Część 10

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 10
1. Sylogizmy ukośne. Postać w języku naturalnym
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Dotychczas podawaliśmy przykłady wynikań logicznych, dla potwierdzenia których wystarczała stosunkowo łatwa dedukcja polegająca na pojedynczym zastosowaniu albo reguły uogólniania, albo reguły
wyboru. Teraz przejdziemy do przykładów takich wynikań, dla potwierdzenia których musimy użyć albo
obu reguł konstrukcji dedukcji, albo dwukrotnie użyć regułę uogólniania.
Pochodząca od Arystotelesa tzw. sylogistyka zajmuje się jedynie zdaniami kategorycznymi, które dotyczą nazw generalnych oraz w których występuje pojedynczy zwrot kwantyfikujący, pojawiający się tylko
w podmiocie zdania. Zatem w sylogistyce nie potrafimy wykazać, że logicznie poprawne jest poniższe
wnioskowanie:
Każdy koń jest ssakiem
x
Każda głowa (jakiegoś) konia jest głową (jakiegoś) ssaka
M
a te
r ia
ły
do
w
Szczegółowy zwrot kwantyfikatorowy ‘jakiś’ ujęliśmy w nawias, gdyż zwyczaj językowy każe go opuszczać w takim kontekście, chociaż pełni on tam logiczną rolę. Powyższy przykład pochodzi od wielkiego
logika de Morgana, który w XIX wieku zajmował się teorią takich i podobnych wnioskowań.
W powyższym wnioskowaniu rzeczownik ‘głowa’ traktowany jest jako pojęcie relacyjne. Chodzi tu
o bycie czyjąś głową, a nie bycie głowę «w ogóle». Istotnie, pojęcie bycia głową, gdy jest używane jako
nazwa generalna, można traktować jako skrót zwrotu ‘czyjaś głowa’, gdzie mamy do czynienia już z
relacyjnym pojęciem bycia głową. Przecież głowa Jana i głowa Piotra są różne, o ile tylko Jan nie nosi
dwóch imion (tj. Jan nie tym samym człowiekiem, co Piotr).
Relacyjne pojęcie bycia głową jest szczególnego rodzaju. Mianowicie, z reguły jeśli dany obiekt w
ogóle ma głowę, to ma ją tylko jedną. Nie wykluczamy jednak, że jakiś obiekt ma więcej niż jedną głowę.
W naszych rozważaniach nie jest istotne ile głów ma dany obiekt; może w ogóle nie mieć żadnej głowy.
Omawiane pojęcie będziemy traktować tak samo jak relacyjne pojęcie bycia przyjacielem. Można mieć
albo dokładnie jednego przyjaciela, albo więcej niż jednego, albo nie mieć żadnego.
Relacyjne pojęcie bycia przyjacielem wyznacza relację zachodzącą pomiędzy dwoma obiektami (nie
koniecznie tylko ludźmi). Jego zakresem ma być zbiór wszystkich par uporządkowanych hx, yi takich, że
x jest przyjacielem y-a. Jeśli jednak ustalimy y-a, np. to powstanie deskrypcja pluralna ‘przyjaciel y-a’,
która gra już rolę nazwy generalnej. Jej zakresem będzie zbiór (dystrybutywny) wszystkich przyjaciół
y-a. Nie wykluczamy, że jest to zbiór jednoelementowy, a może nawet być to zbiór pusty. Przykładowo
jeśli tym wybranym y-iem będzie ustalony Jan, to będziemy mieć do czynienia z deskrypcją pluralną
‘przyjaciel Jana’. Jej zakresem będzie, oczywiście, zbiór wszystkich przyjaciół Jana.
Możemy jednak utworzyć też zbiór z wszystkich tych i tylko tych obiektów, które są czyimś przyjacielem. Zbiór taki będzie zakresem deskrypcji pluralnej ‘przyjaciel kogoś lub czegoś’, albo dokładniej
(chociaż zupełnie «niezgrabnie») ‘przyjaciel jakiegoś obiektu’. Zbiór taki będzie sumą wszystkich zbiorów przyjaciół dla poszczególnych obiektów. Oczywiście sumowane zbiory mogą mieć wspólne elementy.
Ktoś (coś) należy do do tej sumy zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy jest on przyjacielem kogoś lub czegoś.
Możemy też ograniczyć to ‘czegoś lub czegoś’ do konkretnego zbioru obiektów. I tak możemy rozpatrywać deskrypcję pluralną ‘przyjaciel jakiegoś Polaka’. Jej zakresem będzie suma zbiorów przyjaciół
∗
c 2016 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
137
138
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
poszczególnych Polaków. Innymi słowy, ktoś (coś) należy do do tej sumy zbiorów wtedy i tylko wtedy,
gdy jest on przyjacielem jakiegoś Polaka.
Po tym wstępie przejdźmy do rozważań ogólnych. Przyjmijmy, że R jest pojęciem relacyjnym dotyczącym pary obiektów. Z tego relacyjnego pojęcia oraz nazwy jednostkowej a wolno nam utworzyć
deskrypcję pluralną ‘R a-ka’. Jej zakresem będzie zbiór wszystkich obiektów, które są R-ami a-ka.
Wolno nam też z relacyjnego pojęcia R oraz nazwy generalnej S utworzyć deskrypcję pluralną ‘R jakiegoś S -a’. Jej zakresem będzie suma zbiorów R-ów dla poszczególnych S -ów. Innymi słowy, dany
obiekt należy do tej sumy zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy on jest R-em jakiegoś S -a.
Oczywiście, pusta jest pluralna deskrypcja ‘przyjaciel każdego Polaka’, gdyż nikt (nic) nie jest przyjacielem wszystkich Polaków. Możemy jednak znaleźć grono G osób, które mają co najmniej jednego
wspólnego przyjaciela, a wówczas nie będzie pusta deskrypcja ‘przyjaciel każdego członka grona G’.
Zatem będziemy również rozpatrywać deskrypcje pluralne o postaci ‘R każdego S -a’. Jej zakresem będzie przekrój (iloczyn) zbiorów R-ów dla poszczególnych S -ów. Innymi słowy, dany obiekt należy do
tego iloczynu zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy on jest R-em każdego S -a.
Po tym teoretycznym wprowadzeniu możemy już przejść do rozpatrzenia schematu wnioskowania,
pod który podpada podany sylogizm ukośny de Morgana. Jest nim następujący schemat niezawodny:
Każdy S jest P-em
Każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a
x
(SU1 )
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
w którym litera ‘R’ odnosi się do pojęć relacyjnych, zaś litery ‘S ’ i ‘P’ do nazw generalnych. Jest to
schemat zgodny z przykładem de Morgana, gdyż w tym czasie rozpatrując schematy wnioskowania w
logice zakładano, że należy je stosować wyłącznie do niepustych nazw generalnych. Zatem w czasach de
Morgana podany schemat należało stosować tylko do takich podstawień, które dawały niepuste deskrypcje
pluralne ‘R jakiegoś S -a’ i ‘R jakiegoś P-a’, co pociąga niepustość nazw generalnych S i P. Jest to zgodne
z rozpatrywanym sylogizmem, gdyż niepuste są terminy ‘koń’, ‘ssak’, ‘głowa (jakiegoś) konia’ i ‘głowa
(jakiegoś) ssaka’.
Jeszcze w XIX wieku w tzw. logice tradycyjnej stosowano restrykcję głoszącą, że niepuste mają być
wszystkie podstawiane terminy (nie tylko te występujące w podmiocie zdań). Stosując taką restrykcję
nie potrzebne było odróżnianie interpretacji zdań kategorycznych (np. matematycznej i potocznej). My
zaś nie stosujemy żadnych restrykcji odnośnie podstawianych terminów (tj. dopuszczamy podstawiania
dające puste nazwy generalne). Dlatego też w naszych rozważaniach istotne jest to jaką interpretację
przyjmujemy dla zdań kategorycznych.
Poniżej pokażemy, że przy matematycznej interpretacji zdań ogólnych schemat (SU1 ) jest niezawodny. Jednakże przy potocznej interpretacji zdań ogólnych, aby otrzymać niezawodny schemat, trzeba dodać
przesłanką, która wymuszać będzie niepustość podmiotu we wniosku, gdyż nie jest wykluczone, że termin ‘R jakiegoś S -a’ może być pusty nawet, gdy nazwa S jest niepusta. Tą przesłanką oczywiście będzie
‘Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a’.
Przykładowo, stosując potoczną interpretację zdań ogólnych, podstawiamy w (SU1 ): S /człowiek;
P/ssak; R/skrzydło (w miejsce ‘głowa’). Otrzymamy prawdziwą przesłankę oraz wniosek z pustym podmiotem ‘skrzydło jakiegoś człowieka’. Zatem, w potocznej interpretacji, wniosek ten nie będzie miał
wartości logicznej (czyli nie będzie też prawdziwy).
Przy potocznej interpretacji zdań ogólnych należy rozpatrywać następujący niezawodny schemat:1
Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a
Każdy S jest P-em
Każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a
x
p
(SU1 )
p
Aby «rozwiązać» ukośny sylogizm w obu wersjach, (SU1 ) i (SU1 ), musimy przyjąć, że «cegiełkę
poprawnego rozumowania» jest poniższy schemat wnioskowania:
a jest R-em b
b jest P-em
a jest R-em jakiegoś P-a
x
(Ir )
1
Jeszcze raz podkreślmy, że dodanie przesłanki ‘Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a’ do (SU1 ) jest zgodne z logiką
tradycyjną. Mianowicie to, co daje nam ta przesłanka uzyskujemy poprzez stosowanie w logice tradycyjnej restrykcji dotyczącej
dopuszczalnych podstawień. Ponadto, restrykcja ta nakazuje również niepustość terminu ‘R jakiegoś P-a’. Jednakże nawet gdy
p
nie stosujemy tej restrykcji, to nie musimy tego zakładać, gdyż wynika to z przyjętych dwóch przesłanek w (SU1 ).
139
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
Odpowiada on poniższej «cegiełce poprawnego rozumowania», która była używana w dedukcji przeprowadzanej dla zwykłych sylogizmów:
a jest S -em
a jest P-em
x
(I)
Jakiś S jest P-em
W następnym punkcie pokażemy związek zachodzący pomiędzy (Ir ) i (I).
Dowód dla (SU1 ) przy matematycznej interpretacji zdań ogólnych: Załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa, czyli że każdy S jest P-em. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować
regułę uogólniania. Jeśli nie istnieje żaden obiekt, który jest R jakiegoś S -a, to wniosek jest prawdziwy
(w interpretacji matematycznej). Przyjmijmy więc, że istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a. Wybierzmy dowolnego z nich i oznaczmy go przez ‘u’; tj. u ≔ dowolnie wybrany R jakiegoś S -a. Zatem: u jest
R-em jakiegoś S -a. Zgodnie z regułą uogólniania, mamy wykazać, że u jest R-em jakiegoś P-a, a następnie
to uogólnić na wszystkie obiekty, które są R-ami jakiegoś S -a (a przez to otrzymać dowodzony wniosek).
Skoro u jest R-em jakiegoś S -a, więc istnieje co najmniej jeden S i to taki, że jest u jest jego R-em.
Zgodnie z regułą wyboru wybierzmy takiego S -a i oznaczmy go przez ‘w’. Zatem: w jest S -em; u jest
R-em w. Są to nasze dwie dodatkowe przesłanki związane z regułą wyboru.
Korzystając z wyjściowej przesłanki oraz jednej z dodatkowych przesłanek związanych z regułą wyboru, stosujemy następujące rozumowanie:
,2
01
6/2
01
7
Każdy S jest P-em
w jest S -em
w jest P-em
(A)
x
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
otrzymując, że w jest P-em. Wykorzystując ten wniosek pośredni oraz drugie z dodatkowych założeń
związanych z regułą wyboru, stosujemy rozumowanie typu (Ir ):
u jest R-em w
w jest P-em
u jest R-em jakiegoś P-a
x
M
a te
r ia
otrzymując, że u jest R-em jakiegoś P-a. Ponieważ u był dowolnie wybranym R-em jakiegoś S -a, więc
uogólniamy to do wniosku: każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a.
p
Dowód dla (SU1 ) przy potocznej interpretacji zdań ogólnych: Załóżmy, że obie przesłanki są prawdziwe, czyli że istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a oraz że każdy S jest P-em. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować regułę uogólniania. Pierwsza przesłanka pozwala nam
jednak wybrać dowolnego dowolnego R-a jakiegoś S -a. Oznaczmy go przez ‘u’; tj. u ≔ dowolnie wybrany
R jakiegoś S -a. Zatem: u jest R-em jakiegoś S -a. Mamy pokazać, że u jest R-em jakiegoś P-a, a następnie
to uogólnić na wszystkie obiekty, które są R-ami jakiegoś S -a. Pokazujemy to tak, jak poprzednio.2
Zamiast pojęć relacyjnych wolno stosować czasowniki przechodnie (jak również pochodzące od nich
rzeczowniki relacyjne), które także wyrażają binarne relacje. Mamy taki oto przykład wynikania logicznego (który ponoć także pochodzi od de Morgana z roku 1847):
Każdy człowiek jest zwierzęciem
Każdy kto zabił (jakiegoś) człowieka zabił (jakieś) zwierzę
x
Zamieniając przechodni czasownik ‘zabił’ na relacyjne orzeczenie imienne ‘jest zabójcą’ otrzymamy
wniosek ‘Każdy zabójca (jakiegoś) człowieka jest zabójcą (jakiegoś) zwierzęcia’. To zaś podpada pod
schemat (SU1 ).
Uwaga 1.1. Powyżej dedukcyjnie uzasadniliśmy niezawodność schematu wnioskowania (SU1 ) przy map
tematycznej interpretacji zdań ogólnych oraz (SU1 ) przy potocznej interpretacji zdań ogólnych. Jednakże,
można podać rysunki obrazujące dystrybutywne zbiory S -ów i P-ów oraz poprawność tych schematów.
Ilustracja ma polegać na pokazaniu, że w każdym przypadku, w którym mamy prawdziwą przesłankę
(odp. prawdziwe przesłanki), prawdziwy jest także wniosek.
2
Jeszcze raz krótko przedstawmy różnicę w obu dowodach. Przy matematycznej interpretacji rozważamy dwa przypadki.
Jeśli nie jest spełniona przyjmowana w (SUp1 ) dodatkowa przesłanka, to wniosek jest prawdziwy «z definicji». Przyjmujemy więc,
że jest tak, jak ona głosi i przeprowadzamy dowód. W interpretacji potocznej, aby otrzymać prawdziwość wniosku, musieliśmy
od razu przyjąć, że jest tak, jak głosi ta dodatkowa przesłanka i to wykorzystać.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
140
Pominiemy przypadek, gdy nazwa S jest pusta. Pominiemy też przypadek, że żaden obiekt nie jest
R-em żadnego S -a. Przy takich założeniach mamy dwa przypadki, w których przesłanki są prawdziwe.
Oczywiście, nie da się na płaszczyźnie zobrazować zakresu relacji R. Wybierzemy zatem dowolny obiekt,
który jest R-em jakiegoś S -a.
dowolnie wybrany R dla wybranego S -a
dowolnie wybrany R dla wybranego S -a
•
• P-y
•
S -y
P-y
•
S -y
Widzimy, że w obu przypadkach ten dowolnie wybrany obiekt jest także R-em jakiegoś P-a. Zatem w
obu tych przypadkach należy także uznać wniosek za prawdziwy.
⋄
p
Zauważmy, że zamiana we wniosku miejscami liter ‘S ’ i ‘P’ ze schematów (SU1 ) i (SU1 ) uczyni
p
schematy zawodne (w obu interpretacjach zdań ogólnych), przy czym do (SU1 ) dodamy jeszcze jedną
przesłankę:
Każdy S jest P-em
6x
Każdy R jakiegoś P-a jest R-em jakiegoś S -a
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Istnieje co najmniej jeden R-jakiegoś S -a
Istnieje co najmniej jeden R-jakiegoś P-a
Każdy S jest P-em
6x
Każdy R jakiegoś P-a jest R-em jakiegoś S -a
Oczywiście, zawodność drugiego z tych schematów pociąga zawodność pierwszego (w obu interpretacjach zdań ogólnych). Mianowicie, każde podstawienie, które daje w drugim schemacie prawdziwe trzy
przesłanki oraz fałszywy wniosek, daje w pierwszym schemacie prawdziwą przesłankę i fałszywy wniosek. Związane jest to z monotoniczności wynikania logicznego.
Aby pokazać zawodność powyższych dwóch schematów wystarczy użyć postawienie: S /koń; P/ssak;
R/głowa. Otrzymujemy trzy prawdziwe przesłanki oraz fałszywy wniosek: ‘Każda głowa jakiegoś ssaka jest głową jakiegoś konia’. Przecież żadna z kocich głów (będących głowami ssaków) nie jest głową
żadnego konia.
Łatwo też podać «rysunkowy» kontrprzykład:
wybrany R jakiegoś S -a
•
•
S -y
wybrany R dla wybranego P-a
•
•
P-y
Mamy trzy prawdziwe przesłanki (w obu interpretacjach zdań ogólnych). Wskazaliśmy jednak na możliwość wyboru takiego R-a jakiegoś P-a, który nie jest R-em żadnego S -a. Zatem otrzymaliśmy prawdziwe
przesłanki i fałszywy wniosek. Schemat więc jest zawodny.
Rozpatrzmy teraz inny sylogizm ukośny:
Każdy człowiek jest sakiem
x
Każdy przyjaciel każdego ssaka jest przyjacielem każdego człowieka
W interpretacji matematycznej zdań ogólnych nie jest istotne, że nie ma takiego obiektu, który byłby
przyjacielem każdego ssaka, jak również nie ma obiektu, który byłby przyjacielem każdego człowieka.
Interesuje nas jedynie, czy odpowiedni schemat wnioskowania jest niezawodny. W interpretacji potocznej
dodamy przesłankę (która okaże się fałszywa, więc nie popsuje poprawności wnioskowania).
Zatem stosując matematyczną interpretację zdań ogólnych, dla badanego wnioskowania użyjemy poniższego niezawodnego schematu:
Każdy S jest P-em
x
(SU2 )
Każdy R każdego P-a jest R-em każdego S -a
Przyjmując potoczną interpretację zdań ogólnych musimy dodać przesłankę, która wymusza niepustość
podmiotu we wniosku:
Istnieje co najmniej jeden R każdego P-a
Każdy S jest P-em
p
x
(SU2 )
Każdy R każdego P-a jest R-em każdego S -a
141
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
p
Dla wykazania jego niezawodności schematów (SU2 ) i (SU2 ) potrzebna nam jest jednak inna «cegiełka poprawnego rozumowania». Jest nią poniższy niezawodny schemat wnioskowania:
a jest R-em każdego P-a
b jest P-em
a jest R-em b
(Ar )
x
,2
01
6/2
01
7
Odpowiada on przyjmowanej w sylogistyce «cegiełce» typu (A). W następnym punkcie pokażemy związek zachodzący pomiędzy (Ar ) i (A).
Dowód dla (SU2 ) przy matematycznej interpretacji zdań ogólnych: Załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa, czyli że każdy S jest P-em. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować
regułę uogólniania. Jeśli nie istnieje żaden obiekt, który jest R-em każdego P-a, to wniosek jest prawdziwy
(w interpretacji matematycznej). Przyjmijmy więc, że istnieje co najmniej jeden obiekt, który jest R-em
każdego P-a. Wybierzmy dowolny taki obiekt i oznaczmy przez przez ‘u’; tj. u ≔ dowolnie wybrany R
każdego P-a. Zatem: u jest R-em każdego P-a. Mamy pokazać, że u jest R-em każdego S -a, a następnie
to uogólnić na wszystkie obiekty, które są R-ami każdego P-a. Musimy więc ponownie zastosować regułę
uogólniania (teraz odnośnie S -ów). Jeśli S -ów nie ma, to w interpretacji matematycznej to, co chcemy
pokazać jest prawdą.3 Załóżmy zatem, że istnieje co najmniej jeden S . Wybieramy dowolnego z S -ów i
oznaczamy go przez przez ‘v’. Zatem v jest S -em. Mamy pokazać, że u jest R-em v. Następnie to mamy
uogólnić na wszystkie S -y, otrzymując: u jest R-em każdego S -a.
Korzystając z wyjściowej przesłanki stosujemy rozumowanie typu (A):
yk
ła d
uL
PK
Każdy S jest P-em
v jest S -em
v jest P-em
x
u jest R-em każdego P-a
v jest P-em
u jest R-em v
x
a te
r ia
ły
do
w
Otrzymujemy, że v jest P-em. Wykorzystujemy ten wniosek pośredni oraz rozumowanie typu (Ar ):
M
Otrzymujemy, że u jest R-em v. Skoro v był dowolnie wybranym S -em, więc wolno to uogólnić otrzymując: u jest R-em każdego S -a. Stąd, skoro u był dowolnie wybranym R-em każdego P-a, więc stosujemy
ponowne uogólnienie otrzymując: każdy R każdego P-a jest R-em każdego S -a.
p
Dowód dla (SU2 ) przy potocznej interpretacji zdań ogólnych: Załóżmy, że przesłanki są prawdziwe,
czyli że istnieje co najmniej jeden obiekt, który jest R-em każdego P-a oraz że każdy S jest P-em. To
drugie założenie (w potocznej interpretacji) wymusza niepustość obu nazw S i P. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować regułę uogólniania. Pierwsza przesłanka pozwala nam
jednak wybrać dowolnego dowolny obiekt, który jest R-em każdego P-a. Oznaczmy go przez ‘u’; tj.
u ≔ dowolnie wybrany R każdego P-a. Zatem: u jest R-em każdego P-a. Mamy pokazać, że u jest R-em
każdego S -a, a następnie to uogólnić na wszystkie obiekty, które są R-ami każdego P-a. Musimy więc
ponownie zastosować regułę uogólniania (teraz odnośnie S -ów). Skoro druga przesłanka wymusza istnienie co najmniej jednego S -a, więc wybieramy dowolnego z nich i oznaczamy go przez ‘v’. Zatem v
jest S -em. Mamy pokazać, że u jest R-em v. Następnie to mamy uogólnić na wszystkie S -y, otrzymując:
u jest R-em każdego S -a. Pokazujemy to tak, jak powyżej.
p
Uwaga 1.2. Powyżej dedukcyjnie uzasadniliśmy niezawodność schematów (SU2 ) i (SU2 ). Jednakże,
można podać rysunki obrazujące dystrybutywne zbiory S -ów i P-ów oraz poprawność tych schematów.
Ilustracja ma polegać na pokazaniu, że w każdym przypadku, w którym przesłanka jest prawdziwa, prawdziwy jest także wniosek.
Pominiemy przypadek, gdy nazwa S jest pusta. Pominiemy też przypadek, że żaden obiekt nie jest
R-em wszystkich P-ów. Przy takich założeniach mamy dwa przypadki, w których przesłanki są prawdziwe. Oczywiście, nie da się na płaszczyźnie zobrazować zakresu relacji R. Wybierzemy zatem dowolny
obiekt, który jest R-em każdego P-a:
3
Istotnie, skoro nie ma żadnego S -a, więc nie znajdziemy takiego S -a, że u nie będzie jego R-em. Zatem wówczas uznajemy, że u jest R-em każdego S -a.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
dowolnie wybrany R dla wszystkich P-ów
142
dowolnie wybrany R dla wszystkich P-ów
•
•
S -y
P-y
P-y
S -y
Tutaj brak kropki ma symbolizować to, że wybrany obiekt ma być odpowiedni jako R dla wszystkich
P-ów, a przez to także dla wszystkich S -ów. Widzimy, że w obu tych przypadkach należy także uznać
wniosek za prawdziwy.
⋄
p
Ponownie zauważmy, że zamiana we wniosku miejscami liter ‘S ’ i ‘P’ ze schematów (SU2 ) i (SU2 )
uczyni schematy zawodne:
Każdy S jest P-em
6x
Każdy R każdego S -a jest R-em każdego P-a
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Istnieje co najmniej jeden R-każdego S -a
Istnieje co najmniej jeden R-każdego P-a
Każdy S jest P-em
6x
Każdy R każdego S -a jest R-em każdego P-a
Oczywiście, zawodność drugiego z tych schematów pociąga zawodność pierwszego (w obu interpretacjach zdań ogólnych). Mianowicie, każde podstawienie, które daje w drugim schemacie prawdziwe trzy
przesłanki oraz fałszywy wniosek, daje w pierwszym schemacie prawdziwą przesłankę i fałszywy wniosek. Związane jest to z monotoniczności wynikania logicznego.
Chcemy pokazać zawodność pierwszego ze schematów. Stosując interpretację matematyczną szukany
kontrprzykład musi dać wniosek z niepustym terminem (gdyż inaczej wniosek będzie prawdziwy w tej
interpretacji). Trzeba więc wziąć takie podstawienie, przy którym nie będzie puste pojęcie otrzymane
ze terminu ‘R każdego S -a’.4 Załóżmy, że Jan ma jakieś dziecko. Weźmy: S /dziecko Jana; P/człowiek;
R/rodzic. Otrzymujemy prawdziwą przesłankę: Każde dziecko Jana jest człowiekiem. Fałszywy jest jednak wniosek: Każdy rodzic każdego dziecka Jana jest rodzicem każdego człowieka. Termin ‘rodzic każdego dziecka Jana’ nie jest pusty, gdyż oznacza co najmniej jednego człowieka – Jana. Przecież truizmem
jest stwierdzenie, że Jan jest rodzicem każdego swojego dziecka. Jednakże, oczywiste jest, że nie każdego
człowieka Jan jest rodzicem. Oczywiście, jest to także kontrprzykład dla (SU2 ) w potocznej interpretacji.
p
Dla obalenia poprawności schematu (SU2 ) potrzebny jest «bardziej subtelny kontrprzykład». Mianowicie, musimy tak dobrać kontrprzykład, aby prawdziwa była przesłanka także ‘Istnieje co najmniej
jeden R-każdego P-a’ (w poprzednio podanym kontrprzykładzie była ona fałszywa). Przyjmijmy więc,
że Jan ma jakieś dzieci, lecz matką ich wszystkich jest Anna. Anna jednak ma także inne dzieci. Robimy
podstawienie: S /dziecko Jana; P/dziecko Anny; R/rodzic. Wówczas otrzymujemy prawdziwe wszystkie
trzy przesłanki. Dwie pierwsze z tego powodu, iż Jana i Anna są rodzicami każdego ze swoich dzieci.
Trzecia przesłanka jest prawdziwa, gdyż założyliśmy, że każde dziecko Jana jest dzieckiem Anny. Fałszywy jest jednak wniosek: każdy rodzic każdego dziecka Jana jest rodzicem każdego dziecka Anny, gdyż 
zgodnie z założenie  nie każdego dziecka Anny rodzicem jest Jan (a jest rodzicem każdego swojego
dziecka; truizm).
Łatwo też podać «rysunkowy» kontrprzykład:
wybrany R dla wszystkich S -ów
•
S -y
•
wybrany R dla wszystkich P-ów
P-y
Tutaj brak kropki ma symbolizować to, że wybrany z lewej strony obiekt jest R-em odpowiednim dla
wszystkich S -ów, lecz nie dla pozostałych P-ów. Widzimy, że wskazaliśmy na możliwość otrzymania
prawdziwej przesłanki (prawdziwych przesłanek) i fałszywego wniosku.
Współczesna logika poszła w inną drogą niż ta, którą zmierzała logika tradycyjna. W sylogizmach 
zarówno tych Arystotelesowego typu, jak i tych ukośnych  rozważamy strukturę powierzchniową języ4
Zatem nie bierzemy takich terminów jak ‘głowa każdego konia’ itp., gdyż takie terminy są puste.
143
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
ka naturalnego. Współczesna logika zaś zaczęła stosować kwantyfikatorowy zapis, który ma wyrażać
strukturę głęboką języka naturalnego. Stworzyła więc sztuczny język kwantyfikatorowy, którym właśnie
się zajmiemy. W logice kwantyfikatorów mamy ustalone reguły, które mają «pasować» do wszystkich
przypadków. Nie musimy dodawać to coraz to nowych «cegiełek poprawnego rozumowania». Trudny
jest jednak sam przekład zdań języka naturalnego na sztuczny język logiki kwantyfikatorów, w którym
wyrażamy strukturę głęboką tych zdań.
2. Kwantyfikatorowy zapis sylogizmów ukośnych i ich uzasadnienie
Pierwszy z niezawodnych sylogizmów ukośnych miał następującą postać:
Każdy S jest P-em
Każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a
x
(SU1 )
w którym litera ‘R’ odnosi się do pojęć relacyjnych, zaś litery ‘S ’ i ‘P’ do nazw generalnych. Pokażemy,
że w interpretacji matematycznej schemat (SU1 ) ma następujący zapis kwantyfikatorowy:
∀y(S y → Py)
∀x ∃y(S y ∧ xRy) → ∃y(Py ∧ xRy)
x
(kSU1 )
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
w którym ‘S y’, ‘Py’ i ‘xRy’ są odpowiednio skrótami schematy: ‘y jest S -em’, ‘y jest P-em’ oraz ‘x jest
R-em y-a’. Wolno jednak przyjąć, że ‘S y’ i ‘Py’ reprezentują dowolne formuły ze zmienną wolną ‘y’,
a ‘xRy’ dowolną formułę ze zmiennymi wolnymi ‘x’ i ‘y’.
Poprzez odpowiednią parafrazę zdań z języka naturalnego w (SU1 ) dojdziemy do zapisu (kSU1 ). Po
pierwsze, na s. 66 w części 5 dla przesłanki ‘Każdy S jest P-em’ otrzymaliśmy zapis formalny:
Każdy obiekt oznaczony jako x spełnia implikację materialną: x jest S -em → x jest P-em
|
{z
}
∀x
ły
do
w
∀x(x jest S -em → x jest P-em)
∀y(y jest S -em → y jest P-em)
a te
r ia
Oczywiście, zamiast zmiennej ‘x’ wolno użyć zmiennej ‘y’ otrzymując:
M
Zwiększy to «poglądowość zapisuu» (kSU1 ). Ponadto, skracamy zapis:
∀y(S y → Py)
Po drugie, dokonujemy analogicznej parafrazy wniosku w (SU1 ):
Każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a
|
{z
}
|
{z
}
M
Q-em
Skoro jest to zdanie typu ‘Każdy M jest Q-em, więc stosujemy dla niego zapisu z użyciem implikacji
materialnej:
∀x(x jest M-em → x jest Q-em)
∀x x jest R-em jakiegoś S -a → x jest R-em jakiegoś P-a
Teraz w celach pomocniczych sparafrazujemy poprzednik otrzymanej implikacji. Skoro zmienna ‘x’ jest
już «zajęta» w zapisywanej implikacji, więc musimy użyć innej. Niech to będzie pierwsza zmienna w
kolejności alfabetycznej, czyli ‘y’5 :
x jest R-em jakiegoś S -a
Jakiś S , oznaczony jako y, jest taki, że x jest R-em y-a
Chcemy mieć jednak kwantyfikator szczegółowy dotyczący obiektów, a nie S -ów (których w ogóle może
nie być, więc ich zbór nie nadaje się na uniwersum rozważań). Jednakże, obiekt, o którym mówimy ma
być S -em. Zapisujemy to w następujący sposób:
Jakiś obiekt, oznaczony jako y, jest taki, że: y jest S -em ∧ x jest R-em y-a
|
{z
}
∃y
∃y(S y ∧ xRy)
5
To jej użycie nie ma nic wspólnego z jej użyciem w zapisie przesłanki wnioskowania.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
144
Tak samo parafrazujemy następnik implikacji:
x jest R-em jakiegoś P-a
Jakiś P, oznaczony jako y, jest taki, że x jest R-em y-a
Jakiś obiekt, oznaczony jako y’ jest taki, że: y jest P-em ∧ x jest R-em y-a
|
{z
}
∃y
∃y(Py ∧ xRy)
Podstawiając ostatnio otrzymane dwie parafrazy do implikacji otrzymujemy:
∀x ∃y(y jest S -em ∧ x jest R-em y-a) → ∃y(y jest P-em ∧ x jest R-em y-a)
∀x ∃y(S y ∧ xRy) → ∃y(Py ∧ xRy)
Uwaga 2.1. Niektórzy wolą, aby przy drugim kwantyfikatorze szczegółowym występowała inna zmienna
niż ‘y’. Ma to niby podkreślić, że postulowany przez ten kwantyfikator obiekt jest innym niż obiekt postulowany przez kwantyfikator szczegółowy występujący w poprzedniku. Zatem niektórzy wolą następujący
kwantyfikatorowy zapis (zamiast tego, który podaliśmy):
∀x ∃y(S y ∧ xRy) → ∃z(Pz ∧ xRz)
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Jednakże, użycie różnych zmiennych jest zupełnie zbędne, gdyż każdy z fragmentów jest niezależny oraz
mówi o istnieniu jakiegoś (odpowiedniego) obiektu. A tak naprawdę to te postulowane obiekty ani nie
muszą być identyczne, ani nie muszą być różne.
⋄
Stosowane w sylogistyce «cegiełki poprawnego rozumowania» jak:
a jest S -em
Każdy S jest P-em
a jest P-em
a jest S -em
x
(A)
x
(I)
Jakiś S jest P-em
a jest P-em
mają następujące kwantyfikatorowe zapisy
∀x(S x → Px)
Sa
Sa
Pa
(Ik )
x
(Ak )
x
∃x(S x ∧ Px)
Pa
Podobnie jest z regułami wyciągania wniosków (Ar ) i (Ir ), których odpowiednio użyliśmy do otrzymania sylogizmów ukośnych (SU1 ) i (SU2 ):
a jest R-em b
a jest R-em każdego P-a
b jest P-em
b jest P-em
(Ir )
x
(Ar )
x
a jest R-em jakiegoś P-a
a jest R-em b
Korzystając z poprzednio podanej parafrazy wniosku w schemacie (Ir ) otrzymamy kwantyfikatorowy
zapis tego schematu:
aRb
Pb
x
(Ikr )
∃x(Px ∧ aRx)
Też widzimy, że schemat ten otrzymamy przez proste użycie dopisanie kwantyfikatora szczegółowego,
tak jak w przypadku (Ik ).
Możemy więc przeprowadzić dedukcję pokazującą niezawodność schematu (kSU1 ). Uwidoczni to to,
że musimy zastosować zarówno regułę uogólniania, jak i regułę wyboru.
Dowód dla (kSU1 ): Załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować regułę uogólniania. Wybieramy więc dowolny obiekt. Tak jak w zapisie kwantyfikatorowym oznaczamy ten obiekt przez ‘x’.6 Mamy pokazać, że spełnia on implikację: x jest R-em
jakiegoś S -a → x jest R-em jakiegoś P-a. W zapisie formalnym: ∃y(S y ∧ xRy) → ∃y(Py ∧ xRy). Następnie to uogólniamy na wszystkie obiekty, dodając kwantyfikator ogólny ze zmienną ‘x’ i otrzymując
dowodzony wniosek.
Skoro mamy wyprowadzić implikację, więc zakładamy, że zachodzi jej poprzednik. Przy tym dodatkowym założeniu mamy dojść do jej następnika.7 Zatem zakładamy, że: x jest R-em jakiegoś S -a.
6
W tym przypadku jako nazwę pomocniczą możemy wziąć zmienną ‘x’. Nie musimy używać innej litery; np. ‘u’. Nie w
każdym przypadku jednak jest to możliwe. Np. nie byłoby to możliwe wówczas, gdybyśmy do zapisu przesłanki użyli zmiennej
‘x’, a nie ‘y’, czyli gdybyśmy użyli równoważnego zapisu: ∀x(S x → Px).
7
Jest to reguła konstrukcji dedukcji dla implikacji. Zauważmy, że jeśli poprzednik nie zachodzi, to implikacja jest prawdziwa «z definicji».
145
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
W zapisie formalnym: ∃y(S y ∧ xRy). To pokazuje, że wolno zastosować regułę wyboru i wybrać taki
obiekt, który spełni formułę: S y ∧ xRy. Tak jak w zapisie kwantyfikatorowym oznaczmy ten obiekt przez
‘y’.8 Mamy więc: y jest S -em; x jest R-em y-a. W zapisie skrótowym: S y; xRy. Są to nasze dwie dodatkowe
przesłanki związane z regułą wyboru.
Korzystając z wyjściowej przesłanki oraz jednej z dodatkowych przesłanek związanych z regułą wyboru, stosujemy następujące rozumowanie typu (Ak ):
,2
01
6/2
01
7
∀y(S y → Py)
Sy
x
Py
otrzymując: Py; czyli, że y jest P-em. Wykorzystując ten wniosek pośredni oraz drugie z dodatkowych
założeń związanych z regułą wyboru, stosujemy rozumowanie typu (Ikr ):
xRy
Py
x
∃y(Py ∧ xRy)
otrzymując, że u jest R-em jakiegoś P-a.
Skoro od założonego poprzednika ‘∃y(S y ∧ xRy)’ doszliśmy do następnika ‘∃y(Py ∧ xRy)’, więc 
zgodnie z regułą konstrukcji dedukcji dla implikacji  wyprowadziliśmy implikację: ∃y(S y ∧ xRy) →
∃y(Py∧ xRy). Ponieważ x był dowolnie wybranym obiektem, więc możemy dopisać kwantyfikator ogólny
ze zmienną ‘x’ otrzymując: ∀x(∃y(S y ∧ xRy) → ∃y(Py ∧ xRy)).
Zdania występujące w schemacie wnioskowania:
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a
Każdy S jest P-em
p
x
(SU1 )
Każdy R jakiegoś S -a jest R-em jakiegoś P-a
były interpretowane potocznie. Dlatego w zasadzie nie jest możliwy kwantyfikatorowy zapis zdań ogólnych. Jednakże możemy dla potocznej interpretacji zastosować dla nich pewne «kwantyfikatorowe zastępniki», w których wyrazimy wymaganą niepustość podmiotów zdań ogólnych. Aby to uzyskać potrzebna
p
będzie parafraza pierwszej przesłanki schematu (SU1 ):
Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś S -a
M
a te
Istnieje obiekt, oznaczony jako x, który jest R-em jakiegoś S -a
Istnieje obiekt oznaczony jako x taki, że: x jest R-em jakiegoś S -a
|
{z
}
∃x
∃x(x jest R-em jakiegoś S -a)
∃x(jakiś S , oznaczony jako y, jest taki, że x jest R-em y-a)
∃x(jakiś obiekt, oznaczony jako y, jest taki, że: y jest S -em ∧ x jest R-em y-a)
|
{z
}
∃y
∃x(∃y(S y ∧ xRy))
p
Teraz możemy podać kwantyfikatorowy zapis interpretowanego potocznie schematu (SU1 ):
∃x(∃y(S y ∧ xRy))
∃x S x ∧ ∀x(S x → Px)
p
x
(kSU1 )
∃x(∃y(S y ∧ xRy)) ∧ ∀x(∃y(S y ∧ xRy) → ∃y(Py ∧ xRy))
Od razu widzimy, że skoro poprawny jest schemat (kSU1 ), więc poprawny też jest kwantyfikatorowy
p
schemat (kSU1 ). Istotnie, pierwszym członem wniosku jest po prostu pierwsza przesłanka. Ponadto, jak
pokazuje schemat (kSU1 ), z samego drugiego członu drugiej przesłanki otrzymamy drugi człon wniosku.
Stąd widać, że w ogóle nie był wykorzystany pierwszy człon drugiej przesłanki. Można zauważyć, że
wynika on z pierwszej przesłanki.
Aby uzyskać kwantyfikatorowy zapis schematu wnioskowania (Ar ) musimy dokonać parafrazy jego
pierwszej przesłanki:
a jest R-em każdego P-a
Każdy P jest taki, że a jest R-em jego
8
Ponownie zauważmy, że w tym przypadku jako nazwę pomocniczą możemy wziąć zmienną ‘y’. Nie musimy używać
innej litery; np. ‘w’. Nie w każdym przypadku jednak jest to możliwe. Np. nie byłoby to możliwe wówczas, gdybyśmy do zapisu
przesłanki użyli zmiennej ‘x’, a nie ‘y’.
146
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
Każdy obiekt, oznaczony dalej przez ‘x’, jest taki, że: x jest P-em → a jest R-em x-a
|
{z
}
∀x
∀x(Px → aRx)
Mamy więc:
∀x(Px → aRx)
Pb
x
aRb
Drugi z poprawnych sylogizmów ukośnych miał następującą postać:
(Akr )
Każdy S jest P-em
Każdy R każdego P-a jest R-em każdego S -a
x
(SU2 )
Pokażemy, że w interpretacji matematycznej ma on następujący zapis kwantyfikatorowy:
∀y(S y → Py)
∀x ∀y(Py → xRy) → ∀y(S y → xRy)
x
(kSU2 )
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Tutaj również ‘S y’, ‘Py’ i ‘xRy’ mają zastępować odpowiednio schematy: ‘y jest S -em’, ‘y jest P-em’ oraz
‘x jest R-em y-a’. Jednakże możemy potraktować ‘S y’ i ‘Py’ jako dowolne formuły ze zmienną wolną ‘y’,
a ‘xRy’ jako dowolną formułę ze zmiennymi wolnymi ‘x’ i ‘y’. Po dokonaniu kwantyfikatorowej parafrazy
otrzymujemy niezawodny schemat (kSU2 ).
Poprzez odpowiednią parafrazę dojdziemy do zapisu (kSU2 ). Przesłanka w (SU2 ) ma postać ‘Każdy
S jest P-em’. Zatem jej kwantyfikatorowym zapisem jest m.in.: ∀y(S y → Py). Zajmiemy się więc parafrazą wniosku w (SU2 ). Skorzystamy przy tym z przyjętej parafrazy zdań ogólno-twierdzących oraz z
analogicznej parafrazy do tej, którą dokonaliśmy dla pierwszej przesłanki w (Ar ):
∀x x jest R-em każdego P-a → x jest R-em każdego S -a
∀x ∀y(y jest P-em → x jest R-em y-a) → ∀y(y jest S -em → x jest R-em y-a)
∀x ∀y(Py → xRy) → ∀y(S y → xRy)
M
a te
r ia
Możemy przeprowadzić dedukcję pokazującą niezawodność schematu (kSU2 ). Uwidoczni to to, że
musimy dwukrotnie zastosować regułę uogólniania.
Dowód dla (kSU2 ): Załóżmy, że przesłanka jest prawdziwa. Skoro mamy wyprowadzić wniosek ogólny, więc trzeba zastosować regułę uogólniania. Wybieramy więc dowolny obiekt i oznaczamy go przez
‘x’.9 Mamy pokazać, że spełnia on implikację: x jest R-em każdego P-a → x jest R-em każdego S -a.
W zapisie formalnym: ∀y(Py → xRy) → ∀y(S y ∧ xRy). Następnie to uogólniamy na wszystkie obiekty,
dodając kwantyfikator ogólny ze zmienną ‘x’ i otrzymując dowodzony wniosek.
Skoro mamy wyprowadzić implikację, więc zakładamy, że zachodzi jej poprzednik. Przy tym dodatkowym założeniu mamy dojść do jej następnika.10 Zatem zakładamy, że x jest R-em każdego P-a.
W zapisie formalnym: ∀y(Py → xRy). Mamy dojść do następnika: ∀y(S y → xRy).
Musimy więc ponownie zastosować regułę uogólniania. Wybieramy dowolny obiekt i oznaczmy go
przez ‘y’.11 Mamy pokazać, że zachodzi implikacja: S y → xRy.
Skoro mamy wyprowadzić implikację, więc zakładamy, że zachodzi jej poprzednik i dojść do jej
następnika.12 Zatem zakładamy, że S y. Mamy dojść do następnika: xRy.
Korzystając z wyjściowej przesłanki stosujemy rozumowanie typu (Ak ):
∀y(S y → Py)
Sy
Py
x
otrzymując, że Py. Wykorzystujemy ten wniosek pośredni i założony poprzednik głównej implikacji we
wniosku stosujemy rozumowanie typu (Akr ):
∀y(Py → xRy)
Py
x
xRy
9
Por. przypisy 6 i 8.
Por przypis 7.
11
Por. przypisy 6 i 8.
12
Por przypis 7.
10
147
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 10
Otrzymujemy: xRy. A skoro dostaliśmy to przy założeniu S y, więc otrzymujemy implikację: S y → xRy.
Skoro y był dowolnie wybranym obiektem, więc możemy dopisać kwantyfikator ogólny ze zmienną ‘y’
otrzymując: ∀y(S y → xRy). A skoro dostaliśmy to przy założeniu ∀y(Py → xRy), więc otrzymujemy
implikację: ∀y(Py → xRy) → ∀y(S y → xRy). Skoro x był dowolnie wybranym obiektem, więc stosujemy ponowne uogólnienie, dopisując kwantyfikator ogólny ze zmienną ‘x’. Otrzymujemy wniosek:
∀x(∀y(Py → xRy) → ∀y(S y → xRy)).
Zdania występujące w schemacie wnioskowania:
Istnieje co najmniej jeden R jakiegoś P-a
Każdy S jest P-em
Każdy R każdego P-a jest R-em każdego S -a
p
(SU2 )
x
były interpretowane potocznie. Dlatego w zasadzie nie jest możliwy kwantyfikatorowy zapis zdań ogólnych. Jednakże ponownie użyjemy pewnych «kwantyfikatorych zastępników», w których wyrazimy wymaganą niepustość podmiotów zdań ogólnych. Stosując poprzednie uzyskane kwantyfikatorowe parafrap
zy, możemy podać kwantyfikatorowy zapis interpretowanego potocznie schematu (SU1 ):
∃x(∀y(Py → xRy))
∃x S x ∧ ∀x(S x → Px)
∃x(∀y(Py → xRy)) ∧ ∀x(∀y(Py → xRy) → ∀y(S y → xRy))
x
p
(kSU2 )
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Od razu widzimy, że skoro poprawny jest schemat (kSU2 ), więc poprawny też jest kwantyfikatorowy
p
schemat (kSU2 ). Istotnie, pierwszym członem wniosku jest po prostu pierwsza przesłanka. Ponadto, jak
pokazuje schemat (kSU2 ), z samego drugiego członu drugiej przesłanki otrzymamy drugi człon wniosku.
Stąd widać, że w ogóle nie był wykorzystany pierwszy człon drugiej przesłanki.