FUNKCJE LINIOWE

FUNKCJE LINIOWE
Lekcja 42. Pojęcie i sposoby opisu funkcji str. 95-97
Nawiązanie
• Co to jest funkcja. Może przykłady.
Definicja
Funkcją nazywamy odwzorowane (przekształcenie) jednego zbioru liczb X w
drugi zbiór liczb Y. Przy czym każdemu elementowi zbioru X musi odpowiadać
dokładnie jeden element zbioru Y. Wówczas zbiór X nazywamy dziedziną, a
jego elementy argumentami funkcji. Natomiast zbiór Y nazywamy
przeciwdziedziną. Elementy zbioru Y, to wartościami funkcji.
Przykłady funkcji i nie funkcji – diagramy.
• Funkcję można opisać za pomocą:
wzoru np. y = 2x
tabelki np. NBP dni roku – wartość EUR w PLN. Zamiana temperatury w oF na oC.
wykresu
opisu słownego
Definicja
Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie w
układzie współrzędnych o współrzędnych (x; f(x)), gdzie x ∈ X , a f(x) ∈ Y .
•
Rozwiązywanie zadań
Zad. 1-3 str. 97. Powtórzenie Zad. 1-2 str. 97
Lekcja 43. Pojęcie i wykres funkcji liniowej str. 98-99.
Nawiązanie
• Funkcja liniowa to taka, której wykresem jest linia prosta.
Definicja
Funkcją liniową nazywamy funkcje postaci y = ax + b dla x ∈ R ,
gdzie a i b są stałymi, czyli liczbami. Liczba a nazywa się
współczynnikiem kierunkowym, a b wyrazem wolnym.
• Przykłady funkcji liniowych – wzory.
• Wykonywanie wykresów funkcji liniowych
Wzór
Tabelka składająca się z dwóch punktów lub w pamięci.
Wykres
Rozwiązywanie zadań
Ćw. 2-3 a)-b) str. 99. Zad. 1-3 a) str. 99. Ćw. 3-4 str. 167.
Zadanie domowe
Zad. 1-3 b) str. 99.
1/6
Lekcja 44-45. Własności funkcji liniowych str. 100-105.
Nawiązanie
• Funkcja liniowa to taka, której wykresem jest linia prosta.
• Wykresy funkcji liniowych o tym samym współczynniku kierunkowym a są prostymi
równoległymi.
• Wyraz wolny b funkcji y = ax + b określa punkt przecięcia prostej opisanej tym
równaniem z osią OY.
• Pękiem prostych nazywamy zbiór wszystkich prostych przechodzących przez ten
sam punkt, który nazywamy środkiem pęku.
• Funkcja y = ax + b, jeżeli a ≠ 0 ma jedno miejsce zerowe, czyli w jednym punkcie
przecina oś OX i w jednym punkcie przecina oś OY.
• Funkcja y = ax + b jest monotoniczna, czyli w całej dziedzinie rośnie, maleje lub jest
stała. Przy czym jeżeli:
a = 0 jest stała równoległa do osi OX;
a > 0 jest rosnąca – nachylona do osi OX pod kątem większym od 0o,
a mniejszym od 90o;
a < 0 jest malejąca – nachylona do osi OX pod kątem większym od 90o,
a mniejszym od 180o;
Rozwiązywanie zadań
Ćw. 3-5 a) str. 101. Ćw. 2-3 str. 103. Zad. 1-3 a) str. 102.
Zadanie domowe
Zad. 1-3 a) str. 105.
Lekcja druga
Rozwiązywanie zadań
Powtórzenie. Zad. 1 i 2 a)-b) str. 102. Zad. 5-7 a)-b) str. 105.
Zadanie domowe
Powtórzenie. Zad. 1 a)-b) str. 105.
Lekcja 46. Zastosowanie funkcji liniowych w układzie XY str. 102, 105, 133
Kartkówka z funkcji liniowych
Nawiązanie
• Rysowanie wykresów funkcji liniowych i zaznaczanie półpłaszczyzn. Przykłady.
y > ax + b
y < ax + b
• Wzory na obliczanie pól:
Kwadratu P = a2
Prostokąta P = a*b
Równoległoboku i rombu P = a*h
a⋅h
Trójkąta P =
2
Rozwiązywanie zadań
Zad. 3 a)-b) str. 133. Zad. 4 str. 102. Zad. 4 str. 105.
2/6
Lekcja 47. Równanie prostej na płaszczyźnie str. 106-108
Nawiązanie
• Postać kierunkowa funkcji liniowej y = ax + b
• Ogólne równanie prostej Ax + By + C = 0
Teoria
1. Przez dwa różne punkty A i B przechodzi jedna prosta,
a jej równanie można wyznaczyć rozwiązując układ równań.
2. Dwie proste y = a1x + b1 i y a2x + b2 są równoległe, gdy a1 = a2
Rozwiązywanie zadań
Ćwiczenie 1, 2, 3 c)-d) str. 106-107
Zadanie domowe
Ćwiczenie 1, 2, 3 a)-b) str. 106-107
Lekcja 48. Współczynnik kierunkowy prostej str. 109-111
Teoria
1. Jeżeli dane są dwa różne punkty A(xA; yA) i B(xB; yB),
to współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b opisany jest wzorem
yB − y A
xB − x A
i określa on jak bardzo jest stroma prosta w układzie XY.
a=
Rozwiązywanie zadań
Ćwiczenie 5 str. 110
Zad. 3 str. 110
Zadanie domowe
Zad. 6 a)-b) str. 111
Lekcja 49-50. Proste prostopadłe na płaszczyźnie str. 114-1115
2. Dwie proste y = a1x + b1 i y a2x + b2 są prostopadłe,
gdy a1 * a2 = 1
Rozwiązywanie zadań
Ćwiczenie 1, 2, 3, 4, 5 b)-c) str. 114-115
Zadanie domowe
Ćwiczenie 1, 2, 3, 4, 5 a) str. 114-115
Lekcja druga
Rozwiązywanie zadań
Zad. 1, 2, 3, 4, 5 b) str. 116
Zadanie domowe
Zad. 2, 3, 4 a) str. 116
3/6
Lekcja 51-52. Układy równań z dwiema niewiadomymi str. 117-119
Kartkówka proste równoległe i prostopadłe
Nawiązanie
• Układ równań liniowych z dwoma niewiadomymi, to wyrażenie postaci……
 a 1 x + b1 y = c1
Przykłady. 
a 2 x + b 2 y = c 2
• Co może być rozwiązaniem takiego układu równań.
Jedna para liczb – układ oznaczony.
Nieskończenie wiele par liczb – układ nieoznaczony.
Zero par liczb, brak rozwiązań – układ sprzeczny.
• Metody rozwiązywania układów równań liniowych.
Podstawiania
Przeciwnych współczynników
Graficzna
Wyznaczników
Rozwiązywanie zadań
Ćw. 2 str. 119. Zad. 1 a)-d) str. 119. Powtórzenie. Zad. 1 str. 119
Zadanie domowe
Zad. 1 e)-f) str. 119.
Lekcja druga.
Ćw. 1 str. 120. Zad. 1-2 a)-b); 3 i 4 str. 120.
Zadanie domowe
Powtórzenie. Zad. 1 i 2 str. 120
Lekcja 53-55. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych str. 123-126
Nawiązanie
• Układ współrzędnych prostokątnych to …..
• Oś OX, to oś odciętych, wartości wybieramy sami.
• Oś OY, to oś rzędnych, wartości obliczamy.
• By narysować prostą musimy w układzie współrzędnych zaznaczyć dwa różne punkty.
Rozwiązywanie zadań
Ćw. 1 str. 123, ćw. 2-3 str. 124. Zad. 1-2 a)-b) str. 125.
Zadanie domowe
Zad. 1-2 e)-f) str. 125.
Lekcja druga.
Kartkówka z układów równań
Rozwiązywanie zadań
Zad. 4-8 str. 125-126.
Zadania z treścią
a) Jedna z liczb jest o 5 większa od drugiej. 20% większej liczby wynosi tyle,
co 55% drugiej liczby. Jakie to liczby ?
4/6
b) Suma dwóch liczb wynosi 36. Jeżeli jedną z nich zwiększymy o 20%
a drugą zmniejszymy o 3, to suma zwiększy się 2 razy. Znajdź te liczby.
c) Miary kątów trójkąta mają się do siebie jak 2 : 3 : 4. Oblicz miary
tych kątów.
d) Oblicz długości boków prostokąta, którego obwód wynosi 35 cm,
a jeden bok jest o 2,5 cm dłuższy od drugiego.
e) Ojciec ma 27 lat a syn 3 lata. Za ile lat ojciec będzie 4 razy starszy
od syna ?
f) Tomek i Marek mają razem 600 znaczków. Gdyby Tomek oddał Markowi
25 znaczków, to mieliby wówczas tyle samo. Ile znaczków ma Tomek,
a ile Marek?
Zadanie domowe
Dla chętnych. W Excelu opracować program do rozwiązywania układu równań
metodą wyznaczników. Plik na mojej stronie WWW.
Lekcja 56-57. Zastosowanie funkcji liniowych str. 127-130
Kartkówka rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie zadań
Ćw. 1, 2 str. 127
Zad. 1, 2, 3 str. 128.
Zadanie domowe
Zad. 1-2 powtórzenie str. 130.
Lekcja 58. Przygotowanie do sprawdzianu z funkcji liniowych . 93-138.
Rozwiązywanie zadań
1. Narysuj prostą równoległą do prostej y = 0,5x -2 i przechodzącą przez punkt P=(-1; 2).
2. Oblicz pole trójkąta utworzonego przez osie OX i OY i prostą o równaniu
y = - 2x – 3.
3. Określ monotoniczność funkcji y = (6-2m)x + 4 w zależności od parametru m.
4. W układzie współrzędnych zaznacz część płaszczyzna ograniczonej nierównościami:
x + y ≤ -2 , y ≥ 2 x + 3 .
5. Dla jakiej wartości parametru k miejsce zerowe funkcji f(x) =
2-k
x + k jest równe 6.
3
Zestaw I i II. Test str. 135-138
Zadanie domowe
Rozwiązywanie zadań
1. Narysuj prostą równoległą do prostej y = -2x +1 i przechodzącą przez punkt P=(1; -2).
2. Oblicz współrzędne punktów przecięcia się prostej y = 3x +1 z osiami OX i OY.
3. Określ monotoniczność funkcji y = (-2k +8)x + 4 w zależności od parametru k.
4. W układzie współrzędnych zaznacz część płaszczyzna ograniczonej nierównościami:
x + 2 y > -6 , y > x + 2 .
5/6
5. Dla jakiej wartości parametru m miejsce zerowe funkcji f(x) =
2m + 1
x + 2m jest równe 10.
2
Lekcja 59. Sprawdzian z funkcji liniowych str. 93-138
Lekcja 60. Omówienie sprawdzian z funkcji liniowych str. 93-138
6/6