Ćwiczenia z ANALIZY NUMERYCZNEJ (L)

http://www.ii.uni.wroc.pl/~pwo/An/an-L-lista-11.pdf
Ćwiczenia
z ANALIZY NUMERYCZNEJ (L)
Lista nr 11
17 grudnia 2015 r.
Zajęcia 13 stycznia 2016 r.
Zaliczenie listy od 6 pkt.
L11.1. 1 punkt Uzasadnij proces ortogonalizacji Grama-Schmidta.
L11.2. 1 punkt Niech {P0 , P1 . . . , PN } będzie układem wielomianów ortogonalnych względem
iloczynu skalarnego h·, ·iN . Udowodnij, że dla 0 ≤ n ≤ N wielomiany P0 , P1 , . . . , Pn
tworzą bazę przestrzeni Πn .
L11.3. 1 punkt Niech Pk (1 ≤ k ≤ N ) będzie k-tym wielomianem ortogonalnym względem iloczynu skalarnego h·, ·iN . Pokaż, że dla dowolnego wielomianu w ∈ Πk−1 jest
hw, Pk iN = 0
L11.4. 2 punkty Udowodnij, że wielomiany Czebyszewa T0 , T1 , . . . , Tr (r ∈ N) są ortogonalne
względem iloczynu skalarnego postaci
hf, gi :=
r
X
p(uk )f (uk )g(uk ),
k=0
gdzie uk := cos kπ
r (k = 0, 1, . . . , r) oraz
(
p(uk ) :=
1
2
(k = 0, r),
1
(1 < k < r).
L11.5. 1 punkt Niech {Pk } będzie ciągiem wielomianów ortogonalnych względem iloczynu skaP
larnego hf, giN := N
k=0 f (xk )g(xk ), gdzie x0 , x1 , . . . , xN są parami różnymi punktami.
Ustalmy x ∈ R oraz liczbę naturalną n < N . Ile i jakich operacji arytmetycznych należy
wykonać, aby obliczyć wartości P0 (x), P1 (x), . . . , Pn (x)?
L11.6. 1 punkt Niech {Pk } będzie ciągiem wielomianów określonych w następujący sposób:
(
P0 (x) = 1,
P1 (x) = x − c1 ,
Pk (x) = (x − ck )Pk−1 (x) − dk Pk−2 (x)
(k = 2, 3, . . .),
gdzie ck , dk są danymi stałymi. Udowodnij, że następujący algorytm Clenshawa:
Bm+2 := Bm+1 := 0,
Bk := ak + (x − ck+1 )Bk+1 − dk+2 Bk+2
(k = m, m − 1, . . . , 0),
wynik := B0 ,
P
oblicza wartość sumy m
k=0 ak Pk (x). Jak wykorzystać powyższy algorytm do obliczenia
wartości Pm (x)?
L11.7. 1 punkt Dwoma poznanymi na wykładzie sposobami zbuduj wielomiany P0 , P1 , P2
ortogonalne na zbiorze D4 = {x0 , x1 , x2 , x3 , x4 }, gdzie xj := −2 + j (j = 0, 1, 2, 3, 4).
L11.8. 1 punkt Funkcja h przyjmuje w punktach xj := −2 + j (j = 0, 1, 2, 3, 4) odpowiednio
wartości 2, 1, 1, 1, 2. Wykorzystując wynik poprzedniego zadania, wyznacz takie stałe
a, b, c, aby wyrażenie
4
X
[ax2j + bxj + c − h(xj )]2
j=0
przyjmowało najmniejszą możliwą wartość.
(–) Paweł Woźny
2