ANALIZA FUNKCJONALNA SPPI II, sem. letni LISTA 4 Wroc law, 18

ANALIZA
FUNKCJONALNA
SPPI II, sem. letni
LISTA 4
WrocÃlaw, 18 marca 2007
ZADANIE 1. Sprawdź, czy funkcja H(f ) = F , z przestrzeni C([a, b]) funkcji
cia̧gÃlych na przedziale [a, b] z metryka̧ supremum w ta̧ sama̧ przestrzeń, gdzie F
jest funkcja̧ pierwotna̧ z f speÃlniaja̧ca̧ warunek pocza̧tkowy F (a) = c, (c dowolna
staÃla) speÃlnia warunek Lipshitza. Jeśli tak, to z jaka̧ staÃla̧?
ZADANIE 2. W zadaniu 1 przyja̧ć [a, b] = [0, 23 ], c = 1. Do czego da̧ża̧ cia̧gi postaci
H n (f ) (= H(H(H...(H(f ))...)))?
ZADANIE 3. Zbadaj zbieżność cia̧gu rekurencyjnego
a0 = π +
an+1
√
e
π
= 1 − + arctg(an ).
4
Wskazówka: Rozważyć odpowiednie odwzorowanie na przedziale [1− π4 , ∞).
Tomasz Downarowicz