.
Z. 5. W pewnej klasie jest 28 dzieci. Każde z nich ma w szatni swój wieszak, na którym zostawia swój worek,
idąc do domu. Do szatni wpadł rozrabiaka i pozrzucał wszystkie worki. Pani szatniarka pozawieszała worki
na wieszakach w sposób losowy. Ile jest możliwości tego, że dokładnie pięć worków wisi na swoim miejscu?
Wybieramy na 28
5 sposobów 5 worków, które wieszamy na swoich miejscach, pozostałe zaś 23 worki są
w „totalnym nieporządku”, czyli:
23
X
28
(−1)k
· 23!
.
5
k!
k=2
2
Z. 6. Po przeciwnych stronach szachownicy mamy ustawić naprzeciwko siebie figury: 6 figur czarnych (pion,
wieża, goniec, skoczek, hetman, król) po jednej stronie szachownicy i 3 figury białe (goniec, hetman, król) po
drugiej stronie szachownicy. Jest jeden warunek: każda figura biała musi być ustawiona naprzeciwko czarnej.
Ile jest takich ustawień?
Porównać rozwiązanie zadania 8. ze schematów wyboru.
Z. 7. 8 kul białych, 4 czarne i 5 zielonych wkładamy do czterech ponumerowanych pudełek. Na ile sposobów
możemy to zrobić?
Kule białe wkładamy na 8+4−1
sposobów, czarne na 4+4−1
, a zielone na 5+4−1
sposobów. Wszystkich
8
4
5
4+4−1 5+4−1
8+4−1
.
·
·
możliwości jest więc
5
4
8
Z. 8. Ze zbioru n-elementowego wybieramy 2k + 1 elementów w ten sposób, że najpierw wybieramy element
środkowy, potem k elementów z lewej, a następnie k elementów z prawej strony. Do jakiej tożsamości prowadzi
ten sposób losowania?
n−k n
n − 2k X i − 1 n − i
=
2k + 1
1
k
k
i=k+1
Element środkowy wybieramy na n−2k
sposobów (musimy zostawić co najmniej k elementów z lewej i
1
k elementów z prawej strony).
Załóżmy,
że
wybraliśmy
element i-ty (k + 1 ¬ i ¬ n − k). k elementów z lewej
n−i
strony wybieramy na i−1
,
a
z
prawej
na
sposobów.
Ze względu na zmienność i mamy sumę.
k
k
Z. 9. Na egzamin przyszło 150 studentów i będą go pisać w trzech różnych salach. Egzaminator chce, aby
studenci podzielili się tak, aby w każdej sali pisało tyle samo osób. Ile jest możliwych sposobów spełnienia
tego warunku, uwzględniając numerację sal? A gdy numery sal nie są ważne?
150
Pierszy przypadek - podział uporzadkowany, czyli 50,50,50
( 150 )
Drugi przypadek - podział nieuporzadkowany, czyli 50,50,50
3!
Z. 10. Maszyna generuje ciągi binarne długości d w sposób, którego nie znamy. Ile co najmniej ciągów trzeba
wygenerować, aby mieć pewność, że wśród nich będą przynajmniej trzy takie same ?
Ciągów jest 2d , czyli zgodnie z zasadą szufladkową trzeba wygenerować 2 · 2d + 1 ciągów.
Część teoretyczna:
P. 1. Podać wzór Eulera-Bineta. Podać definicję ciągu, którego wyraz ogólnu dany jest tym wzorem.
P. 2. Jaka jest interpretacja kombinatoryczna współczynnika dwumianowego? Jaka jest jego wartość liczbowa? Która zależność dla współczynników dwumianowych jest wykorzystana w budowaniu trójkąta Pascala?
P. 3. Podać zasadę bijekcji i przykład jej zastosowania.
P. 4. Podać definicję liczby Stirlinga drugiego rodzaju oraz zależność rekurencyjną przez nią spełnioną.
P. 5. Niech X i Y będą zbiorami takimi, że |X| = n and |Y | = m. Ile jest funkcji różnowartościowych
odwzorowujących zbiór X w zbiór Y ? Ila wśród nich jest bijekcji?