Analiza matematyczna 1 Lista 10 (1) Oblicz długość łuku: (a

Analiza matematyczna 1
Lista 10
(1) Oblicz długość łuku:
(a) paraboli y = x2 , 0 ¬ x ¬ a,
(b) wykresu funkcji f (x) = 31 x3 dla −1 ¬ x ¬ 1 (zastosuj metodę Simpsona dla n = 10 do oszacowania otrzymanej całki)
(c) sinusoidy y = sin x dla 0 ¬ x ¬ π (zastosuj metodę Simpsona dla
n = 10 do oszacowania otrzymanej całki)
(2) Oblicz objętość:
(a) torusa powstałego z obrotu okręgu o środku (0, b) i promieniu r < b
wokół osi x
(b) bryły powstałej z półobrotu paraboli y = x2 wokół osi x dla 0 ¬ x ¬ 1
(c) stożka ściętego powstałego z obrotu wokół osi x odcinka prostej
a−b
x, 0 < b < a, h > 0, 0 ¬ x ¬ h
y =b+
h
(d) bryły powstałej z obrotu wokół osi x obszaru między wykresami funkcji
f (x) = 5x i g(x) = x2 , 0 ¬ x ¬ 3
(e) bryły powstałej z obrotu wokół osi x hiperboli y = 1/x dla 1 ¬ x < ∞.
(3) Oblicz pole powierzchni brył
(a) z punktu (a) poprzedniego zadania
(b) z punktu (e) poprzedniego zadania. Wywnioskować, że farby z naczynia o kształcie tej bryły nie wystarczy do pomalowania powierzchni
naczynia.
(c) stożka powstałego z obrotu odcinka prostej y = cx, c > 0, 0 ¬ x ¬ h,
h > 0, wokół osi x
(4) Całkowe kryterium zbieżności szeregów głosi:
Jeśli
funkcja f jest ciągła, malejąca i dodatnia w przedzialeP
[1, ∞), to
R∞
∞
całka 1 f (x) dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy szereg n=1 f (n)
jest zbieżny.
P∞
Skorzystać z tego kryterium, by pokazać zbieżność szeregów n=1 n1s i
P∞
1
n=1 n(ln n)s dla s > 1 i rozbieżność dla 0 < s ¬ 1.
(5) Zbadaj zbieżność całek niewłaściwych:
Z
∞
−∞
ex
dx,
(1 + ex )2
(6) Czy
Z
e
1/e
1
równość x(x+1)
Z ∞
1
1
dx,
x(ln x)3
=
1
x
−
1
x+1
Z
1
∞
1
dx,
1 + x4
Z
∞
1
implikuje równość
Z ∞
∞
1
1
1
dx =
dx −
dx?
x(x + 1)
x
x
+
1
1
1
Z
1
sin2 x
√
dx.
1 + x3