n ms

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI
MATERIAŁÓW (POWYM)
Wykresy momentów gnących:
belki i proste ramy płaskie
Praca domowa
Automatyka i Robotyka, sem. 3.
Dr inŜ.. Anna Dąbrowska-Tkaczyk
LITERATURA
1. Lewiński J., Wilczyński A., Wittenberg –Perzyk D, Podstawy
Wytrzymałości Materiałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2000,
2. Lewiński J., Wawrzyniak A., Pomoce dydaktyczne do ćwiczeń z
wytrzymałości materiałów, Warszawa 2005,
3. Bąk Roman, Burczyński Tadeusz, Wytrzymałość materiałów z
elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001,
4. Niezgodziński M., E, Niezgodziński T, Wzory, wykresy i tablice
wytrzymałościowe, WNT, 1996,
5. Brzoska Zbigniew, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa
1972
6. Jastrzębski Przemysław, Mutermilch Jerzy, Orłowski Wiktor,
Wytrzymałość materiałów, Arkady, Warszawa, 1985
MODEL PRĘTA PROSTEGO W STANIE
RÓWNOWAGI STATYCZNEJ
Wg [3]
SIŁY WEWNĘTRZNE
I NAPRĘśENIA W PRĘCIE
Wektor napręŜenia całkowitego
∆A - element powierzchni przekroju w otoczeniu punktu,
∆PW -wypadkowa sił powierzchniowych działających na ∆A.
KaŜdemu punktowi przekroju jest przyporządkowany wektor napręŜenia. Określone w
ten sposób pole wektorowe napręŜenia tworzy układ powierzchniowych sił
wewnętrznych p (y, z).
Po zredukowaniu do środka cięŜkości S przekroju moŜna go zastąpić wektorem
głównym Pw i momentem głównym Mw sił wewnętrznych
Pw i Mw moŜna wyznaczyć albo z warunków równowagi lewej „/", albo prawej „p"
części pręta,
Wg [3]
SKŁADOWE SIŁ WEWNĘTRZNYCH
•PołoŜenie przekroju pręta określa
współrzędna x,
•Pręt dzieli się na przedziały,
•Granicę przedziału stanowi:
- podpora,
-miejsce przyłoŜenia siły skupionej lub
momentu skupionego,
-początek lub koniec obciąŜenia
rozłoŜonego w sposób ciągły wzdłuŜ
osi pręta
Równaniem siły normalnej N(x), momentu skręcającego Ms(x), siły
poprzecznej T(x) lub momentu gnącego Mg(x) nazywamy funkcję
określającą odpowiednio N, Ms, T lub Mg w kaŜdym przekroju
naleŜącym do rozwaŜanego przedziału pręta.
Obrazem równań N(x), Ms(x), T(x) lub Mg(x) są wykresy sił
wewnętrznych w pręcie.
Wg [3]
KONWENCJA ZNAKÓW
Siła normalna N jest równa algebraicznej sumie składowych osiowych sił
zewnętrznych działających po jednej stronie rozwaŜanego przekroju pręta.
Rozciąganie
Ściskanie
Moment skręcający Ms jest równy algebraicznej sumie momentów sił
zewnętrznych działających po jednej stronie rozwaŜanego przekroju pręta
względem jego osi.
Wg [3]
KONWENCJA ZNAKÓW
Wg [5]
MODEL BELKI ZGINANEJ
Pręt obciąŜony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają
jego oś pod kątem prostym, nazywa się belką
W przekroju belki moŜe działać moment gnący Mg oraz siła tnąca
(poprzeczna) T. Wektor momentu gnącego jest prostopadły do płaszczyzny,
w której leŜą obciąŜenia oraz siła poprzeczna T.
Moment gnący Mg równa się
algebraicznej sumie momentów
obciąŜeń zewnętrznych (P - siła
skupiona, q - obciąŜenie
rozłoŜone,
Wg [3]
M — moment skupiony, czyli para
sił) działających po jednej stronie
rozwaŜanego przekroju belki
względem środka cięŜkości tego
przekroju
SIŁA POPRZECZNA, TNĄCA T
i MOMENT GNĄCY Mg
Siła poprzeczna T jest równa algebraicznej sumie składowych sił
ze-wnętrznych prostopadłych do osi belki, działających po jednej stronie
rozwaŜanego przekroju
Wg [3]
Modele belek i ram płaskich statycznie
wyznaczalnych
Sposoby podparcia, reakcje
Utwierdzenie, Rx, Ry, Mo
y
x
y
Podpora przegubowa
stała, Rx, Ry
Podpora przegubowa
przesuwna, Ry
y
o
x
Modele belek
belki dwupodporowe
belki wspornikowe
belki z przegubem
ο
ο
Ramy płaskie statycznie wyznaczalne
Modele ram płaskich, przykłady
OBCIĄśENIA BELEK I RAM PŁASKICH
Siła skupiona
Moment skupiony
ObciąŜenie ciągłe, rozłoŜone równomiernie
ObciąŜenie ciągłe, rozłoŜone liniowo
ANALITYCZNE OKREŚLENIE
MOMENTÓW GNĄCYCH I SIŁ TNĄCYCH
Wg [5]
OBLICZANIE BELEK ZGINANYCH
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZĄCE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZĄCE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZĄCE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZĄCE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJĄCYCH NA DWÓCH
PODPORACH
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZĄCE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJĄCYCH NA DWÓCH
PODPORACH
y
x
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZĄCE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJĄCYCH NA DWÓCH
PODPORACH, wg [ 4]
y
x
Wg [4]
PRZYKŁADY BELEK I RAM
(praca domowa)
1
2
3
M=ql2
Μ=ql2
P
M=ql2
M=2ql2
ο
M=ql2
ο
ο
M=Pl
P
P
P
M=Pl
2P
P
M=Pl
P
4
5
ql2
6
ql
l
l
l
ql2
l
l
2ql2
ql2
ql
l
ql2
ql
ο
ο
ο
l
q
q
q
ql
ql2
l
l/2
l
q
ql
l/2
l/2
ql
l/2
l/2
l/2
ql2
ql
ql2
ql
q
Długości przedziałów w ramach = l
q
7
8
9
ql
q
ql2
q
l
l
M
0.5l
l
1.5l
M
l
ο
ql2
q
l
q
ql
l
l
0.5l
Pl
ql
Pl
P
ο
l
1.5l
ο
0.5l 0.5l
0.5l
q
Pl
q
ql2
ql
P
Długość prętów w ramach = l
ql2
10
ql2
11
q
l/2
l
q
q
l
l
q
l
l/2
l/2
ο
l
l
l/2
ql
l
l
ql
q
ο
ql2
l
l/2 l/2 l/2
Pl
P
P
Pl
Pl
Pl
P
P
Długości przedziałów w ramach = l
l/2
ql
q
ql2
ο
l
12
P
l
13
14
ql2
ql
q
l
ql2
l
q
l/2
1,5l
ql
q
l/2
l
l
l/2
l/2
ql2
q
ο
ο
l
ql2
q
1,5l
ql2
q
15
ο
l
l
l
l/2
Pl
P
3Pl
P
Pl
l/2
2P
P
P
Długości prętów w ramach = l
P
16
ql2
17
q
l/2
ql
l
l/2
q
l
l
ο
l/2
l/2
l
q
q
ql
ql2
q
q
l
ο
l
18
l
ql2
ο
l
l
l
Pl
Pl
P
P
Pl
Pl
P
P
Pl
Długości prętów w ramach = l
l/2
P
19
ql2
20
q
q
l
21
ql
l
l
ql2
ql2
q
l
l
l
Pl
q
P
ο
l
Pl
P
ο
l/2
l/2
P
l/2
l/2 ο
l
l/2
ql
P
l/2
l/2
l/2
ql2
q
ql
q
Pl
ql2
Długości prętów w ramach = l
22
23
24
ql2
ql
q
l
q
l
ql2
l/2
q
l
l/2
l
l/2
ql
ο
ql2
ql
l
l
ql2
q
ο
ο
l
l
P
l/2
l
l
l/2
l
Pl
P
Pl
q
Pl
P
P
Pl
P
Długości prętów w ramach = l
25
26
ql2
27
ql2
q
q
q
l
l
l/2
l
l
q
l
q
l
l/2 ql
Pl
ο
l
l/2
l/2
l/2
P
ο
ql
q
ο
P
l
l
l
l
2Pl
P
P
Pl
Pl
2Pl
P
P
Długości prętów w ramach = l
28
q
29
2q
l
l
q
l
ql
q
l/2
l
l
l
l/2
l/2
M
ο
l
ql2
q
l
M
30
l/2
ql
ql2
q
ο
ο
l
l
l
l
l
P
Pl
Pl
P
q
ql
Pl
ql2
Długości prętów w
ramach = l
P
31
32
ql2
q
ql2
q
l
l
l
ql2
q
l
ql2
l
ql2
q
ο
ο
l
l
l
Pl
2P
ql2
l
q
q
33
ο
l
l
l
P
P
P
2P
Pl
Pl
P
Długości prętów w ramach = l
34
ql2
q
ql2
ql2
q
ο
l
2l
P
P
Pl
Pl
Długości prętów w ramie = l
l