Układy równa´n liniowych - Polsko

Algebra
Układy równań liniowych
Aleksandr Denisiuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Układy równań liniowych
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Przykład układu równań liniowych
Przykład 1.
(
ax + by = c,
dx + ey = f.
Algebra – p. 3
Ogólny układ równań liniowych
Definicja 2. Układem równań liniowych nazywa sie˛ układ:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,



a x + a x + · · · + a x = b ,
21 1
22 2
2n n
2

...................................



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm .
(1)
• aij — współczynniki układu 1,
• bj — wyrazy wolne,
• rozwiazaniem
˛
układu nazywamy uporzadkowan
˛
a˛ n-tk˛e liczb
(x01 , x02 , . . . , x0n ), które po podstawieniu w miejsce xi , do
równań układu 1 daja˛ równości prawdziwe.
Algebra – p. 4
Układ jednorodny
Definicja 3. Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie
wyrazy wolne tego układu sa˛ równe zeru

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0,



a x + a x + · · · + a x = 0,
21 1
22 2
2n n

..................................



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0.
(2)
• dla dowolnych wyrazów wolnych układ 2 nazywa sie
powiazanym
˛
z układem 1
Algebra – p. 5
Macierze układu
Definicja 4. Tabela wpółczynników


a11 a12 . . . a1n
a

 21 a22 . . . a2n 
A=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
nazywa sie˛ macierza˛ układu 1.
Definicja 5. Tabela wpółczynników i wyrazów wolnych

a11 a12 . . . a1n b1
a

 21 a22 . . . a2n b2 
à = 

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm

nazywa sie˛ macierza˛ rozrzerzona˛ układu.
Algebra – p. 6
Wektory wyrazów wolnych, niewiadomych i rozwiaza
˛ ń




b1
 
 b2 

Definicja 6. Columna b = 
 ..  nazywa sie˛ wektorem wyrazów wolnych
 . 
bm
układu 1.
x1
 
 x2 
 nazywa sie˛ wektorem niewiadomych.
Definicja 7. Columna x = 
.
 . 
 . 
xn
 
x01
 0
 x2 
0

Definicja 8. Columna x = 
˛ ń.
 ..  nazywa sie˛ wektorem rozwiaza
 . 
x0n
Algebra – p. 7
Uwaga o zapisie wektorów
• Dla oszcz˛edności miejsca wektory zapisywane sa˛ również
Uwaga 9.
jako wiersze:
◦ b = b1 b2 . . . bm
◦ x = x1 x2 . . . xm
◦ x0 = x0 x0 . . . x0
m
1
2
• Żeby podkreślić, że to sa˛ wektory-kolumny, czasami używa sie˛ nawisów
kwadratowych lub klamrowych oraz przecinków:
o
i n
h
◦ b = b1 b2 . . . bm = b1 , b2 , . . . , bm
o
i n
h
◦ x = x1 x2 . . . xm = x1 , x2 , . . . , xm
o
i n
h
◦ x0 = x0 x0 . . . x0 = x0 x0 . . . x0
m
m
1
2
1
2
Algebra – p. 8
Klasyfikacja układów — ilość rozwiaza
˛ ń
Definicja 10. Układ 1 nazywa sie˛
• sprzecznym, jeżeli on nie ma rozwiaza
˛ ń,
• określonym, jeżeli on ma dokładnie jedno rozwiazanie,
˛
• nieokreślonym, jeżeli on ma wiecej
˛
niż jedno rozwiazanie.
˛
Przykład 11.
(
x1 − 2x2 = 1,
•
x1 − 2x2 = −1.
(
x1 + x2 = 1,
•
x1 − x2 = 0.
(
x1 + x2 = 1,
•
2x1 + 2x2 = 2.
Algebra – p. 9
Klasyfikacja układów — kształt macierzy
Definicja 12. Układ 1 (oraz macierz układu) nazywa sie˛
• kwadratowym, jeżeli m = n (ilość równań zgadza sie˛ z ilościa˛
niewiadomych),
• diagonalnym (przekatnym),
˛
jeżeli w macierzy poza główna˛ przekatn
˛ a˛ sa˛
same zera, aij
= 0 dla j 6= j ,
• schodkowym (trójkatnym),
˛
jeżeli w macierzy pierwsze niezerowe
elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajduja˛ sie˛ w coraz dalszych
kolumnach.
Przykład 13. Na tablicy
Algebra – p. 10
Układy równoważne
Definicja 14. Dwa układy sa˛ równoważne, jeżeli zgadzaja˛ sie˛ zbiory ich
rozwiaza
˛ ń.
• każde da sprzeczne układy sa˛ równoważne
• dla niesprzecznych układów U1 i U2 koniecznie i wystarczy
żeby każde rozwiazanie
˛
U1 było rozwiazaniem
˛
U2 i każde
rozwiazanie
˛
U2 było rozwiazaniem
˛
U1
Przykład 15. Na tablicy
Algebra – p. 11
Przekształcenia elementarne
Definicja 16. Układ U2 jest otrzymany z układu U1 za pomoca˛
przekształcenia elementarnego, jeśli
1. wszystkie równania układu U2 oprócz równania i sa˛ niezmienne,
a równanie i zostało pomnożono przez niezerowa˛ liczbe˛ α,
2. wszystkie równania układu U2 oprócz równań i i j sa˛ niezmienne,
a równania i i j zostały zamienione miejscami,
3. wszystkie równania układu U2 oprócz równania j sa˛ niezmienne, a do
równania j zostało dodane równanie i, mnożone przez czynnik α.
Algebra – p. 12
Przekształcenie elementarne 1 na macierzy

a11 a12 . . . a1n b1


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


 ai1 ai2 . . . ain bi 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


am1 am2 . . . amn bm


a11 a12 . . . a1n b1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


αai1 αai2 . . . αain αbi  ,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


am1 am2 . . . amn bm

α 6= 0.
Algebra – p. 13
Przekształcenie elementarne 2 na macierzy

a11 a12 . . . a1n b1
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 ai1 ai2 . . . ain bi 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 aj1 aj2 . . . ajn bj 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm


a11 a12 . . . a1n b1
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 aj1 aj2 . . . ajn bj 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




 ai1 ai2 . . . ain bi 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm

Algebra – p. 14
Przekształcenie elementarne 3 na macierzy

a11
a12 . . .
a1n b1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 




 ai1
a
.
.
.
a
b
i2
in i 




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 




aj2
...
ajn bj 
 aj1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


am1 am2 . . . amn bm


a11
a12
...
a1n
b1


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.
.
.






a
a
.
.
.
a
b
i1
i2
in
i




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .




aj1 + αai1 aj2 + αai2 . . . ajn + αain bj + αbi 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 


am1
am2
...
amn
bm

Algebra – p. 15
Twierdzenia
Twierdzenie 17. Przekształcenia elementarne sa˛ odwracale
Twierdzenie 18. Jeżeli układ U2 został otrzymany z układu U1 za pomoca˛
przekształceń elementarnych, to te dwa układy sa˛ równoważne
Twierdzenie 19. Każdy układ może zostać sprowadzony do postaci
schodkowej za pomoca˛ przekształceń elementarnych
Twierdzenie 20 (Metoda eliminacji Gaussa). Każda macierz może zostać
sprowadzona do postaci schodkowej za pomoca˛ przekształceń elementarnych
Twierdzenie 21. Każdy układ (każda macierz) może zostać sprowadzona do
postaci schodkowej tylko za pomoca˛ przekształceń elementarnych 2 i 3.
Algebra – p. 16
Układ w postaci schodkowej


ā11 x1 + · · · · · · · · · · · · + ā1n xn = b̄1 ,





ā2k xk + · · · · · · · · · + ā2n xn = b̄2 ,




ā3l xl + · · · · · · + ā3n xn = b̄3 ,




·························

ārs xs + · · · + ārn xn = b̄r ,





0 = b̄r+1 ,




·········




0 = b̄m ,
(3)
Definicja 22. Zmienne x1 , xk , xl , . . . , xs , gdzie ā11 ā2k ā3l . . . ārs 6= 0,
nazywane se˛ zmiennymi głównymi, pozostałe zmienne sa˛ wolne (swobodne).
Algebra – p. 17
Analiza układu schodkowego
Twierdzenie 23. Układ 1 jest niesprzecznym wtedy i tylko wtedy, dgy
równoważny jemu układ schodkowy 3 nie zawiera równań postaci 0 = b̄t ,
gdzie b̄t 6= 0. Jeżeli warunek ten jest spełniony, to zmiennym wolnym można
nadać dowolne wartości. Zmienne główne zostana˛ przez nie jednoznacznie
określone z układu 3.
Twierdzenie 24. Niesprzeczny układ 1 jest określony wtedy i tylko wtedy, dgy
w równoważnym jemu układzie schodkowym 3 spełniono jest r = n.
Twierdzenie 25. Niesprzeczny i nieokreślony układ ma nieskończenie wiele
rozwiaza
˛ ń.
Wniosek 26. Układ 1, w którym m = n jest określony wtedy i tylko wtedy,
dgy w równoważnym jemu układzie schodkowym 3 a11 a22 . . . ann 6= 0.
Wniosek 27. Układ 1, w którym m = n jest określony wtedy i tylko wtedy,
dgy powiazany
˛
z nim układ jednorodny ma tylko zerowe rozwiazanie.
˛
Wniosek 28. Niesprzeczny układ 1, w którym n
> m jest nieokreślonym.
Algebra – p. 18
Przykład


5x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 = 10,
2x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 4,


x1 + 7x2 + 9x3 + 4x4 = 2;
Algebra – p. 19
Wyznacznik macierzy 2 × 2
Definicja 29.
a b a b
det
=
= ad − cb
c d
c d
a
11 a12 Definicja 30. Wyznacznik nazywa sie˛ wyznacznikiem układu
a21 a22 !
(
a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2 ,
Algebra – p. 20
Wzory Cramera — układ 2 × 2
Twierdzenie 31. Rozwiazanie
˛
układu
(
a11 x1 + a12 x2 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 = b2 ,
dane jest wazorem
b
1
b2
x1 = a11
a21
a12 a22 ,
a12 a22 a
11
a21
x2 = a11
a21
b1 b2 .
a12 a22 Algebra – p. 21
Wzory Cramera — układ jednorodny
Twierdzenie 32. Rozwiazanie
˛
układu
(
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0,
dane jest wzrem
a
a
12 13 x1 = ,
a22 a23 a
a
11 13 x2 = − ,
a21 a23 a
a
11 12 x3 = .
a21 a22 Algebra – p. 22
Wyznacznik macierzy 3 × 3
Definicja 33.

 a11 a12 a13
a
a
a
11
12
13

 det a21 a22 a23  = a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −
− a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a32 a23 a11
Algebra – p. 23
Wzory Cramera — układ 3 × 3
Twierdzenie 34. Rozwiazanie
˛
układu
dane jest wzorem
b
1
b2
b3
x1 = a
11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32


a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,

a x + a x + a x = b .
31 1
32 2
33 3
3
a13 a23 a33 ,
a13 a23 a33 a
11
a21
a31
x2 = a
11
a21
a31
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13 a23 a33 ,
a13 a23 a33 a
11
a21
a31
x3 = a
11
a21
a31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
b1 b2 b3 a13 a23 a33 Algebra – p. 24