∑ ∑ ∑

8. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W RAMACH
Zadanie 8.1
Dla ramy jak na rysunku 8.1.1
•
wyznaczyć wartości reakcji podporowych,
•
sporządzić wykresy sił normalnych,
•
sporządzić wykresy momentów gnących.
•
sporządzić wykresy sił tnących,
Dane: a, q, M = qa2.
Rys.8.1.1
Równania równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił
∑F
∑F
ix
= 0;
− R Ax + qa = 0
iy
= 0;
− R Ay + RB = 0
∑M
iA
= 0;
qa 2
RB ⋅ a − M −
=0
2
z których wyznaczamy reakcje
R Ax = qa
qa 2 qa 2
qa 3
RB =
+
= qa +
= qa
a
2a
2 2
3
R Ay = qa
2
Równania sił wewnętrznych dla przedziału pierwszego części pionowej ramy:
0 < x1 < a
Siła normalna
N 1 = R Ay
N1 =
3
qa
2
moment gnący
2
Mg1 = R Ax x 1 −
Mg1(x=0) = 0;
qx1
qx 2
= qax −
2
2
Mg1(x=a) =
qa 2
2
wykresem jest parabola mająca maksimum w punkcie x = a
siły tnące
T1 = R Ax − qx 1 = qa − qx
T1(x=0) =qa;
T1(x=a) =0
Przedział drugi od lewej strony poziomej części ramy
0<x<a
siła normalna:
N2 = 0
moment gnący:
Mg2 = − M = −qa 2 ma stałą wartość
siła tnąca:
T2 = 0
Przedział trzeci
a < x < 2a
siła normalna:
N3 = 0;
moment gnący
3
Mg 3 = − M + R B (x 3 − a ) = −qa 2 + qa (x 3 − a )
2
Mg3(x=a) = -qa2
Mg3(x=2a) = -qa2/2
siła tnąca:
3
T3 = − R b = − qa
2
ma wartość stałą
Na podstawie wyliczonych wartości sił wewnętrznych sporządzamy odpowiednie wykresy,
rys. 8.1.2
Rys.8.1.2
Zadanie 8.2
Dla ramy jak na rysunku 8.2.1 napisać równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy.
Dane: l, q, F = q⋅l.
Rys.8.2.1
Rozwiązanie
Przyjmujemy układ współrzędnych i w punktach A, B i C zaznaczamy niewiadome
podporowe.
Dla płaskiego dowolnego układu sił układamy trzy równania równowagi
∑ F = 0;
∑ F = 0;
∑ M = 0;
ix
2F − R C = 0
iy
R A + R B − 4ql = 0
iD
R B ⋅ 4l + 2F ⋅ l − 4ql ⋅ 2l = 0
stąd wyznaczamy
RC = 2F = 2ql;
1
4
RB = (8ql − 2ql) = 1,5ql
RA = 4ql – 1,5ql = 2,5ql
Równania sił wewnętrznych dla poszczególnych przedziałów
I. Przedział pierwszy
0 ≤ x1 ≤ l
moment gnący
Mg1 = -Fx = -qlx
Mg1(x=0) = 0;
siłą tnąca
T1 = -F = -ql
siła osiowa
N1 = 0.
II. Przedział drugi
0 ≤ x2 ≤ 4l
moment gnący
Mg2 =-F⋅l
siła tnąca
T2 = 0,
siła osiowa
N2 = -F = -ql,
Mg1(x=l) = -ql2,
III. przedział trzeci
0 ≤ x3 ≤ l
Aby napisać bezbłędnie równanie momentów gnących w tym przedziale przesuwamy
równolegle do punktu C siłę F, która działa na odciętą górną część ramy oraz moment -Fl,
ponieważ siła uległa przesunięciu o l. Równanie momentów będzie miało postać
Mg3 = Fx – RCx – Fl = qlx – 2qlx – ql2 = - qlx – ql2
Mg3(x=0) = - ql2
Mg3(x=l) = - 2ql2
siła tnąca
T3 =F – RC = ql – 2ql = - ql
siła osiowa
N3 = 0
IV. przedział czwarty
l ≤ x4 ≤ 2l
moment gnący
Mg4 = 2F(x – l) – RC x = 2ql(x – l) – 2qlx = -ql2
siła tnąca
T4 = 0
siła osiowa
N4 = 0
V. przedział piąty
0 ≤ x5 ≤ 4l
moment gnący
Mg5 = -RA x +
qx 2
qx 2
= −2,5qlx +
2
2
Mg5(x=0) = 0;
Mg5(x=4l) = -10ql2 +8ql2 = -2ql2
szukamy ekstremum tej funkcji
-2,5ql + qx = 0
⇒
Mg5(x=2,5l) = − 2,5ql ⋅ 2,5l +
x = 2,5l
q(2,5l) 2
= −6,25ql 2 + 3,125ql 2 = −3,125ql 2
2
siła tnąca
T5 = RA –qx = 2,5ql – qx
T5(x=0) = 2,5ql;
T5(x=4l) = 2,5ql – 4ql = -1,5ql
Na podstawie wyliczonych wartości sił wewnętrznych sporządzamy ich wykresy, rys.8.2.2.
Rys.8.2.2
Zadanie 8.3
Dla ramy obciążonej jak na rysunku 8.3.1 określić funkcję momentów gnących, sił
poprzecznych i podłużnych oraz sporządzić ich wykresy. Dane: q = 1000 N/m, l = 1 m, F =
q·l, K = q·l2.
Rys.8.3.1
Rozwiązanie
Przyjmujemy układ współrzędnych x, y a w punktach podparcia A i B zakładamy
niewiadome podporowe, rys. 8.3.2.
Rys.8.3.2
Układamy równania równowagi i wyznaczamy niewiadome podporowe:
∑F
ix
= 0;
R Ax − F = 0;
R Ax = F;
RAx = q·l,
∑F
iy
∑M
RB =
= 0;
iA
R Ay + R B −q ⋅ 2l = 0
= 0;
R B ⋅ 2l − q ⋅ 2l ⋅ l − K = R B − 2ql 2 − ql 2 , ⇒ R B = ql +
ql
2
3
ql
2
3
ql
R Ay = 2ql − R B = 2ql − ql = .
2
2
R Ax = ql,
ql
,
2
R Ay =
RB =
3
ql.
2
Dokonujemy przecięć w kolejnych przedziałach ramy i układamy równania sił wewnętrznych
względem punktów przecięcia:
Przedział 1
0 ≤ x1 ≤ l
Siła normalna:
3
N1 = –RAy = – ql
2
Siła tnąca:
T1 = –RAx =–ql
Moment gnący:
Mg1 = − R Ax ⋅ x 1 = −ql ⋅ x
dla x1 = 0;
Mg = 0,
dla x1 = l;
Mg = –ql2,
Przedział 2
0 ≤ x2 ≤ 2l
Siła normalna:
N2 -= –RAx = –ql
Siła tnąca:
T2 = RAy − qx =
ql
− qx
2
ql
,
2
dla x2 = 0;
T=
dla x2 = 2l;
3
T = – ql,
2
Moment gnący:
Mg 2 = − R Ax ⋅ l + R Ay ⋅ x 2 + K −
dla x2 = 0;
Mg = 0,
dla x2 = 2l;
Mg = –ql2,
qx 2
ql
qx 2 ql
q
= −ql 2 + x + ql 2 −
= ⋅ x − ⋅ x2
2
2
2
2
2
Maksymalna wartość momentu wystąpi w punkcie o współrzędnej x:
dMg 2 ql
= − qx = 0
dx
2
l
⇒x= ;
2
zaś wartość momentu gnącego w tym punkcie jest równa:
Mg x =l / 2 =
ql 2 ql 2 ql 2
−
=
4
8
8
Przedział 3
0 ≤ x3 ≤ l
Siła normalna:
3
N3 = –RB = – ql
2
Siła tnąca:
T1 = P = ql
Moment gnący:
Mg 3 = − F ⋅ x 3 = −ql ⋅ x
dla x3 = 0;
Mg = 0,
dla x3 = l;
Mg = –ql2,
Wykresy sił wewnętrznych przedstawiono na rysunkach 8.3.3.
Rys.8.3.3