wykład 12
Transkrypt
wykład 12
Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu postępowym. Zasada pędu i popędu ma postać: p 2 − p1 = S1, 2 gdzie: p = m ⋅ vc pęd bryły w ruchu postępowym t2 S1, 2 = ∫ W ⋅ dt popęd siły działającej na bryłę w ruchu postępowym t1 zaś: vc prędkość środka masy bryły (równa prędkości każdego punktu) W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( M c = 0 ) Prof. Edmund Wittbrodt Pokręt i kręt bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada krętu, krętu i pokrętu oraz zasada zachowania krętu. Dla ruchu postępowego, obrotowego i płaskiego bryły słuszne są zasady krętu, krętu i pokrętu oraz zasada zachowania krętu, które możemy sformułować w postaci następujących twierdzeń. Twierdzenie 1 Pochodna względem czasu krętu ciała, względem punktu O, jest równa momentowi sił zewnętrznych działających na to ciało względem tego samego punktu O K& O = M O . (4.68) Równanie (4.68) możemy też przedstawić w postaci t2 ∫ K O 2 − K O1 = M O dt t1 . (4.69) Twierdzenie 2 Pokręt sił zewnętrznych względem punktu O działających na ciało jest równy przyrostowi krętu tego ciała Twierdzenie 3 Jeżeli moment sił zewnętrznych działających na ciało względem punktu O jest równy zero, to kręt tego ciała względem punktu O nie może ulec zmianie K O = const . (4.70) Prof. Edmund Wittbrodt Pokręt i kręt bryły w ruchu postępowym względem nieruchomego punktu O obliczamy: t2 t2 t1 t1 Π1, 2 = ∫ M O ⋅ dt = rOC × ∫ W ⋅ dt = rOC × S1, 2 K O = rOC × mv c pokręt, kręt bryły w ruchu postępowym gdzie: rOC – wektor promień o początku w punkcie O i końcu w środku masy ciała, vC – prędkość środka masy bryły (jednakowa dla wszystkich punktów), m – masa bryły. mv C rOC KO O Kręt bryły w ruchu postępowym Prof. Edmund Wittbrodt Pokręt i kręt bryły w ruchu obrotowym obliczamy następująco. Równanie (4.77) przekształcamy do postaci d ( J zω ) = M z , dt J zω 2 ∫ a po scałkowaniu J zω1 t2 d ( J zω ) = ∫ M z dt t1 , otrzymujemy t2 J zω 2 − J zω1 = M z dt ∫ t1 gdzie: J zω , (4.83) kręt bryły w ruchu obrotowym, t2 ∫ M z dt t1 pokręt (impuls momentu). Prof. Edmund Wittbrodt Pokręt i kręt bryły w ruchu płaskim względem dowolnego, nieruchomego punktu O, obliczamy: t2 Π1, 2 = ∫ ( M C + rOC × WC ) ⋅ dt pokręt siły i momentu działającego na bryłę t1 K O = K C + rOC × mvC kręt bryły względem punktu O gdzie: KC – kręt ciała względem środka masy, rOC – wektor a początku w punkcie O i końcu w środku masy bryły, vC – prędkość środka masy bryły, m – masa bryły. vC C rOC KO Kręt bryły w ruchu płaskim O Prof. Edmund Wittbrodt Praca i energia bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada energii i pracy ma w tym przypadku postać podobną, jak dla punktu materialnego. Przyrost energii kinetycznej przy przemieszczaniu ciała z jednego położenia w drugie jest równy pracy wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało ∆ E = E2 − E1 = L1,2 , (4.72) gdzie: E1 – energia kinetyczna bryły w położeniu początkowym, E2 – energia kinetyczna bryły w położeniu końcowym, L1,2 – praca sił i zewnętrznych, wykonana na drodze od położenia początkowego do końcowego bryły. Różniczkową postać zasady energii otrzymamy przez zróżniczkowanie (4.72) względem czasu E& = N , gdzie: E – energia kinetyczna bryły, (4.73) N= dL dt – moc. Prof. Edmund Wittbrodt Pracę i energię bryły w ruchu postępowym możemy obliczyć, określając najpierw energię kinetyczną masy elementarnej a) W dm b) dr 2 v 1 tor dE = Bryła w ruchu postępowym: a) określanie energii kinetycznej, b) określanie pracy sił przyłożonych do bryły 1 dmv 2 , co po scałkowaniu daje energię kinetyczną bryły w ruchu postępowym w postaci 2 mv 2 E= 2 , gdzie: m– masa bryły, v – prędkość punktu bryły (jednakowa dla wszystkich punktów). Pracę sił przyłożonych do ciała poruszającego się ruchem postępowym (rys. 4.25b) możemy obliczyć określając najpierw pracę elementarną dL = W ⋅ dr , skąd r2 r2 r1 r1 L1, 2 = ∫ dL = ∫ W ⋅ dr . (4.71) Prof. Edmund Wittbrodt Pracę i energię bryły w ruchu obrotowym obliczamy, przekształcając z kolei równanie (4.77) następująco Jz dω = Mz dt dϕ , co możemy dalej zapisać dϕ Jz dω = J zω dω = M z dϕ , dt po scałkowaniu ω2 ϕ2 ω1 ϕ1 ∫ J zω d ω = ∫ M z dϕ , przyjmuje postać E2 − E1 = L1,2 , gdzie: J zω 2 E= 2 (4.84) energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym, ϕ2 L1,2 = ∫ M z dϕ ϕ1 praca par sił (momentów) działających na bryłę na drodze od ϕ1 do ϕ2 . Prof. Edmund Wittbrodt Praca i energia bryły w ruchu płaskim jest odpowiednio sumą pracy oraz energii ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego bryły względem osi przechodzącej przez środek masy. Energię kinetyczną obliczamy więc vC2 ω2 E = m + JC 2 2 . (4.92) Z kolei praca wykonana przez siły i momenty przyłożone do ciała, zredukowane do jego środka masy, jest sumą s2 ϕ2 s1 ϕ1 L1,2 = ∫ WC ⋅ ds + ∫ M C dϕ , (4.93) gdzie: 〈 s1 , s2 〉 – droga przebyta przez środek masy bryły, 〈ϕ1 , ϕ 2 〉 – kąt obrotu bryły. Prof. Edmund Wittbrodt Obliczanie reakcji dynamicznych łożysk Do obliczania reakcji dynamicznych łożysk w ruchu obrotowym bryły stosujemy zasadę d’Alemberta: Bx z l dAt α By x dAn ρ α z Ax ω y ε Ay dm x y Określanie reakcji dynamicznych łożysk bryły ruchu obrotowym W przypadku obliczania reakcji dynamicznych łożysk (rys. 4.27) warunki równowagi bryły są następujące: Ax + Bx + By l + ∫ (m) ∫ dAn sin α + ∫ dAt cos α = 0 , ( m) zdAn cos α − Ay + By + (m) ∫ ( m) zdAt sin α = 0 , 2 gdzie: dAn = dm ρω , dAt = dmερ , a ponadto: Bx l + ∫ (m) ∫ dAn cos α − ∫ dAt sin α = 0 , (m) (m) zdAn sin α + ρ sin α = x , ρ cos α = y . ∫ ( m) zdAt cos α = 0 , (4.79) Prof. Edmund Wittbrodt Po podstawieniu (4.79) do (4.78) otrzymujemy: Ax + Bx + ω 2 Ay + By + ω 2 By l + ω 2 ∫ ( m) Bx l + ω 2 ∫ xdm + ε ∫ ydm − ε (m) ydm = 0 , ∫ xdm = 0 , ( m) ( m) yzdm − ε ( m) ∫ ( m) ∫ xzdm + ε ∫ ( m) ∫ xzdm = 0 , ( m) a po skorzystaniu z zależności: (4.80) yzdm = 0 , ∫ xdm = xC m , ∫ ydm = yC m , ( m) ( m) ∫ ( m) ∫ (m) xzdm = Dxz , (4.81) yzdm = D yz , Prof. Edmund Wittbrodt otrzymujemy: Ax + Bx = −ω 2 xC m − ε yC m , Ay + B y = −ω 2 yC m + ε xC m , By l = −ω 2 Dyz + ε Dxz . (4.82) Bx l = −ω 2 Dxz − ε D yz , Z powyższych równań wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą równe zero, gdy spełnione będą dwa warunki: 1) środek masy leży na osi obrotu bryły (xC = yC = 0) 2) oś obrotu jest jedną z głównych osi bezwładności obracającej się bryły (Dxz = Dyz = 0). Wirnik, w którym spełnione są te warunki nazywamy wyrównoważonym. Prof. Edmund Wittbrodt