Wykład 3 - E-SGH

Transkrypt

Wykład 3 - E-SGH

Dwuwymiarowa zmienna losowa
Rozkłady brzegowe dwuwymiarowej zmiennej losowej
Wykład 3
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
28 lutego 2011
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Najmniejszą σ-algebrę podzbiorów przestrzeni R2 zawierającą
iloczyny kartezjańskie przedziałów (−∞, x1 i × (−∞, x2 i , gdzie
x1 , x2 ∈ R, nazywamy rodziną zbiorów borelowskich na płaszczyźnie
i oznaczamy przez B(R2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Najmniejszą σ-algebrę podzbiorów przestrzeni R2 zawierającą
iloczyny kartezjańskie przedziałów (−∞, x1 i × (−∞, x2 i , gdzie
x1 , x2 ∈ R, nazywamy rodziną zbiorów borelowskich na płaszczyźnie
i oznaczamy przez B(R2 ).
Definicja
Niech (Ω, M, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Funkcję
X : Ω → R2 nazywamy dwuwymiarową zmienną losową wtedy i
tylko wtedy, gdy X−1 (B) ∈ M dla każdego B ∈ B(R2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Rozkładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej
X : Ω → R2 nazywamy funkcję PX : B(R2 ) → R określoną dla
dowolnego B ∈ B(R2 ) wzorem
PX (B) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Rozkładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej
X : Ω → R2 nazywamy funkcję PX : B(R2 ) → R określoną dla
dowolnego B ∈ B(R2 ) wzorem
PX (B) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}).
Uwaga
Funkcja PX spełnia aksjomaty definicji prawdopodobieństwa, jest
ona zatem prawdopodobieństwem określonym na σ-algebrze
podzbiorów borelowskich płaszczyzny. Tak więc dowolna
dwuwymiarowa zmienna losowa X : Ω →
R2 generuje nową
przestrzeń probabilistyczną R2 , B R2 , PX .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Każdą dwuwymiarową zmienną losową X możemy przedstawić w
postaci X = (X1 , X2 ), gdzie X1 , X2 : Ω → R są jednowymiarowymi
zmiennymi losowymi. Korzystając z tego przedstawienia rozkład
prawdopodobieństwa PX możemy określić następująco
PX (B) = P((X1 , X2 ) ∈ B), gdzie B ∈ B(R2 ). Przyjmując
B = (−∞, x1 i × (−∞, x2 i otrzymujemy definicję dystrybuanty
rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X : Ω → R2 nazywamy funkcję FX : R2 → R określoną wzorem
FX (x1 , x2 ) = P(X1 ≤ x1 ∧ X2 ≤ x2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X : Ω → R2 nazywamy funkcję FX : R2 → R określoną wzorem
FX (x1 , x2 ) = P(X1 ≤ x1 ∧ X2 ≤ x2 ).
Uwaga
Wartość FX (x1 , x2 ) dystrybuanty FX jest równa
prawdopodobieństwu zdarzenia, że zmienna losowa X przyjmuje
wartości należące do iloczynu kartezjańskiego przedziałów
(−∞, x1 i × (−∞, x2 i.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Twierdzenie
Funkcja F : R2 → R jest dystrybuantą rozkładu
prawdopodobieństwa na płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy:
a)
b)
c)
lim
lim F (x1 , x2 ) = 1,
x1 →∞ x2 →∞
lim F (x1 , x2 ) = F (−∞, x2 ) = 0 dla każdego x2 ∈ R,
x1 →−∞
lim F (x1 , x2 ) = F (x1 , −∞) = 0 dla każdego x1 ∈ R,
x2 →−∞
d) F jest funkcją niemalejącą i prawostronnie ciągłą względem
każdej ze zmiennych x1 i x2 ,
e) F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ) ≥ 0 dla
dowolnych punktów a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) takich, że
a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Uwaga
Warunek e) wynika z zależności
P (a1 < X1 ≤ b1 ∧ a2 < X2 ≤ b2 ) = P (X1 ≤ b1 ∧ X2 ≤ b2 ) +
− P (X1 ≤ a1 ∧ X2 ≤ b2 ) − P (X1 ≤ b1 ∧ X2 ≤ a2 ) +
+ P (X1 ≤ a1 ∧ X2 ≤ a2 ) =
= F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Niech funkcja F będzie określona wzorem
0 dla x1 + x2 < 0,
F (x1 , x2 ) =
1 dla x1 + x2 ≥ 0.
Łatwo można sprawdzić, że funkcja F spełnia warunki a) – d)
twierdzenia. Dla punktów a = (−1, −1), b = (3, 3) mamy
natomiast
F (3, 3) − F (−1, 3) − F (3, −1) + F (−1, −1) = 1 − 1 − 1 + 0 = −1.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Mówimy że zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład czysto
skokowy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony lub
przeliczalny zbiór S zawarty w R2 taki, że:
a) P(X = x) ≥ 0 dla każdego x ∈ S;
P
b)
P(X = x) = 1.
x∈S
Uwaga
Punkty zbioru S możemy
przedstawić
w postaci podwójnie
(j) (k)
indeksowanego ciągu (x1 , x2 ) . Niech
(j)
(k)
pjk = P X1 = x1 ∧ X2 = x2 . Liczby pjk spełniają warunki
PP
pjk ≥ 0 oraz
pjk = 1.
j
k
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Funkcję p : S → R określoną wzorem
(j) (k)
(j)
(k)
p x1 , x2
= P X1 = x1 ∧ X2 = x2
= pjk
nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X = (X1 , X2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Uwaga
Jeśli zbiór S jest skończony, to dwuwymiarowe
określamy często za pomocą tabeli postaci
X1
(1)
(2)
x1
x1
···
X2
(1)
x2
p11 p21 · · ·
(2)
x2
p12 p22 · · ·
···
···
··· ···
(n)
x2
p1n p2n · · ·
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
rozkłady skokowe
(m)
x1
pm1
pm2
···
pmn
Przykład
Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech X1 oznacza liczbę
wylosowanych asów, X2 – liczbę wylosowanych pików. Podamy
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X = (X1 , X2 ) i wyznaczymy
jej dystrybuantę.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Mówimy, że zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład absolutnie
ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje nieujemna funkcja
f : R2 → R taka, że dystrybuantę F zmiennej X = (X1 , X2 ) można
przedstawić w postaci
Zx1 Zx2
F (x1 , x2 ) =
f (u, v )dudv .
−∞ −∞
Funkcję f nazywamy funkcją gęstości rozkładu
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X = (X1 , X2 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Twierdzenie (własności funkcji gęstości)
Jeśli f jest funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa o
dystrybuancie F , to:
a) f (x1 , x2 ) ≥ 0 dla każdego x1 , x2 ∈ R;
∂ 2 F (x 0 ,x 0 )
1 2
w punktach ciągłości funkcji f;
b) f (x10 , x20 ) = ∂x1 ∂x
2
R∞ R∞
c)
f (x1 , x2 )dx1 dx2 = 1.
−∞ −∞
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Rozkład jednostajny w obszarze normalnym D takim, że
0 < |D| < ∞
f (x1 , x2 ) =
1
|D|
0
dla (x1 , x2 ) ∈ D,
dla (x1 , x2 ) ∈
/ D.
W szczególności jeśli
D = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : a ≤ x1 ≤ b ∧ c ≤ x2 ≤ d }, to
f (x1 , x2 ) =
1
(b−a)(d−c)
0
Jacek Kłopotowski
dla (x1 , x2 ) ∈ D,
dla (x1 , x2 ) ∈
/ D.
Wykład 3
Przykład
Dwuwymiarowy rozkład normalny o parametrach
m1 , m2 , σ1 , σ2 , ρ ∈ R, gdzie σ1 > 0, σ2 > 0, |ρ| < 1
1√
×
f (x1 , x2 ) =
2πσ1 σ2 1−ρ2
n
(x1 −m1 )2
1
2 −m2 )
× exp − 2(1−ρ
− 2 ρ(x1 −mσ11)(x
+
2)
σ2
σ2
1
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
(x2 −m2 )2
σ22
o
.
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład
jednostajny w obszarze D = h0, 1i × h1, 3i. Wyznaczymy
dystrybuantę zmiennej X.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład
jednostajny w obszarze D = h0, 1i × h1, 3i. Wyznaczymy
dystrybuantę zmiennej X.
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład o funkcji
gęstości
c dla (x1 , x2 ) ∈ D,
f (x1 , x2 ) =
0 dla (x1 , x2 ) 6∈ D,
gdzie D = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : 0 ≤ x2 ≤ 2 − x12 }.
a) Wyznaczymy stałą c.
b) Obliczymy P(X2 ≤ X1 ).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Rozkładem brzegowym zmiennej losowej X1 w dwuwymiarowym
rozkładzie zmiennej losowej X = (X1 , X2 ) nazywamy funkcję
P1 : B(R) → R określoną wzorem
P1 (B) = PX (B × R).
Analogicznie definiujemy rozkład brzegowy P2 zmiennej X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Uwaga
Ponieważ
P1 (B) = P ((X1 , X2 ) ∈ B × R) = P(X1 ∈ B ∧ X2 ∈ R),
więc P1 (B) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna
losowa X1 przyjmuje wartości należące do zbioru B, a zmienna
losowa X2 przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste.
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Twierdzenie
Niech F będzie dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej (X1 , X2 ).
a) Funkcja F1 (x1 ) = lim F (x1 , x2 ) jest dystrybuantą rozkładu
x2 →∞
brzegowego zmiennej X1 .
b) Funkcja F2 (x2 ) = lim F (x1 , x2 ) jest dystrybuantą rozkładu
x1 →∞
brzegowego zmiennej X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Wyznaczymy rozkłady brzegowe zmiennych X1 , X2 , gdy zmienna
(X1 , X2 ) ma rozkład czysto skokowy o funkcji prawdopodobieństwa
(j) (k)
p(x1 , x2 ) = pjk .
(j)
Zmienna losowa X1 przyjmuje wartości , x1 . Obliczając
(j)
prawdopodobieństwo zdarzenia X1 = x1 w rozkładzie brzegowym,
otrzymujemy
(j)
pj. = P X1 = x1 ∧ X2 ∈ R =
n
o
(j)
(1) (2)
(n)
= P X1 = x1 ∧ X2 ∈ x2 , x2 , ..., x2
=
X
X (j)
(k)
=
P X1 = x1 ∧ X2 = x2
=
pjk .
k
k
(k)
Analogicznie p·k = P(X1 ∈ R ∧ X2 = x2 ) =
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
P
j
pjk .
Liczby pj· =
P
k
pjk , p·k =
P
pjk są wartościami funkcji
j
prawdopodobieństwa rozkładów brzegowych odpowiednio zmiennej
X1 i zmiennej X2 . Liczby te zapisujemy na brzegach tabeli
określającej rozkład zmiennej dwuwymiarowej.
X1
(1)
(2)
(m)
x1
x1
· · · x1
X2
(1)
x2
p11 p21 · · · pm1 p·1
(2)
x2
p12 p22 · · · pm2 p·2
···
···
··· ···
···
···
(n)
x2
p1n p2n · · · pmn p·n
p1·
p2· · · · pm·
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Twierdzenie
Niech f będzie funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej zmiennej losowej (X1 , X2 ).
R∞
f (x1 , x2 )dx2 jest funkcją gęstości
a) Funkcja f1 (x1 ) =
−∞
rozkładu brzegowego zmiennej X1 .
R∞
b) Funkcja f2 (x2 ) =
f (x1 , x2 )dx1 jest funkcją gęstości
−∞
rozkładu brzegowego zmiennej X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Wyznaczymy rozkłady brzegowe zmiennych losowych X1 , X2 , gdy
zmienna (X1 , X2 ) ma rozkład absolutnie ciągły o funkcji gęstości
(
1
jeśli x12 + x22 ≤ 1,
π,
f (x1 , x2 ) =
0 dla pozostałych (x1 , x2 )
(rozkład jednostajny w kole o środku w punkcie (0,0) i promieniu
1).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Definicja
Mówimy, że zmienne losowe X1 , X2 : Ω → R są niezależne wtedy i
tylko wtedy, gdy
P (X1 ∈ B1 ∧ X2 ∈ B2 ) = P (X1 ∈ B1 ) (PX2 ∈ B2 )
dla dowolnych zbiorów borelowskich B1 , B2 .
Bezpośrednio z definicji wynika następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Zmienne X1 , X2 są niezależne w dwuwymiarowym rozkładzie
zmiennej X = (X1 , X2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy
F (x1 , x2 ) = F1 (x1 )F2 (x2 ) dla każdego (x1 , x2 ) ∈ R2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Wniosek
Jeśli zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład czysto skokowy o
(j) (k)
funkcji prawdopodobieństwa p(x1 , x2 ) = pjk , to zmienne X1 , X2
są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy pjk = pj· · pk· .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Wniosek
Jeśli zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład czysto skokowy o
(j) (k)
funkcji prawdopodobieństwa p(x1 , x2 ) = pjk , to zmienne X1 , X2
są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy pjk = pj· · pk· .
Wniosek
Jeśli zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład absolutnie ciągły o
funkcji gęstości f : R2 → R, to zmienne X1 , X2 są niezależne wtedy
i tylko wtedy, gdy f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) w każdym punkcie
ciągłości funkcji f , f1 , f2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład określony
X1
−1 0 2
X2
tabelką
.
1
3
−1
0
8
8
2
1
1
3
8
8
8
Wyznaczymy rozkłady brzegowe i zbadamy niezależność zmiennych
X1 , X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład określony
X1
−1 0 2
X2
tabelką
.
1
3
−1
0
8
8
2
1
1
3
8
8
8
Wyznaczymy rozkłady brzegowe i zbadamy niezależność zmiennych
X1 , X2 .
Przykład
Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że
zmienna X1 ma rozkład jednostajny w przedziale (0, 1), a zmienna
X2 ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1.
a) Wyznaczymy funkcję gęstości zmiennej X = (X1 , X2 ).
b) Obliczymy P(X1 + X2 ≤ 1).
Jacek Kłopotowski
Wykład 3
Twierdzenie
Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi.
a) Jeśli istnieją wartości oczekiwane EX1 , EX2 , to istnieje wartość
oczekiwana E (X1 · X2 ) oraz E (X1 · X2 ) = EX1 · EX2 .
b) Jeśli istnieją wariancje D 2 X1 , D 2 X2 , to istnieje wariancja
D 2 (X1 + X2 ) oraz D 2 (X1 + X2 ) = D 2 X1 + D 2 X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 3

Wykład 3 - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

1. Rzucamy trzy razy monetą. Zmienna losowa X przyjmuje wartości

Dla zmiennych losowych można podać pewne podstawowe

DWUWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Zad. 1. Dany jest - E-SGH

Zestaw2

X, Y

Zadanie 1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę FX daną wzorem: FX

Ćwiczenia 9 – ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA Y - E-SGH

Ćwiczenia 9 – ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA Y - E-SGH

Wykład2 - Politechnika Białostocka

Metody Probabilistyczne i Statystyka Z6 1. Wyznaczyc EX oraz V X