Wykład 14. Elementy algebry macierzy— 21.01.08 Układ równa´n z

Wykład 14. Elementy algebry macierzy— 21.01.08
Układ równań z dwoma niewiadomymi
Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi:
a11 x + a12 y = h1
a21 x + a22 y = h2 .
a11 , a12 , a21 , a22 sa˛ znane, x i y sa˛ niewiadomymi.
Jeżeli pierwsze z równań pomnożymy przez a22 a drugie przez a12 , a
nast˛epnie odejmiemy drugie równanie od pierwszego, otrzymamy:
(a11 a22 − a12 a21 )x = h1 a22 − h2 a12 .
Jeśli a11 a22 − a12 a21 6= 0, to
x=
h1 a22 − h2 a12
a11 a22 − a12 a21
1
Układy równań i poj˛ecie macierzy
Analogicznie:
h2 a11 − h1 a12
y=
a11 a22 − a12 a21
Problem. W jaki sposób uogólnić te wzory na przypadek układu n równań
z n niewiadomymi?
Użyteczne jest w tym celu poj˛ecie macierzy.
Definicja 1 Macierza˛ A wymiaru m × n nazywamy tablic˛e liczb:


a11 a12 · · · a1n


 a

 21 a22 · · · a2n 
A=
..
.. 
..
 ..

.
.
. 
 .


..
am1 am2
.
amn
2
Poj˛ecie macierzy— c.d.
Macierz A (w Definicji 1) składa si˛e z m wierszy i n kolumn.
Skrócony zapis:
A = (aij )(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n).
Jeśli m = n, to macierz jest kwadratowa, a n nazywamy jej stopniem.
3
Macierze diagonalne
Ważna klasa macierzy kwadratowych: macierze diagonalne (przekatniowe)
˛
postaci


d1 0 · · · 0


 0 d ··· 0 
2



 = diag(d1 , d2 , . . . , dn )
D= .
.
.
.
..
..
.. 
 ..



..
0 0
.
dn
Macierz jednostkowa (identycznościowa) In jest określona wzorem
In = diag(1, 1, . . . , 1).
4
Wektory i macierze
Wektor kolumnowy x = (xi )(i = 1, 2, . . . , m) : macierz składajaca
˛ si˛e z
jednej kolumny.

x
 1

 x2
x=
 ..
 .

xm
5








Macierze— przykłady
Wektor kolumnowy x = (xi )(i = 1, 2, . . . , m) : macierz składajaca
˛ si˛e z
jednej kolumny.

2
 
1
  
 3  ,  −10
  
5
−2
 
3 −8
0
2
 

3 
 ,  −10
6
12
4
5 −4
1
3 −8
2
1



1


4 ,
0
5
0
1

.
Macierze: 3 × 1 (wektor kolumnowy) , macierz wymiaru 3 × 4, macierz
kwadratowa stopnia 3, macierz identycznościowa stopnia 2.
6
Operacje na macierzach
Dla macierzy A i B wymiaru m × n
A = (aij )(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n),
B = (bij )(i = 1, 2, . . . , m)
sum˛e C = (cij )(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) określamy wzorem
cij = aij + bij .
Dla macierzy A = (aij )(i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) i
B = (bjk )(i = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p) określony jest ich iloczyn
C = (cik )(i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p) wzorem
cik =
n
X
aij bjk ,
i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p.
j=1
7
Zapis macierzowy układu równań
Układ równań
a11 x + a12 y = h1
(1)
a21 x + a22 y = h2
(2)
można zapisać w postaci:
Av = h,
gdzie

A=
a11
a12
a21
a22


,v = 
8
x
y


,h = 
h1
h2

.
Wyznacznik macierzy kwadratowej
Dla macierzy kwadratowej (aij )(i = 1, 2, . . . , 2; j = 1, 2, . . . , 2) stopnia 2,
jej wyznacznik, oznaczony symbolem |A| (lub det A) definiujemy wzorem:
|A| = a11 a22 − a12 a21 .
Dla macierzy kwadratowej A stopnia 3, A = (aij )(i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)
jej wyznacznik definiujemy wzorem:
|A| = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a12 a21 a33 −a11 a23 a32 −a13 a22 a31 .
(3)
Wyznacznik macierzy kwadratowej st. n— suma n! składników.
9
Wyznacznik macierzy— zastosowanie do rozwiazywania
˛
układu równań
Rozwiazanie
˛
układu równań (1)–(2) można zapisać w postaci:
x=
|A1 |
,
|A|
y=
|A2 |
,
|A|
gdzie

A1 = 

A2 = 
h1
a12
h2
a22
a11
h1
a21
h2

,

.
Zakładamy, że |A| =
6 0. Dla układów równań z liczba˛ niewiadomych > 2
— analogiczne wzory.
10
Inne metody rozwiazywania
˛
układów równań
• eliminancja Gaussa; por. [Bed04, str. 170–171];
• metody oparte na tzw. dekompozycjach macierzowych (np. QR).
11
Macierze i przekształcenia płaszczyzny
Przekształcenia płaszczyzny, takie jak: symetria wzgledem osi OX lub obrót
o kat
˛ α wzgl˛edem środka układu współrz˛ednych, można opisać przy użyciu
macierzy stopnia 2.
Np. punktowi P = [ xy ] w wyniku
płaszczyzny o kat
˛ α zostanie
h obrotu
i
0
x0
y0
przyporzadkowany
˛
punkt P =
,
 
  
x
cos α − sin α
x0
 .
 =
y
sin α cos α
y0
Mnożenie macierzy— odpowiada składaniu przekształceń. Oznaczmy
macierz obrotu o kat
˛ α przez Rα ,


cos α − sin α

.
Rα =
sin α cos α
12
Macierze i przekształcenia płaszczyzny— c.d.
Można pokazać, że
Rα+β = Rα Rβ
dla dowolnych katów
˛
α i β. Macierz I = ( 10 01 ) odpowiada przkształceniu
identycznościowemu płaszczyzny.
13
Macierz odwrotna
Macierz kwadratowa˛ A nazywamy nieosobliwa,˛ jeśli |A| =
6 0.
Można pokazać, że jeśli A jest macierza˛ nieosobliwa˛ stopnia n, to istnieje
dokładnie jedna macierz B spełniajaca
˛ równość:
AB = In .
Macierz B (spełniajac
˛ a˛ powyższa˛ równość) nazywamy macierza˛ odwrotna˛
do A i oznaczamy symbolem A−1 .
14
Obliczanie macierzy odwrotnej
• jawna postać macierzy odwrotnej— można ja˛ wyrazić wykorzystujac
˛
poj˛ecie wyznacznika;
• praktyczny sposób obliczania wyznacznika macierzy odwrotnej—
metoda elementarna (por. [Bed04, str. 165]).
15
Obliczanie macierzy odwrotnych dla macierzy
kwadratowych stopnia 2 i 3
Dla macierzy nieosobliwej A =
a b
c d

−1
A
1 d
=
|A| −b

−c
,
a
dla macierzy nieosobliwej

a11

A=
a21
a31
a12
a13
a22

a23 

a33
a32
16

mamy
A−1

| aa22
32

1  a23
=
|
|A|  a33
| aa21
31
a23
a33
|
a12
| aa13
33 a32
|
a21
a31
|
| aa11
31
a13
a33
| | aa13
23
a22
a32
|
| aa12
32
a11
a31
|
17

|

a11 
a21 | .
a12
a22 |
a13
| aa12
22 a23
| aa11
21
Zastosowanie do rozwiazywania
˛
układu równań liniowych
Jesteśmy zainteresowani rozwiazaniem
˛
układu równań:
Av = h,
(4)
gdzie A jest macierza˛ nieosobliwa˛ stopnia n ­ 2, h jest znanym wektorem
n-wymiarowym, v jest n-wymiarowym wektorem niewiadomych.
Rozwiazaniem
˛
układu równań (4) jest
v = A−1 h.
Obliczanie macierzy odwrotnej przy użyciu tego wzoru zalecane, gdy
chcemy rozwiazać
˛ równanie (4) dla kilku wartości h (macierz A si˛e nie
zmienia).
18
Zastosowanie– znajdowanie równania paraboli
przechodzacej
˛ przez zadane trzy punkty.
Chcemy znaleźć równanie paraboli, której równanie dane jest wzorem
y = ax2 + bx + c, przechodzacej
˛ przez punkty P1 = (x1 , y1 ),
P2 = (x2 , y2 ), P3 = (x3 , y3 ). Zakładamy, że P1 , P2 i P3 nie leża˛ na jednej
prostej.
Problem sprowadza si˛e do znalezienia rozwiazania
˛
układu równań:
Av = y,
gdzie

1 x1

A=
1 x2
1 x3

 
 
c
y1

 
 
2 , v =   , y =   .
x2 
b
y2 
x23
a
y3
x21
Założyliśmy, że punkty P1 , P2 , i P3 nie leża˛ na jednej prostej— stad
˛
19
wynika, że x1 , x2 i x3 sa˛ różne (od siebie wzajemnie); można pokazać, że
stad
˛ wynika, że wyznacznik macierzy A jest różny od 0, a zatem do
znalezienia rozwiazania
˛
układu równań można zastosować podany na
wykładzie wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do macierzy
kwadratowej stopnia 3.
Metody algebry macierzowej znajduja˛ zastosowanie zagadnień zwiazanych
˛
z „dopasowywaniem równań do danych” (np. należy „dopasować” parabol˛e
do punktów P1 = (x1 , y1 ), . . . , Pn = (xn , yn ), gdzie n > 3).
20
Polecana literatura
[Bed04] Tadeusz Bednarski, Elementy matematyki w naukach
ekonomicznych, Oficyna Ekonomiczna 2004, Rozdz. 5.
21