Zadania 2

Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 15.11.2016
1
1. W ciagu
˛ ilu sekund mijaja˛ si˛e dwa pociagi
˛ jadace
˛ w przeciwnych kierunkach po równoległych
km
˛
sa˛ l1 = 90 m i
torach z pr˛edkościami v1 = 63 km
h i v2 = 54 h , jeżeli długości pociagów
l2 = 105 m. W ciagu
˛ jakiego czasu mijałyby si˛e te pociagi,
˛ gdyby jechały w jednym kierunku?
Jaka jest pr˛edkość jednego z tych pociagów
˛
wzgl˛edem drugiego?
2. Punkt porusza si˛e wzdłuż osi OZ. Położenie ciała zmienia si˛e w czasie jak z(t) = α + βt +
γt2 + δt3 . Jakie jednostki maja˛ współczynniki α, β, γ, δ? Ile wynosi średnia pr˛edkość ciała
pomi˛edzy druga˛ a czwarta˛ sekunda˛ ruchu? Ile wynosi średnie przyspieszenie ciała w trzeciej
sekundzie ruchu? Ile wynosi pr˛edkość oraz przyspieszenie po trzeciej sekundzie ruchu?
3. Punkt porusza si˛e po torze:
~r(t) = R cos(2ωt)x̂ + R sin
ω
2t
ŷ + R
p
1 + at2 ẑ.
Prosz˛e znaleźć pr˛edkość i przyspieszenie punktu. R, a i ω sa˛ wielkościami niezależnymi od
czasu. x̂, ŷ oraz ẑ sa˛ nieruchomymi wersorami wzdłuż odpowiednich osi układu współrz˛ednych.
4. Równania ruchu dwóch punktów materialnych obserwowanych z danego układu współrz˛ednych wygladaj
˛ a˛ nast˛epujaco:
˛
~r1 = [0, 2, 0] + [3, 1, 2]t + [1, 1, 0]t2
~r2 = [1, 0, 1] + [0, 2, 1]t
Znaleźć:
(a) przyspieszenie, pr˛edkość punktu pierwszego i drugiego obserwowane w układzie w którym podane sa˛ ~r1 oraz ~r2 ,
(b) pr˛edkość ~u punktu drugiego wzgl˛edem pierwszego,
(c) przyspieszenie ~a punktu drugiego wzgl˛edem pierwszego,
(d) kiedy i gdzie obie czastki
˛
b˛eda˛ najbliżej siebie.
5. Ciało rzucono z pr˛edkościa˛ v0 pod katem
˛
α do poziomu. Znajdź:
(a) równanie toru ruchu,
(b) zależność położenia x(t) oraz y(t),
(c) pr˛edkość ~v oraz |~v |,
(d) przyspieszenie ~a oraz |~a|,
(e) zasi˛eg rzutu, czas jego trwania, maksymalna˛ wysokość na jaka˛ wzniesie si˛e ciało.
Pod jakim katem
˛
należy rzucić ciało, aby zasi˛eg rzutu był maksymalny? Dla jakiej wartości
kata
˛ α zasi˛eg rzutu b˛edzie dwa razy wi˛ekszy od osiagni˛
˛ etej wysokości? Opory powietrza
należy zaniedbać. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
6. Moździerz umieszczony jest w odległości L = 8100 m od górnej kraw˛edzi uskoku (Rys. 1),
który opada o H = 105 m poniżej poziomu moździerza. W jakiej najmniejszej odległości ∆x
od dolnej kraw˛edzi uskoku moga˛ spadać pociski jeżeli wylatuja˛ z lufy z szybkościa˛ v = 300
m/s. Zaniedbać opór powietrza.
7. Granat zawieszony na nici na wysokości h nad ziemia˛ eksplodował tak, że odłamki rozleciały
si˛e symetrycznie we wszystkich kierunkach z szybkościami poczatkowymi
˛
v0 . Po jakim czasie
dokładnie połowa odłamków znajdzie si˛e na ziemii? Po jakim czasie wszystkie odłamki znajda˛
si˛e na ziemi? Przyspieszenie grawitacyjne jest stałe i wynosi g.
Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 15.11.2016
2
8. Z wysokości h nad powierzchnia˛ równi pochyłej, pochylonej pod katem
˛
α do podłoża, spada
kulka i odbija si˛e spr˛eżyście od równi. Po odbiciu kulka ponownie spada na powierzchni równi.
Znaleźć kat
˛ równi zapewniajacy
˛ najwi˛ekszy zasi˛eg odbitej kulki liczony w kierunku poziomym
oraz w kierunku pionowym.
9. Punkt materialny porusza si˛e po okr˛egu o promieniu R. Zakładajac,
˛ że pr˛edkość katowa
˛
jest
stała i równa ω znajdź:
(a) równanie krzywej po której porusza si˛e punkt,
(b) zależność x(t) oraz y(t),
(c) pr˛edkość ~v oraz |~v |,
(d) przyspieszenie ~a oraz |~a|,
(e) katy
˛ pomi˛edzy wektorami opisujacymi
˛
położenie punktu materialnego, jego pr˛edkość
oraz przyspieszenie.
Rachunki należy przeprowadzić w kartezjańskim układzie współrz˛ednych.
10. Po rzece płynie łódka ze stała˛ pr˛edkościa˛ wzgl˛edem wody skierowana˛ prostopadle do kierunku
pradu:
˛ ~v = v ŷ. Pr˛edkość wody w rzece jest równoległa do brzegów i zależy od odległości od
e
brzegu zgodnie z wzorem: ~u = u0 sin πy
L x̂, gdzie L jest szerokościa˛ rzeki (brzegi znajduja˛ si˛
w położeniach: y = 0 i y = L). Znaleźć wektor pr˛edkości łódki wzgl˛edem brzegów rzeki oraz
równanie toru łódki w postaci x(y), gdzie x i y sa˛ składowymi położenia łódki w kierunku
odpowiednio wersora x̂ i ŷ. Załóżmy dodatkowo, że x(y = 0) = 0.
11. Człowiek znajdujacy
˛ si˛e w punkcie A chce jak najszybciej dotrzeć do punktu B (Rys. 2). Po
drodze znajduje si˛e szeroki basen z woda.˛ Na ladzie
˛
człowiek może si˛e poruszać z pr˛edkościa˛
v1 , zaś w wodzie z pr˛edkościa˛ v2 (v2 < v1 ). Prosz˛e pokazać, że optymalna trasa odpowiada
nast˛epujacej
˛ relacji katów
˛
α i β:
sin α
v1
= .
sin β
v2
A α
v1 v2 β
B Rys. 1
A
Rys. 2
α
D=2R
Rys. 3
√
12. Punkt porusza si˛e po prostej z przyspieszeniem a = −a0 v, gdzie a0 jest stała,˛ natomiast v
jego pr˛edkościa.˛ Poczatkowa
˛
pr˛edkość punktu wynosiła v0 . Obliczyć drog˛e jaka˛ pokona punkt
do chwili zatrzymania.
Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 15.11.2016
3
13. Z punktu A wychodzi ci˛eciwa koła o średnicy D (rys. 3). Na ci˛eciwie w punkcie A znajduje
si˛e koralik, który może si˛e po niej ślizgać bez tarcia. Jak należy dobrać kat
˛ α (zakładamy,
˛ si˛e pod wpływem stałego przyspieszenia ziemskiego
że: − π2 < α < π2 ) aby koralik zsuwajac
g (na rysunku skierowanego pionowo w dół) dotarł jak najszybciej do obwodu koła (droga
zaznaczona na czerwono)? Ile wynosi czas zsuwania si˛e koralika dla tak dobranego α?
PFG