Stan Smith 2

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
33, s. 139-144, Gliwice 2007
ISSN 1896-771X
NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA
MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH NA PRZYKŁADZIE DREWNA
MAREK ROMANOWICZ, ANDRZEJ SEWERYN
Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Białostocka
Streszczenie. W pracy zaproponowano nowe podejście do prognozowania inicjacji
i propagacji pęknięć w drewnie, oparte na koncepcji płaszczyzny krytycznej oraz na
nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania. Do zbudowania nielokalnego
kryterium wykorzystano model ośrodka z mikropęknięciami o określonej orientacji.
W celu oceny poprawności zaproponowanego kryterium pękania przedstawiono
weryfikację doświadczalną pękania próbek wykonanych z drewna sosny
z brzegową szczeliną. Badania prowadzono w złożonym stanie obciążenia dla
różnych ilorazów współczynników intensywności naprężeń KI / KII.
1. WSTĘP
Widoczny w ostatnich latach wzrost zainteresowania drewnem jako konstrukcyjnym
materiałem budowlanym jest wynikiem dwóch czynników, a mianowicie: bardzo dobrych
właściwości mechanicznych drewna odniesionych do jego gęstości oraz problemów związanych
z wyczerpywaniem się nieodnawialnych surowców materialnych.
Ortotropię drewna charakteryzują trzy osie symetrii, pokazane na rysunku 1, oznaczone
odpowiednio literami: L, R i T. Zdolność drewna do odporności na pękanie zależy od układu
propagacji szczeliny. Z powodu znacznych różnic w odporności na pękanie w poszczególnych
układach, szczelina w drewnie propaguje najczęściej równolegle do komórek osiowych, tj.
w układzie RL lub TL (pierwsza litera odnosi się do kierunku normalnego do płaszczyzny
pękania a druga określa kierunek propagacji szczeliny).
Zdaniem Mindessa i Bentura [5], Jernkvista [2] oraz Vasica i Smitha [11,12] w drewnie
Rys. 1. Budowa drewna: LRT – osie ortotropii
istnieje strefa pękania w pobliżu wierzchołka szczeliny. Występujące tam mikropęknięcia mogą
się łączyć i rozwijać w procesie obciążania, wprowadzając progresywną zmianę
140
M. ROMANOWICZ, A. SEWERYN
mikrostruktury. W konsekwencji, dokładne modelowanie strefy uszkodzeń polegające na
obliczaniu rozkładu mikropęknięć i zmian podatności dla tego materiału w obszarze dużych
gradientów naprężeń wydaje się być bardzo trudne do zrealizowania.
Celem tej pracy jest przedstawienie nowego podejścia do obliczania propagacji i inicjacji
szczelin w konstrukcyjnych elementach drewnianych, opartego na koncepcji płaszczyzny
fizycznej oraz na nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania, zaproponowanym przez
Seweryna i Mroza [9].
2. NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA DREWNA
Rozpatrzmy model rozwoju szczeliny w drewnie w układzie RL, pokazany na rys. 2.
Rys. 2. Model rozwoju szczeliny w drewnie w układzie propagacji RL
Rys. 3. Uśrednienie lokalnej funkcji pękania w okolicy wierzchołka szczeliny
Zakładamy, że jeżeli propagacja szczeliny następuje w drewnie w układzie RL, to wówczas
uśredniona na odcinku d (rysunek 3) funkcja naprężeń normalnych i tnących wywołujących
dekohezję Rσ(σR,τRl) osiąga wartość krytyczną, czyli:
d
1
R f = ∫ R σ (σ R , τ RL )dr = 1,
d 0
gdzie :
2  K RL
d =  IcR
π  σc



2
(1)
Rf, Rσ(σR,τRL) – odpowiednio współczynnik pękania i lokalna naprężeniowa funkcja pękania
w układzie propagacji RL, σR, τRL – odpowiednio normalne i styczne naprężenia na
płaszczyźnie krytycznej w układzie propagacji RL. Długość strefy pękania d wyznacza się
z równoważności kryterium Griffitha – Irwina dla I sposobu deformacji szczeliny (KI = KIcRL)
NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA MATERIAŁÓW ...
141
oraz nielokalnego kryterium pękania, gdzie: KIcRL – krytyczna wartość współczynnika
intensywności naprężeń dla rozrywania szczeliny w układzie propagacji RL, σcR – normalne
naprężenie krytyczne w przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku osi R.
W niniejszej pracy, w celu uwzględnienia występujących w drewnie mikropęknięć,
zaadaptowano model uszkodzeń dla ciała z mikropęknięciami o określonej orientacji,
wyprowadzony przez Seweryna i innych [8] na podstawie wcześniejszych prac Gambarotta
i Logomarsino [1]. Zgodnie z przyjętym modelem, propagacja mikropęknięć o normalnej R
nastąpi wówczas, gdy prędkość uwalnianej energii odkształcenia osiągnie wartość krytyczną, a
więc:
GR =
[
]
3 2
2
2
ao cR (σ R − p R ) + cRL (τ RL − f RL ) = GcR
2
(2)
gdzie: ao – wymiar mikropęknięcia odniesiony do wymiaru początkowego, pR, fRL – normalne
oraz styczne naprężenia działające na powierzchni mikropęknięcia, cR, cRL – współczynniki
podatności wzdłużnej oraz poprzecznej wywołane mikropęknięciami. Krytyczną wartość GcR
wyznacza się dla przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku R. Uwzględniając warunek
otwierania się mikropęknięć bez kontaktu ząbków nierówności (pR = 0 oraz fRL = 0), na
podstawie wzoru (3), otrzymujemy następującą lokalną funkcję pękania [10]:
2
2
σ 
c τ 
Rσ (σ R ,τ RL ) =  RR  + RL  RLR  = 1
cR  σ c 
σc 
(3)
Jeżeli natomiast mamy do czynienia ze wzajemnym poślizgiem na powierzchniach nierówności
mikropęknięć (pR ≠ 0 i fRL ≠ 0), to po uwzględnianiu warunków kontaktu między ząbkami
powierzchni mikropęknięć, lokalną funkcję pękania można zapisać wzorem [10]:
Rσ (σ R ,τ RL ) =
τ RL
τ
RL
c
+
σR
tg(ϕ + ψ ) = 1
τ cRL
(4)
gdzie: ψ – kąt tarcia, ϕ – kąt pochylenia nierówności na powierzchni mikropęknięć, τcRL –
naprężenia niszczące dla czystego ścinania w płaszczyźnie LR
W niniejszej pracy przyjmuje się założenie o znanym kierunku propagacji szczeliny
w drewnie (kierunek ϑo). Oznacza to, że do prognozowania pękania drewna nie jest konieczne
obliczanie lokalnego maksimum funkcji Rσ(σR,τRL). Dlatego w celu zastosowania nielokalnego
naprężeniowego kryterium pękania do szczelin naciętych pod pewnym kątem α do osi
ortotropii L zakładamy, że kierunek propagacji pokrywa się z kierunkiem wzmocnienia, a więc
lokalną funkcję pękania obliczamy dla ϑo = α lub ϑo = α – 180o.
Stan naprężenia w bliskim otoczeniu wierzchołka szczeliny dowolnie naciętej względem osi
ortotropii, w lokalnym biegunowym układzie współrzędnych (r,ϑ), opisuje następujący
związek [3]:
σ x 
1
 
σ y  =
2 πr
τ xy 
 
 Ξ 11 (ϑ, µ1 , µ 2 ) Ξ 12 (ϑ, µ 1 , µ 2 ) 
Ξ (ϑ, µ , µ ) Ξ (ϑ, µ , µ ) 
1
2
22
1
2 
 21
Ξ 31 (ϑ, µ1 , µ 2 ) Ξ 32 (ϑ, µ 1 , µ 2 ) 
KI 
K 
 II 
(5)
gdzie: współczynniki Ξ11,...,Ξ32 są funkcjami trygonometrycznymi kąta ϑ i pierwiastków
równania charakterystycznego µ1, µ2. Pierwiastki te zależą od stałych sprężystości materiału
oraz od konfiguracji szczeliny względem osi ortotropii. W celu określenia naprężeń σR,τRL na
142
M. ROMANOWICZ, A. SEWERYN
płaszczyźnie krytycznej składowe naprężenia opisane wzorem (5) przekształca się zgodnie
z prawem transformacji tensora II rzędu z układu xy do układu LR.
Podstawiając do wzoru (1) lokalną funkcję pękania (3), a także związki na naprężenia (5),
otrzymujemy kryterium pękania drewna w przypadku, gdy szczelina nacięta pod kątem α
względem osi ortotropii L, poddana jest rozciąganiu i ścinaniu wzdłużnemu, a mianowicie:
(
λ11 K IRL
)
2
(
)(
)
(
+ λ12 K IRL K IIRL + λ22 K IIRL
) = (K )
2
RL 2
Ic
(6)
gdzie: KIRL, KIIRL – współczynniki intensywności naprężeń odpowiadające rozrywaniu i ścinaniu
wzdłużnemu, w przypadku, gdy szczelina propaguje w układzie RL. Współczynniki: λ11, λ12 i
λ22 są funkcjami cR, cRL oraz stałych sprężystości materiału [6].
3. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA I WNIOSKI
W celu weryfikacji nielokalnego kryterium pękania (6) wykonano badania doświadczalne
pękania drewna sosnowego (łac. pinus sylvestris) w układzie propagacji szczeliny RL dla
przypadku najmniej rozpoznanego w literaturze, tj. gdy szczelina jest wykonana pod kątem α
do osi ortotropii L. W badaniach wykorzystano przyrząd do zadawania dwuosiowego stanu
obciążenia opracowany przez Łukaszewicza [4]. Widok przyrządu pokazano na rys. 4. Płaskie
próbki umieszczano pod kątem χ do kierunku działania siły F zadawanej przez siłownik
maszyny wytrzymałościowej. Do modelowania pól naprężeń w badanych próbkach
zastosowano metodę elementów skończonych oraz osobliwe elementy skończone [7].
Rys. 4. Schemat przyrządu do zadawania dwuosiowego obciążenia w próbkach płaskich
NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA MATERIAŁÓW ...
143
Na podstawie aproksymacji wyników badań doświadczalnych z rysunku 5, wyznaczono
(metodą najmniejszych kwadratów) dla drewna sosnowego wartość ilorazu cRL /cR = 0.131,
a także wartość KIcRL = 0.55 MPa m0.5. Otrzymane stałe materiałowe wykorzystano następnie
do prognozowania pękania badanego materiału za pomocą nielokalnego kryterium pękania (6).
Wyniki weryfikacji doświadczalnej dla próbek ze szczelinami naciętymi pod kątem α do osi
ortotropii L przedstawiono na rys. 6.
Rys. 5. Graniczne wartości współczynników intensywności naprężeń KI, KII dla drewna
sosnowego dla próbek ze szczelinami, w przypadku gdy α = 0°, χ ≠ 0° ; linia ciągła nielokalne kryterium pękania (6)
Rys. 6. Graniczne wartości współczynników KI, KII dla drewna sosnowego dla próbek
ze szczelinami, w przypadku gdy χ = 0°, α ≠ 0°; linie – wartości obliczone na
podstawie nielokalnego kryterium pękania (6)
144
M. ROMANOWICZ, A. SEWERYN
Na podstawie zrealizowanych badań doświadczalnych pękania drewna sosnowego (łac.
pinus sylvestris) w układzie propagacji szczeliny RL można stwierdzić, że nielokalne kryterium
pękania drewna (6) jest skutecznym narzędziem do oceny propagacji szczeliny wykonanej pod
kątem do osi ortotropii L (α ≠ 0°).
LITERATURA
1. Gambarotta L., Logomarsino S.: A microcrack damage model for brittle materials. “Int. J.
Solids Struct.", 30, 1993, s.177–198.
2. Jernkvist L.O.: Fracture of wood under mixed mode loading I. Derivation of fracture
criteria. “ Eng. Fract. Mech.”, 68, 2001, s.549–563.
3. Lekhnicki S.G.: Theory of elasticity of an anisotropic elastic body. Holden–Day Inc., San
Francisco1963.
4. Łukaszewicz A.: Modelowanie zagadnień kruchego pękania elementów z karbami
w dwuosiowym stanie obciążenia, Rozprawa doktorska. Politechnika Warszawska 2003.
5. Mindess S., Bentur A.: Crack propagation in notched wood specimens with different grain
orientation. „Wood Sci. Technol”, 1986, 20, , s.145–155.
6. Romanowicz M.: Prognozowanie pękania drewna na podstawie kryteriów związanych
z płaszczyzną fizyczną. Rozprawa doktorska. Politechnika Białostocka 2006.
7. Seweryn A.: Metody numeryczne w mechanice pękania. Warszawa: IPPT PAN, 2003.
8. Seweryn A., Kulchytsky – Zhyhailo R.D., Mróz Z.: On the modeling of bodies with
microcracks taking into account of contact of their boundaries. “Appl. Problems Mech.
Math”, 2003, 1, s.141–149.
9. Seweryn A., Mróz Z.: A non-local stress failure condition for structural elements under
multiaxial loading, Eng. Fract. Mech, 1995, 51, s.955–973.
10. Seweryn A., Romanowicz M.: Failure conditions of wood under complex loading.
“Materials Science” (w druku) 2007.
11. Smith I., Vasic S.: Fracture behavior of softwood. Mech. Mater”. 35, 2003, 803–815.
12. Vasic S., Smith I.: Bridging crack model for fracture of wood. “Eng. Fract. Mech.”, 2002,
69, s.745–760.
A NON–LOCAL STRESS FRACTURE CRITERION
OF ORTHOTROPIC MATERIALS
FOR EXAMPLE OF WOOD
Summary. A new approach to solving fracture problems of wood was presented.
The presented approach made use of concepts of a critical plane and a non-local
stress fracture criterion, which were extended to study of fracture phenomenon
of orthotropic materials, like wood. In the present paper, a local stress fracture
function was formulated on the basis of the damage model of an elastic solid
containing growing microcracks. In order to evaluate of the validity of the derived
non-local fracture criterion of wood, a experimental investigation of the mixed
mode fracture toughness of pine wood was made.