EGZAMIN z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
Transkrypt
EGZAMIN z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
EGZAMIN z „Rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej” I termin, 4 czerwca 2007 roku Zadanie 1. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego o gęstości f (x) = 1 1 · . π 1 + x2 Wyznacz gęstość zmiennej Y = 2X 2 + 1. Zadanie 2. Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości f (x, y) = (x2 + 2y 2 )1(0,1) (x)1(0,1) (y). Wyznacz gęstość warunkową f (x | y) oraz wykaż, że E X | Y = 1 2 = 53 . Zadanie 3. Znajdź granicę według rozkładu ciągu n 1 X 1 + 2/3 Xk , n n k=1 Zn = cos gdzie X1 , X2 , . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Czy ciąg Zn jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Zadanie 4. X1 , X2 , . . . , Xn jest próbą prostą z rozkładu Poissona P o(λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N P n + nk=1 1{2} (Xk ) θn = n−a jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator ten jest nieobciążony? Zadanie 5. Wykonano 100 prób polegających na rzucaniu monetą do chwili otrzymania pierwszego orła. Poniższa tabela przedstawia otrzymane wyniki: Liczba rzutów Liczba prób 1 2 3 4 5 6 7 i więcej 44 27 10 9 3 4 3 Wykaż, że otrzymane wyniki potwierdzają hipotezę, że czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie prób Bernoulliego polegających na rzucie monetą ma rozkład geometryczny z parametrem p = 12 . Przyjmij poziom istotności α = 0, 01 i skorzystaj z podanych niżej wartości z tablicy rozkładu χ2 . k χ21−0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 6, 635 9, 210 11, 345 13, 277 15, 086 16, 812 18, 475 20, 090